1、第四节 随机变量函数的分布,在许多实际问题中, 常需要考虑随机变量函 数的分布.如在一些试验中,所关心的随机变 量往往不能直接测量得到, 而是某个能直接 测量的随机变量的函数.在本节中,我们将讨 论如何由已知的随机变量X 的分布去求它的 函数Y=f(X)分布.,一、离散型随机变量函数的分布,设X为离散型随机变量, 其分布律为,随机变量Y=g(X), 则Y的所有可能取值为,因此Y也是离散型随机变量. 其分布律为,需要注意的是, 可能出现这样的情况,例1 设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2的分布律.,解 Y所有可能取的值为0,1,4. 由,即得Y的分布律为,例 2 设X服从参数为的泊
2、松分布,试求Y=f(X)的分布列.其中,解 易知Y的可能取值为-1,0,1, 且有,二、连续型随机变量函数的分布,求随机变量Y=2X+8的概率密度.,例3 设随机变量X具有概率密度,设X为连续型随机变量,已知其分布函数FX(x)和密度函数fX(x), 随机变量Y=g(X), 要求Y的分布函数FY(y)和密度函数 fY(y).,解 先求Y=2X+8的分布函数FY(y).,于是得Y=2X+8的概率密度为,例4 设随机变量X具有概率密度fX(x),求Y=X2的概率密度.,解 先求Y 的分布函数 FY(y).,于是得Y的概率密度为,故当 y0 时,FY(y)=0.,当 y0 时,有,由于Y=X2 ,解
3、 先根据Y与X的函数关系式,求Y的分布函数,例5 设随机变量X N(,2),试求Y=aX+b (a0)的密度函数.,从而,解 X的取值范围为(0,1), 从而Y 的取值范围为(1, 3).,当1y3时,Y的分布函数为,例6 设随机变量X U(0,1),求Y=2X2+1的密度函数.,而Y 1和Y 4 都是不可能事件, 从而有,因此当1y3时，,由于当x0时，,定理4.1 设连续型随机变量X具有概率密度fx(x), 又设函数y=g(x)处处可导,且g(x)0(或g(x)0),则 Y=g(X)的概率密度为,证明 (略),例7 设随机变量X具有概率密度,求Y=ln X 的概率密度.,解,柯西分布,作业: P44, T17, 18, 19, 20,
