1、习题 22.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以 X 表示前后两次出现点数之和，求 X 的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。2.1 解：样本空间为 ，且每个样本点出现的概率均)6,(.1,2)6(,.1),(为 ，X 的所有可能的取值为 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有36136)2,(1),3()4( ,362)1,(,2PPX类似地 ,56,5XP ,365)8(,73)10(3)9( 1236)1(XPXX 的概率分布为 361829569128608754kp满足： /534)(12 kXP2.2 设离散随机变量 的概率分布为 ， k=1，2,，试确定常数
2、kPXae .a2.2 解：由于 ，故111)( aekXPkk 11e2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为 0.7,和 0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率：（1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。2.3 解：设 分别为甲、乙投中的次数，则有 ，因此有YX, )4.0,2(),7.02(BYX,164)(,)3.0(7)(22 kCkYPCkP kkk（1） 两人投中次数相同的概率为 20 1.)()()(kXY（2） 甲比乙投中次数多的概率为5628.0 )1()0()2()0()1()()()(2 YPXPYXPkYXPYk2.4 设离散随机变量 的概率分布为
3、 ， k=1，2，.求k（1） ； （2） ； ,4.PX2.5PX2.4 解：（1） 4.015632)()()1(3 XP（2） .1525.2.0XPP2.5 设离散随机变量 的概率分布为 ， k=1，2，3，4，5.求k（1） ； （2 ） ； 3X02.5 解：（1） 314/12)(,.6411 kkkXPP（2） 25.0/8)()3( 3kkX2.6 设事件 在每次试验中发生的概率为 0.4，当 A 发生 3 次或 3 次以上时，指示灯发出A信号，求下列事件的概率.（1）进行 4 次独立试验，指示灯发出信号；（2）进行 5 次独立试验，指示灯发出信号；2.6 解：设 X 为 4
4、 次独立试验时事件 A 发生的次数，设 Y 为 5 次独立试验时事件 A 发生的次数，则有 )4.0,5(),.0(BY（1）所求概率为： 1792.04.6.04 )4.01(.)4.()()3()( 4334 CCXPP（2）所求概率为： 3174.0.64.056.).1(. )()()()3( 52355 54353 CYY2.7 某城市在长度为 t（单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数 X 服从参数为 的t泊松分布，且与时间间隔的 2 无关，求下列事件的概率.（1）某天中午 12 点到下午 15 点末发生火灾；（2）某天中午 12 点到下午 16 点至小发生两次火灾。2.7 解：（
5、1）设 X 为中午 12 点到下午 15 点发生火灾的次数，根据题意可知，X 服从参数为 的泊松分布，所求概率为5.03 231.0!05.1)(5.1.eP（2）设 Y 为中午 12 点到下午 16 点发生火灾的次数，根据题意可知，Y 服从参数为的泊松分布，所求概率为25.04 593.01!201)1()()()( 2eeYP2.8 为保证设备正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员，现有同类设备 180 台，且各设备工作相互独立，任一时间设备发生故障的概率都是 0.01。假定一台设备由一人进行修理，问至小配备多小设备维修人员，才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于 0.99？.2
6、.8 解：设 X 为 180 台机器同时发生故障的台数，则 ，设需要)8.1()0.,18(PBXn 个维修人员才能保证 ，即 ，现在9.0nP)(nP，于是 ，查表得 ，即 6 个维修8.1!)(ekP1.)(1nk ,71n人员可满足要求。其它2.9 某种元件的寿命 X(单位：小时 )的概率密度函数为：2100,()1.xfx求 5 个元件使用 1500 小时后，恰有 2 个元件失效的概率。2.9 解：设事件 A 为元件寿命大于 1500 小时，则 32150|10)()150()15052 xdxdxfXPp设 Y 为 5 个元件中寿命不大于 1500 小时的元件个数，则 ，所求概率为：
7、)3/,(BY248910)3/1()/)2( 32525 CY2.10 设某地区每天的用电量 X(单位：百万千瓦) 是一连续型随机变量，概率密度函数为：10(, ,(, .xxf 其 它假设每天供电量仅有 80 万千瓦时，求该地区每天的供电量不足的概率。若每天供电量上升到 90 万千瓦时，每天的供电量不足的概率是多小？2.10 解：（1）若供电量为 80 万千瓦小时，则供电量不足的概率为： 027.)2(1)1(2)()8.0( 8.03. 8.02 dxxdxdxfXP（2）若供电量为 90 万千瓦小时，则供电量不足的概率为： .)()()()9.( 19.032.019.02f2.11
8、设随机变量 ，求方程 有实根的概率.(2,4)KU2xK2.11 解：K 的密度函数为： 其 他 ，,0,4261)(xxf则方程有实根的概率为： 31616)1()3( 0)(,)(0, 0)(2)2(4432 dxKPKPPp2.12 设某型号的飞机雷达发射管的寿命 X（单位：小时）服从参数为 0.005 的指数分布，求下列事件的概率：（1）发射管的寿命不超过 100 小时；（2）发射管的寿命超过 300 小时。（3）一只发射管的寿命不超过 100 小时，另一只发射管的寿命在 100 至 300 小时之间。2.12 解：X 的密度函数为： 0,201)(20/xexfx（1） 所求概率为3
9、941.1|)()10( 5.01002/ eedxfXPx（2） 所求概率为2.|)()3( 5.130302/fx（3） 由于两个事件相互独立，故所求概率为.0)1()( 5.1.05. eeXPX2.13 设每人每次打电话的时间 X（单位：分钟）服从参数为 0.5 的指数分布，求 282 人次所打电话中，有两次或两次以上超过 10 分钟的概率。2.13 解：设 A 为事件“打电话时间超过 10 分钟” ，X 为打电话时间，则 X 服从参数的指数分布，即 ，于是5.0)5.0(ExpX 0674.|.)1() 5010105.5. edxedfPp x设 Y 为 282 人中“打电话时间超
10、过 10 分钟”的人次，则。所求概率为)9.()28(),(pB 562.09.21.1)1()(.19.9. eeYPYP2.14 某高校女生的收缩压 X（单位：毫米汞柱）服从 ,求该校某名女生：()N（1）收缩压不超过 105 的概率；（2）收缩压在 100 至 120 之间的概率。2.14 解：（1）收缩压不超过 105 的概率为： 372.068.1)42.0(1)42.0(105)()05( FXP（2）收缩压在 100 至 120 之间的概率为： 5934.0176.21)83.0(2).()83.0(2)1( 2.15 公共汽车门的高度按成年男性与车门碰头的机会不超过 0.01
11、设计的，设成年男性的身高 X（单位：厘米）服从正态分布 ，问车门的最低高度应为多小？2(17,6)N2.15 解：设车门最低高度为 a，则 ，即0.XP9.0617)()aF反查标准正态分布函数表得 ，即 ，3.2/)( 1849.3.2617a即车门最低高度为 184 厘米。2.16 .20 同类型产品中有 2 件次品，其余为正品，今从该 20 件产品中每次任取 4 次，每次只取 1 件，取后不放回，以 X 表示 4 次取到正品的件数，求 的分布律与分布函数.X2.16 解：这是一个超几何分布问题，即 X 的概率分布为2,10,)(42018kCkXPpk即 的分布律为X 953)0( 29
12、56)(42018420182 40318420181 4018420180 CXPppX0 1 2kp956953953X 的分布函数为： 2,1950,6)()xxxXPxF2.17 .袋中有同类型的小球 5 只，编号分别为 1,2,3,4,5，今在袋中任取小球 3 只， ，以 X表示 3 总小球的最小号码，求随机变量 的分布律与分布函数.X2.17 解：X 的所有可能取值为 1，2，3，其概率分布为 ,103)2(,65524CXP,)(35X1 2 3kp061010X 的分布函数为：3,1209,61)()xxxXPxF2.18.设连续型随机变量 的分布函数为0,()ln1,Fxxe
13、（1）求 .2,PX0325PX（2）求 X 的密度函数.2.18 解：(1) 因为 X 是连续型随机变量，故 2314.05.ln25.ln)2(5.().2( ,1)0(3030 ,69.l FP（2）X 的密度函数为 其 他 ，,0,1,01,)( exexxf2.18.设连续型随机变量 的分布函数为X2,()0xabeFx（1）求常数 （2）求 X 的概率密度函数， （3）求,和 (ln4l16)PX2.19 解：（1）由于 ，得 ，又由于 在 点右连axFx)(lim)(11(xF0续，可得 ，即得bFxli)0(0 ,0b（2）X 的密度函数为 0,)(2/xexFf（3）因为 X
14、 是连续型随机变量，故25.04121)ln()6l()1ln4l(4l2l 24ln26ln e eeFXP2.20.设型随机变量 的概率分布为：X0 /2/3kp0.3 0.2 0.4 0.1求型随机变量 Y 的概率分布 :(1) , (2) .2)()2(XCOS2.20 解：（1）由 X 的分布律得0 / 2/3kp0.3 0.2 0.4 0.1Y20224于是即得 的分布律：)(X0 22kp0.2 0.7 0.1(2) 由 X 的分布律得0 2/ 2/3k0.3 0.2 0.4 0.1Y11 11于是即得 的分布律：)2(XCOS1kp0.7 0.32.21.设型随机变量 的分布函
15、数为X0,x1.3()8,2Fx（1）求 X 的概率分布（2）求 X 的概率分布。yx2.21 解：（1） 的概率分布为：X11 2kp3.050（2） 的概率分布为：|X1 2kp0.8 .02.22.设随机变量 ，求下列随机变量 Y 的概率密度函数：(,1)XN，求 的密度函数.2(1)Y2;3Xe1X2.22 解： 的密度函数和分布函数分别为：， ， 21)(xXexf )()(xPxFX且有 )( fF（1） 的密度函数和分布函数分别为 ，其中12Y )(),(yYyfY， 21)12()() XPPyY因此 的密度函数为 8)1(exp2121exp21)()( 22yyydyFfY
16、Y （2） 的密度函数和分布函数分别为 ，其中XeY )(),(YPFfY， 0),ln(0)()() yXyePyYFXY当 时0y)(ln )ln(1)l(1)ln(1ly yyPyXPY 于是 的密度函数为Y0,2)(lnexp1,00),(ln1,)l(,)( yy yyFyfYY（3） 的密度函数和分布函数分别为 ，其中2XY )(),(YPFfY， .0,1)(2,0),()(,0,(,)()()2 yyyXyXPyF于是 的密度函数为Y0,2exp1,00),(1,)(,0)()( yy yyyFfY2.23.设随机变量 ，求下列随机变量 Y 的概率密度函数：U(,)X，求 的密
17、度函数.(1)Y2ln;)cos;(3sin.X12.23 解： 的密度函数和分布函数分别为：， ， 其 他 ，,0,/1)(xxfX )()xPxFX且有 fF（1） 的密度函数和分布函数分别为 ，其中Yln2 )(),(yYyfY，22)ln2()() XyeFPXyYP因此 的密度函数为其 他 ， ，其 他 ， ， 其 他 ，0ln2,10,21 ,0,/12)()( 2222 yee effyFf y yyyXyXYY（2） 的密度函数和分布函数分别为 ，其中XYcos )(),(yYPFfY)(arcos)rcs() yFXxXPyYXY于是 的密度函数为 其 他 ，其 他 ， ,0
18、,11,0,arcos1 )(r)()()( 22 2yyyffFyf XXYY （3） 的密度函数和分布函数分别为 ，其中XYsin )()(YPFyfY )arcsin()0()(arcsi rii)( yFy XXPPyFXX 于是 的密度函数为 其 他 ，其 他 ， 其 他 ，其 他 ， 其 他 ，其 他 ， ,0,112,0,arcsin12, ,arcsin01, ,rsi01, ,rsi, ,arcsin)arcsin(1)(i1 )ros(oarcsnr)()( 22 22 22 yyy yyyyffyyf XXYY 第 2 章综合练习1. 填空题（1） 已知随机变量 的分布列
19、为X0 1 2 30.1 0.2 0.4 kPp则： = 0.3 。p（2） 设 的分布函数为 ，则 ； X01)(xexF， ， 2XP； 的概率分布 。3P)(f（3）.设 的概率分布为 ，则 ； X其 它，021)(xxf 1XP2XP。（4） 设随机变量 的概率密度为 ，则：系数 = ；X其 它， ，02cos)(xAxf A= 。 20P（5）.设随机变量 X 的概率分布为 0 2P4141则 的分布律为 ，X 的分布函数 为 。23XY )(xF（6）.设随机变量 X 的概率分布为 ， ， ，则常数!)(KA,210。A(7)若随机变量 X 的概率密度为 ，则当 时，有0 )(xe
20、xfC。21)(CP(8).设随机变量 X 的概率密度为 ，对 X 进行三次独立重复观其 他 012)(xxf察，用 表示事件 出现的次数，则 。Y)21()YP(9).设连续型随机变量 X 的分布函数为 则 A=.2 ,1,0 ,sin)(xAxxF， 。)6|(P2.选择题（1）设随机变量 X 的概率密度为 ，且 ，F(x)是 X 的分布函数，)(xf)(xff则对任意实数 a 有（ ）A B. dxfFa0)(1)( dfaFa0)(21)(C D. （2）下述函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）A. 21)(xFB. arctnC. .0 ,0;),(2)(xexD. ，其中
21、 。dtfFx)()( 1)(dtf（3）设 ， 是随机变量，它们的分布函数分别为 ， ，为使1X2 )(1xF2是某一随机变量的分布函数，在下列给出的各组数中应取（ )()()(xbax）A ， B. ， 53a2b32abC ， D. ， 114设随机变量 的密度函数为 ，则使X其 它,04)(3xxf成立的常数 （ ） 。 )()(aPaA421(B42()C21()D4215.设 的概率分布为 ，则 =( )。XfxAx)， 其 它0XP( ) ( ) ( ) ( ) A43B3141216设 和 均服从正态分布 ，记XYXNY()()， ， ， 52， ，则（ ）pP1pPY25对任
22、何实数 都有 对任何实数 都有 ()A12Bp12仅对 的个别值有 对任何实数 都有C()D计算题（1）一个工人在一台机器上独立地生产了三个同种零件，第 i 个零件不合格的概率为，以 X 表示三个零件中合格品的个数，求 X 的分布律。)3,2(ipi（2）设随机变量 X 的概率密度为 ，现对 X 进行 n 次独立重其 他 01x2)(f复观测，以 表示观测值不大于 0.1 的次数，求 的概率分布。nVnV（3）设随机变量 ，对 X 进行三次独立观测，求至少有两次观测值大于 35,2U的概率。（4）设测量的随机误差 ，试求在三次重复测量中，至少有一次误差)40,(2N的绝对值不大于 30 的概率
23、。（5）设连续型随机变量 X 的分布密度为 ，其 他 01-1)(2xkxf 确定常数 ；k 求 X 落在 内的概率。21,（6）设连续型随机变量 X 的分布密度为 ，试求 X 的分.2 ,0,41,0 ,2)(xexfx布函数 。)(xF（7）设连续型随机变量 X 的分布密度为，0 01)(2)xxf求 的分布密度；3XY 的分布密度。ln综合练习答案填空题(1).0.3 ，(2). , (3). , (4).2301,(),xeef121,2(5). Y2 3P4141.,412,20,)(xxxF(6). ,(7). ,(8). ,(9)A=1；eA2lnC649)(YP21)6|(XP选择题. （1）B；（2）B；（3）A ，4.A, 5.C, 6.B3. （1）X 的分布律为 X0 1 2 3P244（2） 的概率分布为 ，nVknkknnCV)9.0(.)( n,10（3） 70（4）约为 0.87（5） ； 1k3（6） .2 ,1,042, ,)(xexFx（7） 0 01)(3)(322yyyfY ， 、)1(2)yYefy
