1、1,概率论与数理统计,作业交两面内容全学的页码,2,1990年，美国Parade展示杂志“Ask Marilyn” 专栏的主持人玛莉莲莎凡收到了一名读者的提问： 假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗？,一个教授都容易回答错误的概率问题,3,1.4 条件概率与事件的独立性,一、条件概率,1问题 E产品(N个产品中含M个次品)随机抽样。,Ai = 第 i 次抽到次品, i = 1, 2，,放回抽样时，,不
2、放回抽样时，,P(A2),P(Ai),P(A2),4,2定义,为在B发生的条件下，A发生的条件概率。,注2条件概率满足三条公理及概率的其它性质。,注1P(A/B) 是将样本空间 压缩成B、事件A压缩成AB后计算概率， P(A/B)本质上是一个无条件概率；,AB,设A、B为两随机事件，且P(B) 0，则称,5,例1 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，现已知该地区已经30年未发生特大洪水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？,解 记A=30年内无特大洪水， B=未来10年内有特大洪水，则,二、乘法公式,A =40年
3、内无特大洪水,6,例2 设A盒内有M 个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后再从A 盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。若经M次交换后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人获奖的概率是多少？,解 设,7,例3 袋中有5个球：3个红球，2个白球。现每次任取1个，取后放回，并同时放入3个同色的球。记Ai为第i次取到红球，求概率P(A2)。,解,问题：A3由哪几个原因引起？,8,三、全概率公式,B,则对任何事件B有,证,A1 A2 An,BA1,BA2,BAi.,BAn,设A1 , A2 , ,An 是对的一个划分：,注意：解题时先画因果关
4、系图(多因一果)。,A1 Ai An,P(B/Ai),B,P(Ai),例1.17 (P10：矿工逃生问题)。,BA1,9,例 从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，求两张牌点数相同的概率。,10,例 从一副不含有大小王的扑克牌中不放回的抽取两张，求第二张牌点数大于第一张的概率。,11,例 2005从数1,2,3,4中任取一个,记为X,再从1,X中任取一个,记为Y,则,.,解:试验分为两个阶段,Y=2是第2阶段的结果,第1阶段的所有结果是Y=2发生的一组前提条件.,12,例 某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个脱落，有人捡起随意放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.,解:试验分两阶
5、段第一阶段是字母脱落,第2阶段是捡起放回, 放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设为A,它与第1阶段脱落的情况有关.,则,代入即得,用B表示脱落的两个字母相同.,13,赌徒输光问题:设甲乙二人赌博,每局输赢1元钱,每局甲赢的概率为p,开始时甲乙二人各有m,n元钱,约定赌到一个人输光为止,求甲输光的概率.,14,可以解得,15,四、Bayes公式,P(Ai),P(Ai/B),A1 A2 An,P(B/Ai),B,设 A1, A2, ,An是对 的一个划分，则,P(Ai) 先验概率,P(Ai/B) 后验概率,B,B,证明,16,例4 一台机床正常时，产品的合格率为90%，非正常时，产品的合格率
6、为30%。每天上班开动机床时，机床正常的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此时机床处于正常状态的概率是多少？,解 记A=机器处于正常状态B=生产出的一件产品为不合格品,0.75,0.25,0.1,0.7,此时机器处于不正常状态的概率为0.7，应检修。,17,注. 已知某事件已发生，求另一事件的概率则为求条件概率。,. 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的概率P(B)(非条件概率)；由Bayes公式，可求得结果B是由某原因引起的(后验, 条件)概率。,.应用全概率公式和Bayes
7、公式时要注意其条件(原因两两不相容)。,18,19,关于条件概率的问题,20,例 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张, 将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞. 求2 张都是假钞的概率.,解 令 A 表示 “从两张中任抽一张，结果是假钞”.,例2,C表示 “2 张至少有一张是假钞”,21,22,女孩问题:设有两个孩子的一对新夫妇刚搬到某小镇,假定有人在路上遇到母亲与她的一个孩子散步,若这个孩子是女孩,问她的两个孩子都是女孩的概率是多少?.,23,24,25,一个教授都容易回答错误的问题的解答,26,一、什么是贝叶斯推断,27,28,29,30,31,32,33,什么是贝叶斯过滤器？,3
8、4,35,36,37,38,39,五、事件的独立性,引例 E传染病抽检(已知该病犯病率为1%)，A =前99位查没病，B=第100位有病,定义1 若事件A、B满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立。(通常根据直观意义判断独立性，再反用定义),40,定理 下面四个等式是等价的：,证明,(1) (2),类似地可证:,(2) (3)，,(3) (4)，,(4) (1)，,41,解 = ,定义2 称A、B、C相互独立，是指下面等式成立：,例5 设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令A=抽出的卡片上出现红色，B=抽出的卡片上
9、出现白色，C=抽出的卡片上出现黑色，试分析A、B、C的独立性。,A= ，,B= ，,C= ,但,即A、B、C两两独立，但A、B、C不相互独立的。,对比乘法公式看其意义,42,一般称A1, A2, An相互独立，是指下面等式成立：,P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1) P(Ai2) P(Aik)，,1i1 i2 ikn，2kn,例6 设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率是p=0.004，求他独立地射击n次能命中目标(至少一次)的概率,解,记Ai =第i次命中目标，i=1,2,n，,A =射击n次能命中目标至少一次，则,独立地,说明 小概率事件也不能忽略,43,注：互不相容与相互独立
10、是两个不同的概念,相互独立：,互不相容：,(一般二者不同时成立),相互独立的性质：若n个事件相互独立，则其中任意m个事件也相互独立；把其中任意m个事件换成对立事件以后，所得的n个事件也相互独立。,练习2 讨论两事件互不相容与相互独立的关系。,练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。,是非题1 若P(A)=0，则A=；若P(A)=1，则A=。,(如几何概型中任一基本事件概率为0),44,练
11、习2 讨论互不相容与相互独立的关系。,解,(1) 若P(A) P(B)0, 则二者不可能同时成立. 因为,(a) 若A、B互不相容，即AB=，则,0=P(AB) P(A) P(B)，,即A、B 不相互独立；,(b) 若A、B 相互独立，即P(AB) = P(A) P(B)0，则,AB， 即A、B相容。,(2) 若P(A) P(B) =0, 则二者有可能同时成立. 因为,A、B互不相容，即AB=，则二者可同时成立,此时P(AB)= P(A) P(B)=0,AB=，除非已知,即A、B必相互独立，但,45,练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有长机能确定具体目标。在到达目标上
12、空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。(列出式子即可),解 记Bi为长机与i架僚机到达目标上空， i=0,1,2， A为目标被炸毁。则,P(B0)=0.8*0.22=0.032P(B1)= 2*0.82 *0.2=0.256,P(B2)=0.83=0.512,故,=0.4765,B0 B1 B2,P(A/Bi),A,P(Bi),P(A/B0)=0.3,或,P(A/B2)=10.73=0.657,P(A/B1)=10.72=0.51,46,随机事件,第一章小结,随机试验,样本空间
13、=所有,关系： ， ，,运算： ，AB，A-B= =A-AB,独立 P(AB)=P(A)P(B),公式 P(AB)=P(A)P(B/A),P(A/B)=P(A),公理化定义1.P(A)02. 3.,条件概率,全概率公式P(B)=i=1nP(Ai)P(B/Ai)Bayes公式,统计古典几何概率,47,概率论与数理统计,作业交两面内容全学的页码,48,1990年，美国Parade展示杂志“Ask Marilyn” 专栏的主持人玛莉莲莎凡收到了一名读者的提问： 假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇。其中一扇后面有一辆汽车，其余两扇后面则是山羊。你选择了一扇门，假设是一号门，然后知道
14、门后面有什么的主持人开启了另一扇后面有山羊的门,假设是三号门。他然后问你: “你想选择二号吗？,一个教授都容易回答错误的概率问题,49,1.4 条件概率与事件的独立性,一、条件概率,1问题 E产品(N个产品中含M个次品)随机抽样。,Ai = 第 i 次抽到次品, i = 1, 2，,放回抽样时，,不放回抽样时，,P(A2),P(Ai),P(A2),50,2定义,为在B发生的条件下，A发生的条件概率。,注2条件概率满足三条公理及概率的其它性质。,注1P(A/B) 是将样本空间 压缩成B、事件A压缩成AB后计算概率， P(A/B)本质上是一个无条件概率；,AB,设A、B为两随机事件，且P(B) 0
15、，则称,51,例1 设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，现已知该地区已经30年未发生特大洪水，问未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？,解 记A=30年内无特大洪水， B=未来10年内有特大洪水，则,二、乘法公式,A =40年内无特大洪水,52,例2 设A盒内有M 个黑球，B盒内有同种质地、大小的M个白球。现让某人从B 盒内随机摸取一球放入 A盒中，然后再从A 盒中随机摸取一球放入B盒中，称此为一次交换。若经M次交换后，A中恰有M个白球则此人可获奖。问此人获奖的概率是多少？,解 设,53,例3 袋中有5个球：3个红球
16、，2个白球。现每次任取1个，取后放回，并同时放入3个同色的球。记Ai为第i次取到红球，求概率P(A2)。,解,问题：A3由哪几个原因引起？,54,三、全概率公式,B,则对任何事件B有,证,A1 A2 An,BA1,BA2,BAi.,BAn,设A1 , A2 , ,An 是对的一个划分：,注意：解题时先画因果关系图(多因一果)。,A1 Ai An,P(B/Ai),B,P(Ai),例1.17 (P10：矿工逃生问题)。,BA1,55,例 从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张，求两张牌点数相同的概率。,56,例 从一副不含有大小王的扑克牌中不妨会的抽取两张，求第二张牌点数大于第一张的概率。,
17、57,例 2005从数1,2,3,4中任取一个,记为X,再从1,X中任取一个,记为Y,则,.,解:试验分为两个阶段,Y=2是第2阶段的结果,第1阶段的所有结果是Y=2发生的一组前提条件.,58,例 某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个脱落，有人捡起随意放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.,解:试验分两阶段第一阶段是字母脱落,第2阶段是捡起放回, 放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设为A,它与第1阶段脱落的情况有关.,则,代入即得,用B表示脱落的两个字母相同.,59,赌徒输光问题:设甲乙二人赌博,每局输赢1元钱,每局甲赢的概率为p,开始时甲乙二人各有m,n元钱,约定赌到一个人输光为
18、止,求甲输光的概率.,60,可以解得,61,四、Bayes公式,P(Ai),P(Ai/B),A1 A2 An,P(B/Ai),B,设 A1, A2, ,An是对 的一个划分，则,P(Ai) 先验概率,P(Ai/B) 后验概率,B,B,证明,62,例4 一台机床正常时，产品的合格率为90%，非正常时，产品的合格率为30%。每天上班开动机床时，机床正常的概率为75%。检验人员为检验机床是否正常，开动机床生产出了一件产品，经检验，该产品为不合格品，问此时机床处于正常状态的概率是多少？,解 记A=机器处于正常状态B=生产出的一件产品为不合格品,0.75,0.25,0.1,0.7,此时机器处于不正常状态
19、的概率为0.7，应检修。,63,一个教授都容易回答错误的问题的解答,64,一、什么是贝叶斯推断,65,66,67,68,69,70,71,什么是贝叶斯过滤器？,72,73,74,75,76,77,注. 已知某事件已发生，求另一事件的概率则为求条件概率。,. 已知每种原因出现的概率及每种原因导致某结果出现的条件概率，则由全概率公式，可求得某结果出现的概率P(B)(非条件概率)；由Bayes公式，可求得结果B是由某原因引起的(后验, 条件)概率。,.应用全概率公式和Bayes公式时要注意其条件(原因两两不相容)。,78,五、事件的独立性,引例 E传染病抽检(已知该病犯病率为1%)，A =前99位查
20、没病，B=第100位有病,定义1 若事件A、B满足：P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B相互独立。(通常根据直观意义判断独立性，再反用定义),79,定理 下面四个等式是等价的：,证明,(1) (2),类似地可证:,(2) (3)，,(3) (4)，,(4) (1)，,80,解 = ,定义2 称A、B、C相互独立，是指下面等式成立：,例5 设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令A=抽出的卡片上出现红色，B=抽出的卡片上出现白色，C=抽出的卡片上出现黑色，试分析A、B、C的独立性。,A= ，,B= ，,C= ,但,即A、B、C两两
21、独立，但A、B、C不相互独立的。,对比乘法公式看其意义,81,一般称A1, A2, An相互独立，是指下面等式成立：,P(Ai1 Ai2 Aik)=P(Ai1) P(Ai2) P(Aik)，,1i1 i2 ikn，2kn,例6 设某人玩电子射击游戏，每次射击命中目标的概率是p=0.004，求他独立地射击n次能命中目标(至少一次)的概率,解,记Ai =第i次命中目标，i=1,2,n，,A =射击n次能命中目标至少一次，则,独立地,说明 小概率事件也不能忽略,82,注：互不相容与相互独立是两个不同的概念,相互独立：,互不相容：,(一般二者不同时成立),相互独立的性质：若n个事件相互独立，则其中任意
22、m个事件也相互独立；把其中任意m个事件换成对立事件以后，所得的n个事件也相互独立。,练习2 讨论两事件互不相容与相互独立的关系。,练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁目标的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。,是非题1 若P(A)=0，则A=；若P(A)=1，则A=。,(如几何概型中任一基本事件概率为0),83,练习2 讨论互不相容与相互独立的关系。,解,(1) 若P(A) P(B)0, 则二者不可能同时成立. 因为,(a)
23、 若A、B互不相容，即AB=，则,0=P(AB) P(A) P(B)，,即A、B 不相互独立；,(b) 若A、B 相互独立，即P(AB) = P(A) P(B)0，则,AB， 即A、B相容。,(2) 若P(A) P(B) =0, 则二者有可能同时成立. 因为,A、B互不相容，即AB=，则二者可同时成立,此时P(AB)= P(A) P(B)=0,AB=，除非已知,即A、B必相互独立，但,84,练习3 一架长(zhang)机带两架僚机飞往某地进行轰炸，只有长机能确定具体目标。在到达目标上空之前，必须经过敌高炮防空区，这时任一架飞机被击落的概率为0.2，到达目标上空之后，各飞机将独立地进行轰炸，炸毁
24、目标的概率都是0.3。试求目标被炸毁的概率。(列出式子即可),解 记Bi为长机与i架僚机到达目标上空， i=0,1,2， A为目标被炸毁。则,P(B0)=0.8*0.22=0.032P(B1)= 2*0.82 *0.2=0.256,P(B2)=0.83=0.512,故,=0.4765,B0 B1 B2,P(A/Bi),A,P(Bi),P(A/B0)=0.3,或,P(A/B2)=10.73=0.657,P(A/B1)=10.72=0.51,85,随机事件,第一章小结,随机试验,样本空间=所有,关系： ， ，,运算： ，AB，A-B= =A-AB,独立 P(AB)=P(A)P(B),公式 P(AB)=P(A)P(B/A),P(A/B)=P(A),公理化定义1.P(A)02. 3.,条件概率,全概率公式P(B)=i=1nP(Ai)P(B/Ai)Bayes公式,统计古典几何概率,
