1、第 2 章 随机变量及其分布2.1 随机变量习题 1随机变量的特征是什么？解答：随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.随机变量取特定值的概率大小是确定的.习题 2试述随机变量的分类.解答：若随机变量 X 的所有可能取值能够一一列举出来，则称 X 为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.若 X 的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称 X 为连续型随机变量.习题 3盒中装有大小相同的球 10 个，编号为 0,1,2,9, 从中任取 1 个，观察号码是“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述
2、随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.解答：分别用 1,2,3 表示试验的三个结果“小于 5”，“等于 5”，“大于 5”，则样本空间S=1,2,3, 定义随机变量 X 如下：X=X()=0,=11,=2,2,=3则 X 取每个值的概率为PX=0=P取出球的号码小于 5=5/10,PX=1=P取出球的号码等于 5=1/10,PX=2=P取出球的号码大于 5=4/10.2.2 离散型随机变量及其概率分布习题 1设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布，且 PX=1=PX=2, 求 .解答：由 PX=1=PX=2, 得e-=22e-,解得=2.习题 2设随机变量 X 的分布律为PX=k
3、=k15,k=1,2,3,4,5,试求(1)P123.解答：(1)P123=PX=4+PX=5=415+515=35.习题 3已知随机变量 X 只能取-1,0,1,2 四个值，相应概率依次为 12c,34c,58c,716c, 试确定常数 c,并计算 PX60, 即 PX20,PX20=PX=30+PX=40=0.6.就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为 0.6.习题 6设自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p=0.1, 当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求：(1)X 的概率分布； (2)PX5;(3)在两次调整之间能以
4、0.6 的概率保证生产的合格品数不少于多少?解答：(1)PX=k=(1-p)kp=(0.9)k0.1,k=0,1,2,;(2)PX5=k=5PX=k=k=5(0.9)k0.1=(0.9)5;(3)设以 0.6 的概率保证在两次调整之间生产的合格品不少于 m 件，则 m 应满足PXm=0.6,即 PXm-1=0.4. 由于PXm-1=k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化为 1-0.9m=0.4, 解上式得m4.855,因此，以 0.6 的概率保证在两次调整之间的合格品数不少于 5.习题 7设某运动员投篮命中的概率为 0.6, 求他一次投篮时，投篮命中的概率分布.解答：此
5、运动员一次投篮的投中次数是一个随机变量，设为 X, 它可能的值只有两个，即 0 和 1.X=0 表示未投中，其概率为p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1 表示投中一次，其概率为p2=PX=1=0.6.则随机变量的分布律为 X 0 1 P 0.4 0.6 习题 8某种产品共 10 件，其中有 3 件次品，现从中任取 3 件，求取出的 3 件产品中次品的概率分布.解答：设 X 表示取出 3 件产品的次品数，则 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 对应概率分布为PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120,
6、PX=3=C33C103=1120.X 的分布律为X 0 1 2 3 P 35/120 36/120 21/120 1/120习题 9一批产品共 10 件，其中有 7 件正品，3 件次品，每次从这批产品中任取一件，取出的产品仍放回去，求直至取到正品为止所需次数 X 的概率分布.解答：由于每次取出的产品仍放回去，各次抽取相互独立，下次抽取时情况与前一次抽取时完全相同，所以 X 的可能取值是所有正整数 1,2,k,.设第 k 次才取到正品(前 k-1 次都取到次品), 则随机变量 X 的分布律为PX=k=310310310710=(310)k-1710,k=1,2,.习题 10设随机变量 Xb(2
7、,p),Yb(3,p), 若 PX1=59, 求 PY1.解答：因为 Xb(2,p),PX=0=(1-p)2=1-PX1=1-5/9=4/9,所以 p=1/3.因为 Yb(3,p), 所以PY1=1-PY=0=1-(2/3)3=19/27.习题 11纺织厂女工照顾 800 个纺绽，每一纺锭在某一段时间 内断头的概率为 0.005, 在 这段时间内断头次数不大于 2 的概率.解答：以 X 记纺锭断头数，n=800,p=0.005,np=4,应用泊松定理，所求概率为：P0X2=P0xi2X=xi=k=02b(k;800,0.005)k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!)0.2381.
8、习题 12设书籍上每页的印刷错误的个数 X 服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验 4 页，每页上都没有印刷错误的概率.解答：becausePX=1=PX=2, 即11!e-=22!e-=2,PX=0=e-2,p=(e-2)4=e-8.2.3 随机变量的分布函数习题 1F(X)=0,x0.5,P1.70.5=1-PX0.5=1-F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.700,x0,试求：(1)A,B 的值；(2)P-100,x0.习题 4服从拉普拉斯分布的随机变量 X 的概率密度 f(x)=Ae-x, 求系数 A 及分布函数 F(x).解
9、答：由概率密度函数的性质知，-+f(x)dx=1, 即-+Ae-xdx=1,而-+Ae-xdx=-0Aexdx+0+Ae-xdx=Aex-0+(-Ae-x0+)=A+A=2A或 -+Ae-xdx=20+Ae-xdx=-2Ae-x0+=2A, 所以 2A=1, 即 A=1/2.从而 f(x)=12e-x,-150=150+f(x)dx=150+100x2dx=-100x150+=100150=23,从而三个电子管在使用 150 小时以上不需要更换的概率为p=(2/3)3=8/27.习题 6设一个汽车站上，某路公共汽车每 5 分钟有一辆车到达，设乘客在 5 分钟内任一时间到达是等可能的，试计算在车
10、站候车的 10 位乘客中只有 1 位等待时间超过 4 分钟的概率.解答：设 X 为每位乘客的候车时间，则 X 服从0,5上的均匀分布. 设 Y 表示车站上 10 位乘客中等待时间超过 4 分钟的人数. 由于每人到达时间是相互独立的.这是 10 重伯努力概型. Y 服从二项分布，其参数n=10,p=PX4=15=0.2,所以 PY=1=C1010.20.890.268.习题 7设 XN(3,22).(1)确定 C, 使得 PXc=PXc;(2)设 d 满足 PXd0.9, 问 d 至多为多少?解答：因为 XN(3,22), 所以 X-32=ZN(0,1).(1)欲使 PXc=PXc, 必有 1-
11、PXc=PXc, 即PXc=1/2,亦即 (c-32)=12, 所以c-32=0, 故 c=3.(2)由 PXd0.9 可得 1-PXd0.9, 即PXd0.1.于是 (d-32)0.1,(3-d2)0.9.查表得 3-d21.282, 所以 d0.436.习题 8设测量误差 XN(0,102), 先进行 100 次独立测量，求误差的绝对值超过 19.6 的次数不小于 3 的概率.解答：先求任意误差的绝对值超过 19.6 的概率 p,p=PX19.6=1-PX19.6=1-PX101.96=1-(1.96)-(-1.96)=1-2(1.96)-1=1-20.975-1=1-0.95=0.05.
12、设 Y 为 100 次测量中误差绝对值超过 19.6 的次数，则 Yb(100,0.05).因为 n 很大，p 很小，可用泊松分布近似，np=5=, 所以PY31-50e-50!-51e-51!-52e-52!=1-3722-50.87.习题 9某玩具厂装配车间准备实行计件超产奖，为此需对生产定额作出规定. 根据以往记录，各工人每月装配产品数服从正态分布 N(4000,3600).假定车间主任希望 10%的工人获得超产奖，求：工人每月需完成多少件产品才能获奖？解答：用 X 表示工人每月需装配的产品数，则 XN(4000,3600).设工人每月需完成 x 件产品才能获奖，依题意得 PXx=0.1
13、, 即1-PXx0.005.解答：已知血压 XN(110,122).(1)PX105=PX-11012-5121-(0.42)=0.3372,P100x0.05, 求 x, 即 1-PXx0.05, 亦即(x-11012)0.95,查表得 x-100121.645, 从而 x129.74.习题 11设某城市男子身高 XN(170,36), 问应如何选择公共汽车车门的高度使男子与车门碰头的机会小于 0.01.解答：XN(170,36), 则 X-1706N(0,1).设公共汽车门的高度为 xcm，由题意 PXxx=1-PXx=1-(x-1706)0.99, 查标准正态表得 x-17062.33,
14、 故 x183.98cm.因此，车门的高度超过 183.98cm 时，男子与车门碰头的机会小于 0.01.习题 12某人去火车站乘车，有两条路可以走. 第一条路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从正态分布 N(40,102); 第二条路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布 N(50,42), 求：(1)若动身时离开车时间只有 60 分钟，应走哪一条路线？(2)若动身时离开车时间只有 45 分钟，应走哪一条路线？解答：设 X,Y 分别为该人走第一、二条路到达火车站所用时间，则XN(40,102),YN(50,42). 哪一条路线在开车之前到达火车站的可能性大就走哪一条路线.(1
15、)因为 PX0 时，fY(y)=1c(b-a),ca+dycb+d0,其它,当 c1 时)=P-y-12Xy-12=-y-12y-1212e-x2dx,所以 fY(y)=FY(y)=22e-12y-12122y-1,y1, 于是fY(y)=12(y-1)e-y-14,y10,y1.习题 6设连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x), 分布函数为 F(x), 求下列随机变量 Y 的概率密度：(1)Y=1X; (2)Y=X.解答：(1)FY(y)=PYy=P1/Xy.当 y0 时，FY(y)=P1/X0+P00 时，FY(y)=P-yXy=F(y)-F(-y)这时 fY(y)=f(y)+f(-y
16、);当 y00,y0.习题 7某物体的温度 T(F)是一个随机变量, 且有 TN(98.6,2), 已知 =5(T-32)/9, 试求 (F)的概率密度.解答：已知 TN(98.6,2). =59(T-32), 反函数为 T=59+32, 是单调函数，所以f(y)=fT(95y+32)95=122e-(95y+32-98.6)2495=910e-81100(y-37)2.习题 8设随机变量 X 在任一区间a,b上的概率均大于 0, 其分布函数为 FY(x), 又 Y 在0,1上服从均匀分布，证明:Z=FX-1(Y)的分布函数与 X 的分布函数相同.解答：因 X 在任一有限区间a,b上的概率均大
17、于 0, 故 FX(x)是单调增加函数，其反函数 FX-1(y)存在，又 Y 在0,1上服从均匀分布，故 Y 的分布函数为FY(y)=PYy=0,y0,于是，Z 的分布函数为FZ(z)=PZz=PFX-1(Y)z=PYFX(z)=0,FX(z)1由于 FX(z)为 X 的分布函数，故 0FX(z)1.FX(z)1 均匀不可能，故上式仅有 FZ(z)=FX(z), 因此，Z 与 X 的分布函数相同.总习题解答习题 1从 120 的整数中取一个数，若取到整数 k 的概率与 k 成正比，求取到偶数的概率.解答：设 Ak 为取到整数 k, P(Ak)=ck, k=1,2,20.因为 P(K=120Ak
18、)=k=120P(Ak)=ck=120k=1， 所以 c=1210, P取到偶数=PA2A4A20=1210(2+4+20)=1121.习题 2若每次射击中靶的概率为 0.7, 求射击 10 炮,(1)命中 3 炮的概率;(2)至少命中 3 炮的概率;(3)最可能命中几炮.解答：若随机变量 X 表示射击 10 炮中中靶的次数. 由于各炮是否中靶相互独立，所以是一个 10 重伯努利概型，X 服从二项分布，其参数为 n=10,p=0.7, 故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)70.009;(2)PX3=1-PX300000 即 X15(人).因此，P保险公司亏本=PX15=k=1625
19、00C2500k(0.002)k(0.998)2500-k1-k=015e-55kk!0.000069,由此可见,在 1 年里保险公司亏本的概率是很小的.(2)P保险公司获利不少于 100000 元=P300000-200000X100000=PX10=k=010C2500k(0.002)(0.998)2500-kk=010e-55kk!0.986305,即保险公司获利不少于 100000 元的概率在 98%以上.P保险公司获利不少于 200000 元=P300000-200000X200000=PX5=k=05C2500k(0.002)k(0.998)2500-kk=05e-55kk!0.6
20、15961,即保险公司获利不少于 200000 元的概率接近于 62%.习题 4一台总机共有 300 台分机，总机拥有 13 条外线，假设每台分机向总机要外线的概率为 3%, 试求每台分机向总机要外线时，能及时得到满足的概率和同时向总机要外线的分机的最可能台数.解答：设分机向总机要到外线的台数为 X, 300 台分机可看成 300 次伯努利试验，一次试验是否要到外线. 设要到外线的事件为 A, 则 P(A)=0.03, 显然 Xb(300,0.03), 即PX=k=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2,300),因 n=300 很大，p=0.03 又很小,=np=30
21、00.03=9,可用泊松近似公式计算上面的概率. 因总共只有 13 条外线，要到外线的台数不超过 13，故PX13k=0139kk!e-90.9265, (查泊松分布表)且同时向总机要外线的分机的最可能台数k0=(n+1)p=3010.03=9.习题 5在长度为 t 的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数 X 服从参数 t2 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计), 求：(1)某一天从中午 12 至下午 3 时没有收到紧急呼救的概率；(2)某一天从中午 12 时至下午 5 时至少收到 1 次紧急呼救的概率.解答：(1)t=3,=3/2, PX=0=e-3/20.223;(2)t
22、=5,=5/2, PX1=1-PX=0=1-e-5/20.918.习题 6设 X 为一离散型随机变量，其分布律为X -101 pi 1/21-2qq2试求：(1)q 的值； (2)X 的分布函数.解答：(1)because 离散型随机变量的概率函数 PX=xi=pi, 满足ipi=1, 且 0pi1, 1/2+1-2q+q2=101-2q1q21,解得 q=1-1/2. 从而 X 的分布律为下表所示：X -101pi 1/22-13/2-2(2)由 F(x)=PXx计算 X 的分布函数F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x/2则 A=,PX0 是常数，求电子管在损坏前已使用时数 X 的分布函
23、数 F(x)，并求电子管在 T 小时内损坏的概率.解答：因 X 的可能取值充满区间(0,+), 故应分段求 F(x)=PXx.当 x0 时，F(x)=PXx=P()=0;当 x0 时，由题设知 PxxPXx=Px0,0, 故 X 的分布函数为F(x)=0,x01-e-x,x0(0),从而电子管在 T 小时内损坏的概率为PXT=F(T)=1-e-T.习题 9设连续型随机变量 X 的分布密度为f(x)=x,02 时，F(x)=-00dt+01tdt+12(2-t)dt+2x0dt=1, 故F(x)=0,x212x2,02.习题 10某城市饮用水的日消费量 X(单位：百万升)是随机变量，其密度函数为
24、：f(x)=19xe-x3,x00,其它,试求：(1)该城市的水日消费量不低于 600 万升的概率；(2)水日消费量介于 600 万升到 900 万升的概率.解答：先求 X 的分布函数 F(x). 显然，当 xa0,其它(0), 求常数 c 及 Pa-10, 分布函数 F(x)满足：(1)F(-a)=1-F(a); (2)PXa=21-F(a).解答：(1)F(-a)=-a(x)dx=a+(-t)dt=a+(x)dx=1-a(x)dx=1-F(a).(2)PXa=PXa=F(-a)+PXaF(-a)+1-F(a)=21-F(a).习题 15设 K 在(0,5)上服从均匀分布，求 x 的方程 4
25、x2+4Kx+K+2=0 有实根的概率.解答：因为 KU(0,5), 所以fK(k)=1/5,090=12/5260.0228,PX90=1-PX90 1-0.0228=0.9772;又因为 PX90=PX-90-, 所以有 (90-)=0.9772, 反查标准正态表得90-=2 同理：PX 60=83/5260.1578; 又因为PX60=PX- 60-,故 (60-)0.1578.因为 0.157878=1-PX78=1-Px-701078-7010=1-(0.8)1-0.7881=0.2119,因为 0.2119t=PN(t)=0=e-0.1t,F(t)=PXt=1-PXt=1-e-0.
26、1t;当 t00,x 0 (=i+1,i=0,1,2),P(B0)=C902C1002, P(B1)=C901C102C1002, P(B2)=C102C1002,P(AB0)=1+e-xdx=e-1,P(AB1)=1+2e-2xdx=e-2,P(AB2)=1+3e-3xdx=e-3,由全概率公式：P(A)=i=02P(Bi)P(A Bi) 0.32.(2)由贝叶斯公式：P(B0A)=P(B0)P(AB0)P(A)0.93.习题 19设随机变量 X 的分布律为X -2-1013pi 1/51/61/51/1511/30试求 Y=X2 的分布律.解答：pi 1/51/61/51/1511/30
27、X -2-1013X2 41019所以X2 0149pi 1/57/301/511/30注：随机变量的值相同时要合并，对应的概率为它们概率之和.习题 20设随机变量 X 的密度为fX(x)=0,x00,其它,求 Y=eX 的概率密度.解答：因为 =miny(0),y(+)=min1,+=1,=maxy(0),y(+)=max1,+ =+.类似上题可得fY(y)=fXh(y)h(y),1y+0,其它=1/y2,1y+0,其它.习题 22设随便机变量 X 的密度函数为fX(x)=1-x,-1x10,其它,求随机变量 Y=X2+1 的分布函数与密度函数.解答：X 的取值范围为(-1,1), 则 Y 的取值范围为1,2). 当 1y2 时，FY(y)=PYy=PX2+1y=P-Y-1xy-1=-y-1y-1(1-x)dx=20y-1(1-x)dx=1-(1-y-1)2,从而 Y 的分布函数为FY(y)=0,y11-(1-y-1)2,1y2,1,其它Y 的概率密度为fY(y)=1y-1-1,1y20,其它.
