1、实验四 连续时间系统的复频域分析,一、实验目的:,了解连续系统的复频域分析的基本方法 掌握 Laplace 变换的意义、基本性质及应用。 理解函数的零、极点分布(极、零图)的特性。 掌握相关函数的调用方法。,二、实验原理,在线性时不变系统分析和研究中，Laplace 变换是一种很常用的变换域分析方法。它把时域中求解响应的问题通过 Laplace 变换转换成复频域中的问题进行分析；在复频域中求解后再通过 Laplace 逆变换还原为时间原函数。它把时域中输入输出之间的卷积运算转化为变换域中的乘法运算，在此基础上建立了系统函数的概念。,Laplace 变换和逆变换定义式为,在 Matlab 中实现
2、 Laplace 变换有两个途径： 直接调用指令 laplace 和ilaplace 进行；根据定 义式，利用积分指令 int 实现。相较而言，直接 利用 laplace 和 ilaplace 指令实现机器变换要 简洁一些。,常用拉氏变换表,拉普拉斯变换的性质,拉普拉斯反变换,从象函数F(s)求原函数f(t)的过程称为拉普拉斯反变换，简称拉氏反变换。 简单函数求拉氏反变换只要应上表便可得到。而当象函数较复杂时，可利用部分分式法和留数法求解。部分分式法是将复杂象函数分解为多个简单函数之和，然后分别求其原函数，它适用于为有理函数的情况；留数法则是利用复变函数中的围线积分和留数定理进行，适用范围更广
3、。,系统函数的零、极点分布与系统的时域和频域特性,将系统函数的零、极点标在S平面上，并用“ ”表示零点，用“ ”表示极点，这个图称为系统函数的零、极点分布图，简称系统的零极点图。通常零、极点位置就是指H(s)的零点、极点在S平面上的位置。,MATLAB函数,residue函数留数函数，求部分分式展开系数。调用格式：r,p,k=residue(num,den)其中num,den分别是分子和分母多项式系数，按降序排列的行向量。r：部分分式展开式的系数向量p：为极点k：为分式的直流分量,roots函数求多项式的根。调用格式：r=roots(c)其中c为多项式的系数向量，r为根向量，求出的根向量为列向
4、量。,Laplace正反变换函数正变换：F=laplace(f)反变换：f=ilaplace(F),利用MATLAB实现Laplace正反变换,求f(t)=e-tsin(at)u(t)的Laplace变换。 MATLAB实现：f=sym(exp(-t)*sin(a*t);F=laplace(f),有：,利用MATLAB实现部分分式展开,求F(s)的Laplace反变换,MATLAB实现 num=1,2;den=1,4,3,0;r,p=residue(num,den);r=rp=p,r=-1/6 -1/2 2/3 p=-3 -1 0 F(s)的展开式：由基本的Laplace变换对可得反变换为,利
5、用MATLAB计算H(s)的零极点并分析其稳定性,系统函数H(s)一般是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。 利用roots函数计算分子、分母的根即可得到系统的零极点。 分子的根为零点；分母的根为极点。,已知系统函数：求出该系统的零极点，并画出其零极点分布图。,MATLAB实现：b=1,-1;a=1,2,2;zs=roots(b);ps=roots(a); plot(real(zs),imag(zs),o,real(ps),imag(ps),kx,marker size,12)axis(-2,2,-2,2); grid; legend(零点,极点);,系统函数描述方式,传递函数型零极点型 p
6、1,p2,pn为H(s)的极点（pole） z1,z2,zn为H(s)的零点（zero）k=bm/an (代表比例尺度的常数),几种系统描述方式的转换,传递函数型（tf） 零极点型（zp） 相互之间进行转换的函数：一种描述方式+“2”+另一中描述方式例：tf2zpZ,P,k=tf2zp(num,den),例：已知连续时间系统的系统函数如下所示，试用MATLAB绘出系统的零极点分布图，并判断系统是否稳定。,%求系统的零、极点 A=1 7 17 17 6; B=1 0 -4; q p=tf2zp(B,A); p=p q=q,x=max(abs(p q); x=x+0.1; y=x; hold on plot(-x x,0 0) plot(0 0,-y y) plot(real(p),imag(p),x) plot(real(q),imag(q),o) title(连续时间系统的零极点图) text(0.2,x-0.2,虚轴) text(y-0.2,0.2,实轴),由图可以看出，该系统的极点-1（二重），-2，-3均 落在s的左半平面，故该系统是稳定的。,四、实验报告要求,简述实验目的、原理 完成下面题目要求，并将程序清单及获得的波形写在实验报告上。已知系统函数为：画出该系统的零极点分布图，求出该系统的单位冲激响应和幅频响应，并判断系统是否稳定。,
