1、西南科技大学课 程 设 计 报 告课程名称： 信号与系统课程设计 设计名称： 连续时间系统的复频域分析 姓 名： 林 强 学 号: 班 级： 电子 0502 指导教师： 赵海龙老师 起止日期： 2007 年 7 月 9 日-7 月 16 日 1课 程 设 计 任 务 书学生班级： 电子 0502 学生姓名： 林 强 学号： 设计名称： 连续时间系统的复频域分析 起止日期： 2007 年 7 月 9 日-7 月 16 日 指导教师： 赵海龙老师 设计要求：设 )2(1)(pssH设p1=-2,p2=-30; p1=-2,p2=3（1）针对极点参数, 画出系统零、极点分布图, 判断该系统稳定性.（
2、2）针对极点参数,绘出系统的脉冲响应曲线,并观察t时, 脉冲响应变化趋势.（3）针对极点参数, 绘出系统的频响曲线.课 程 设 计 学 生 日 志时间 设计内容7.97.10 熟悉 Matlab 软件7.1112 查阅资料，确定方案7.13 设计总体方案 7.147.15 设计并写论文7.16 答辩2课 程 设 计 考 勤 表周 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五课 程 设 计 评 语 表指导教师评语：成绩： 指导教师： 年 月 日3连续时间系统的复频域分析一、 设计目的和意义通过对连续时间系统的复频域分析的 Matlab 实现，进一步理解掌握连续系统及信号拉普拉斯变换概念；学会利用 Ma
3、tlab 绘制系统零极点图;调用系统库函数实现绘制冲激响应曲线以及通过零极点图对零极点的分析而得出系统冲激响应 的时域特性、系统的稳定性、)(th系统的频率特性等。实现在实验环境中，以计算机为辅助手段，用信号分析的软件帮助我们完成数值的计算、信号与系统的分析的可视化建模以及仿真调试，培养我们学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为后续专业打下坚实的基础。二、 设计原理1、拉普拉斯变换曲面图的绘制连续时间信号 的拉普拉斯变换定义为:)(tf（1）0)()(dtefsFs其中 ，若以 为横坐标（实轴） ， 为纵坐标（虚轴） ，复变量 就构成了一个复jsj s平面，称为 平面。显然， 是复变量 的复
4、函数，为了便于理解和分析 随 的变化规)(ss )(F律，可以将 写成：)(sF（2）)()(sjeFs其中， 称为复信号 的模，而 则为 的幅角。)(s)(s2、连续系统零极点图的绘制线性时不变系统可用如下所示的线性常系数微分方程来描述：（3）MjjNii tfbtya0)(0)(其中， 为系统输出信号， 为输入信号。)(tyf将上式两边进行拉普拉斯变换，则该系统的系统函数为：（4）)()(0sABabsFYHNiiMjj将式（4）因式分解后有：4NiiMjjpsqCsH0)()(（5）其中 为常数 为系统的零点， 为系统的极点。Cjqip可见，若连续系统函数的零极点已知，系统函数便可确定下
5、来。即系统函数 的零极)(sH点分布完全决定了系统的特性3、零极点分布与系统稳定性根据系统函数 的零极点分布来分析连续系统能够的稳定性是零极点分析的重要应）（ sH用之一。稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数 包含了系统的所）（ sH有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。对任意有界的激励信号 ,若系统产生的零状态响应 也有界，则称该系统为）（ tf ）（ ty稳定系统，否则，则称为不稳定系统。上述稳定性的定义可以等效为下列条件：（1） 时域条件：连续系统的稳定性的充要条件为 ，即系统冲激响应绝对dth|)(可积。（2） 复频域条件：连续系统稳定的冲要条件为系统函数 的所有极
6、点均位于 S 平面)(sH的左半平面内。系统稳定的时域条件和复频域条件是等价的。4、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数 ，冲激响应 ，则我们知道， 与 是对拉普拉斯)(sH)(th)(sHth变换对，即：dtess)()(（6）显然， 必然包含了 的本质特性。对于集中参数的 LTI 系统函数可表示为关于 S)(sH)(th的两个多项式之比，即：5NiiMjjpsqCsABH1)()(（7）其中 （j=1,2,，M）为 的 M 个零点， （i=1,2,，N）为 的 N 个极点。jq)(si )(sH5、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性连续系统的零极点分布完全决定了系统的系
7、统函数 ，显然，系统的零极点分布包含)(s了系统的频率特性。几何矢量法是通过系统函数零极点分布连续系统频率响应 的一种直观且简便的方)(jwH法。该方法将系统函数的零极点视为 S 平面上的矢量，通过对这些矢量（零极点）的模和相角的分析，即可以快速确定出系统的幅频响应和相频响应。其原理如下：设某连续系统的系统函数为：（8）NiiMjjpsqCsABH1)()(其中 （j=1,2,，M）为 的 M 个零点， （i=1,2,，N）为 的 N 个极点。jq)(i )(sH则系统的频率响应为：(9)NiijjjwspqHj1)(|)(）（现将 S 平面的任意一点看成是从原点到该点的矢量，则 即是从 S
8、平面原点到虚轴上角jw频率 的点的矢量。同理， （j=1,2,，M）和 （i=1,2,，N）即是原点到系统函数个wjqi零点和极点的矢量。现考虑矢量 ，由矢量运算可知，它实际上就是零点 到虚轴上角jw jq频率的点的矢量，如图 1 所示。而矢量 就是极点 到虚轴上角频率为 的点的矢量。ipi w6图 1jwjBiA（10）jjeBqwijiAp（11）则 就是零点 到虚轴上角频率为 的点的矢量长度（距离） ，而 就是该矢量的相角，jBjqwj就是极点 到虚轴上角频率 的点的矢量的长度（距离） ，而 就是该矢量的相角。因此iAip i有：)(1)()( |(|)(2121 wjjNijiMjj
9、eHeABwHNM （12）则系统的幅频响应为：NiiMjjABwH1|)(|（13）综上所述，连续系统的幅频响应 等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为 的|)(|jwHw点的距离之积与系统函数所有极点到虚轴上的角频率 的点的距离之积之比。三、 详细设计步骤1、拉普拉斯变换零极点分布对曲面图的影响（1） 、拉普拉斯变换零极点对曲面图的影响，考虑如下系统：jImsResipj7)30(2)(ssF该信号的零点为 ，极点为 。利用如下 MATLAB 命令绘制出的曲面图0q,1p如图 2 所示。clf;a=-30:1.72:2;b=-20:0.72:20;a,b=meshgrid(a,b); mes
10、hgrid()函数产生矩阵 s，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域 c=a+i*b;d=c;e=(c+2).*(c+30);c=d./e;c=abs(c);mesh(a,b,c);surf(a,b,c);axis(-30,1,-20,20,0,6);title(拉普拉斯变换曲面图);colormap(hsv);view(-20,20)从图 2 可看出，曲面在 和 处有两个峰点，对应着拉普拉斯变换的极点位置，2s30而在 处有一谷点，对应着拉普拉斯变换的零点位置。0s（2） 、考虑另一系统： )3(2)(ssF该信号的零点为 ，极点为 。利用如下 MATLAB 命令绘制出的曲面图如0q,1p
11、图 3 所示。clf;a=-6:0.48:6;b=-6:0.48:6;8a,b=meshgrid(a,b);c=a+i*b;d=c;e=(c+2).*(c-3);c=d./e;c=abs(c);mesh(a,b,c);surf(a,b,c);axis(-6,6,-6,6,0,2);title(拉普拉斯变换曲面图);colormap(hsv);view(-20,30)-30 -25 -20 -15-10 -5 0-20-10010200123456位位位位位位位位位图 2、拉氏变换零极点分布曲面图从图 3 可看出，曲面在 和 处有两个峰点，对应着拉普拉斯变换的极点位置，s3而在 处有一谷点，对应
12、着拉普拉斯变换的零点位置。0s因此，信号的拉普拉斯变换的零极点位置，决定了其拉氏变换曲面图的峰点和谷点位置。92、连续系统零极点图的绘制通过系统函数零极点分布来分析系统特性，首先就要求出系统函数的零极点，然后绘制系统零极点图。设连续系统的系统函数为：（8）)(sABH则系统函数的零极点位置可用 MATLAB 的多项式求根函数 roots()来求得，调用函数roots()的命令格式为：p=roots(A)其中 A 为待求根的关于 s 的多项式的系数构成的行向量，返回向量 p 则是包含该多项式所有根位置的列向量。用 roots()函数求得系统函数 的零极点后，就可以绘制零极点图。)(sH（1） 、
13、现考虑信号，如图 4 所示：%绘制连续系统零极点图程序 %A:系统函数分母多项式系数向量%B:系统函数分子多项式系数向量%p:函数返回的系统函数极点位置行向量%q:函数返回的系统函数零点位置行向量A=1 32 60;B=1 0;p=roots(A); 介入以上命令首先求出极点；再介入q=roots(B); 求出零点；p=p; %将极点列向量转置为行向量q=q; %将零点列向量转置为行向量x=max(abs(p q); %确定纵坐标范围x=x+0.1;y=x; %确定横坐标范围clfhold on10axis(-x x -y y); %确定坐标轴显示范围axis(square)plot(-x x
14、,0 0) %画横坐标轴plot(0 0,-y y) %画纵坐标轴plot(real(p),imag(p),x) %画极点plot(real(q),imag(q),o) %画零点title(连续系统零极点图) %标注标题text(0.2,x-0.2,虚轴)text(y-0.2,0.2,实轴)（2） 、考虑信号，如图 5 所示：A=1 -1 -6;B=1 0;p=roots(A); 求出极点q=roots(B); 求出零点 -6 -4 -20 2 46-50500.511.52位位位位位位位位位图 3、拉氏变换零极点分布曲面图11-30 -20 -10 0 10 20 30-30-20-1001
15、02030位位位位位位位位位位位位图 4、系统零极点图p=p; %将极点列向量转置为行向量q=q; %将零点列向量转置为行向量x=max(abs(p q); %确定纵坐标范围x=x+0.1;y=x; %确定横坐标范围clfhold onaxis(-x x -y y); %确定坐标轴显示范围axis(square)plot(-x x,0 0) %画横坐标轴plot(0 0,-y y) %画纵坐标轴plot(real(p),imag(p),x) %画极点plot(real(q),imag(q),o) %画零点title(连续系统零极点图) %标注标题text(0.2,x-0.2,虚轴)text(y
16、-0.2,0.2,实轴)12-6 -4 -2 0 2 4 6-6-4-20246 位位位位位位位位位位位位图 5、系统零极点图3、零极点分布与系统冲激响应时域特性（1） 、对系统，绘制冲激响应是与波形的命令如下：a=1 32 60; %a:系统函数分母多项式系数向量b=1 0; %b:系统函数分子多项式系数向量impulse(b,a) %绘制连续系统冲激响应曲线的Matlab函数impulse()绘制的系统冲激响应的时域波形如图 6 所示，此时 为随时间衰减的指数信号。)(th（2） 、对系统：a=1 1 6;b=1 0;impulse(b,a)绘制的系统冲激响应的时域波形如图 7 所示，此时
17、 为随时间增长的指数信号。)(th130 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-0.200.20.40.60.811.2 Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 6、系统的脉冲响应曲线0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 500.20.40.60.811.21.41.61.82 x 106 Impulse ResponseTime (sec)Amplitude图 7、系统的脉冲响应曲线4、由连续系统零极点分布分析系统的频 率特性14绘制系统、的幅频特性曲线的程序流程：1） 、定义包含系统所有零点和极点位置的行向量 和
18、 ；qp2） 、定义绘制系统频率响应曲线的频率范围向量 和 、频率取样间隔 （即频率变化1f2k步长值） ，并产生所频率等分点向量 ；f3） 、求出系统所有零点和极点到这些等分点的距离；4） 、求出系统所有零点和极点到这些等分点的矢量的相角；5） 、根据式（13）式求出 到 频率范围内个频率等分点的 的值；1f2 |)(|jweH6)、绘制 频率范围内系统的幅频特性曲线。1f2对于系统，程序如下，结果见图 8。q=0; 用roots()求出的零点p=-2 -32; 用roots()求出的极点f1=0;f2=100; 频率范围k=0.1; 取样间隔 调试程序时，首先输入以上语句并运行，接着输入以
19、下语句：%根据系统零极点分布绘制系统频率响应曲线程序%f1、f2：绘制频率响应曲线的频率范围（即频率起始和终止点，单位为 Hz）%p、q：系统函数极点和零点位置行向量%k绘制频率响应曲线的频率取样间隔p=p;q=q;f=f1:k:f2; %定义绘制系统频率响应曲线的频率范围w=f*(2*pi);y=i*w;n=length(p);m=length(q);if n=0 %如果系统无极点yq=ones(m,1)*y; vq=yq-q*ones(1,length(w);15bj=abs(vq);ai=1;elseif m=0 %如果系统无零点yp=ones(n,1)*y;vp=yp-p*ones(1
20、,length(w);ai=abs(vp);bj=1;else yp=ones(n,1)*y;yq=ones(m,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w);vq=yq-q*ones(1,length(w);ai=abs(vp);bj=abs(vq);endHw=prod(bj,1)./prod(ai,1);plot(f,Hw);title(系统频率响应曲线)xlabel( 频率w（单位：赫兹）)ylabel(H(jw)160 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10000.0050.010.0150.020.0250.03 位位位位位位位位位位 w位位位位位
21、位位H(jw)图 8、系统幅频特性曲线四、 设计结果及分析1、稳定性的判定连续系统稳定的充要条件为系统函数 的所有极点均位于 S 平面的左半平面内。所以)(sH由零极点图 4 知，系统是一稳定系统；由图 5 知，系统是一非稳定系统。2、分析系统脉冲响应随时间 时的变化趋势t由图 6 的曲线可知系统的 随 ， 为衰减的指数信号；图 7 的曲线可知系)(ht)(th统的 随 ， 为增长的指数信号。)(th)(t从上述程序运行结果和绘制的系统冲激响应曲线，我们可以总结出以下规律：系统冲激响应 的时域特性完全由系统函数 的极点位置决定， 位于 S 平面左半平面的极点)(t )(sH)(sH决定了 随时
22、间衰减的信号分量，位于 S 平面虚轴上的极点决定了冲激响应的稳态信号分h量，位于 S 平面的右半平面的极点决定了冲激响应随时间增长的信号分量。3、对系统幅频特性曲线的分析由图 8 的系统频率响应曲线可以知道该系统呈带通特性，是一带通滤波器 。17五、 体会通过本次课程设计，进一步理解了连续系统及信号拉普拉斯变换概念，能利用 Matlab绘制系统零极点图 ，能够较熟练调用系统库函数实现绘制冲激响应曲线以及通过零极点图对零极点的分析从而得出系统冲激响应 h(t)的时域特性、系统的稳定性，绘制系统的频率特性曲线等。在实验仿真环境中，以计算机为辅助手段，用信号分析的软件 Matlab 实现数值计算、信
23、号与系统的分析的可视化建模以及仿真调试，培养了一定的主动获取知识和独立解决问题的能力，为后续专业的学习垫定了一定的基础。同时，通过这次理论与模拟仿真的结合，对信号与系统开始有了深入的理解。在仿真过程中遇到了不少问题，如绘制零极点图时编写的自定义程序运行时的操作情况，脉冲函数响应曲线的绘制等。与此同时，还意识到绘制同一类曲线也可以通过不同的方式，如绘制脉冲响应曲线时可以用软件的库函数，也可以采用求拉普拉斯逆变换的方法等。六、 参考文献教 材：奥本海姆.信号与系统第二版.西安交通大学出版社，2002.参考书：1刘卫国.MATLAB 程序设计教程.中国水利水电出版社，2005.2梁虹.信号与系统分析及 MATLAB 实现.电子工业出版社，2005.3谭浩强.C 语言程序设计教程第二版.高等教育出版社，1998.4郑君里.信号与系统.高等教育出版社，19815吴大正.信号与线性系统.高等教育出版社，1998 年6吕幼新，信号与系统分析.张明友.电子工业出版社，2003 年
