1、1概率统计：2007 年考题一、填空题1.在区间 中随机地取两个数，则这两个数之差的)1,0(绝对值小于 的概率 。2提示：这两个数为 与 ，则 与 相互独立均服从区XY间 上的均匀分布，那么 服从矩形区域),( ),(上的均匀分布，则 。10:yxD4321YXP答案： .43二、单项选择题1.某人向一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为 ，则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目)10(p标的概率为（ ）A. B. 23)1(6pC. D. )( 22提示：第 4 次射击恰好第 2 次命中目标表示前 3 次射击恰好命中 1 次，第 4 次一定命中。答案：C .2.随机变量 服从二维正
2、态分布，且 与 不相关，),(YXXY， 分别表示 ， 的概率密度，则在 的条)(xfXyfY y件下， 的条件概率密度为（ ）A. B. C. D.f)(fY)(yfxYX)(fxYX提示：由于随机变量 服从二维正态分布，且 与,不相关，那么 与 独立，则 ，所以，Y,yfX。答案：A.)()(,)|(| xfyfxf XYX2三、 （13 分）设维随机变量 与 相互独立同分布，XY且 的概率分布为X1 2P3记， ，,maxYXU,inYXV（1）求 的概率分布；（2）求 与 的协方差。),(U提示：（1） 的联合分布为1 21 9402（2） ， ，94)(UE0)(V16)(UE。84
3、,Cov四、 （13 分）设二维随机变量 的概率密度为),(YX。他0102),( yxyyxf（1）求 ；（2）求 的概率密度。YXPZ提示：（1） 10)(xdyx478502dx（2） )(zFZ3 20 1)2(31)2(1 001 3zdyxzxzzxz他0)()(2zzFfZ或者 dufzfZ,他021)2()(10 zduzz五、 （13 分）设总体 的概率密度为X。othersxxf01)1(2),(其中参数 未知， 是来自总体)0(nX,21的简单随机样本， 是样本均值。 （1）求参数 的矩估计量XX；（2）判断 是否为 的无偏估计量，并说明理由。242提示：（1） dxfE
4、),()(，410xdx4令： ，则 ；XE)(21（2） ， ，6312248512)(XD那么 4)()4( 22EXDn， 不是 的221531n4X2无偏估计量。5概率统计： 2006 年考题一、填空题1.设随机变量 与 相互独立，且均服从区间XY上的均匀分布，则 。3,0 1),max(P提示： 9/3/1),ax(Y2.设总体 的密度函数为 xef2)(， 为总体 的简单随机样本，)(xnX,21其样本方差为 ，则 。SE提示： )(2D二、单项选择题1设 为两个随机事件，且 ，BA, 0)(BP则有（ ）)|(P（A） （B）)(P)(A（C） （D） (2.设随机变量 服从正态
5、分布 ，随机变量X),21N服从正态分布 ，且 Y),(2N，则必有（ ）12P（A） （B） 21（C） （D）1 三、 （13 分）设随机变量 的概率密度为X6，令 ， 为二维随他024/10)(xxfX 2XY),(yxF机变量 的分布函数。求：,Y（） 的概率密度 ；)(yY（） ；),(Cov（） 。421F提示： ；otheryyfY021)(83 323)()()(, XEYEXXCov ,/14,/1421 PPF2四、 （13 分）设总体 的密度函数为，其中 是未知参数（ ） 。他01);(xxf10为来自总体 的随机样本，记 为样本值小nX,21 N于 1的个数。求：（）
6、的矩估计；（） 的最大似然估计；提示： ，所以， ；23)(EX23，NnL1 )1ln(lnlNL7， 。01lnNdLn五、 （13 分）设二维随机变量 的概率分布为),(YX1 0 11 a0 0.20 0.1 b0.21 0 0.1 c其中 为常数，且 的数学期望 ，cba,X2.0)(XE，记 。求：5.|0XYPYZ（） 的值；,（） 的概率分布；（）提示： ；1.034.cab2.0YPZX82005年硕士研究生入学考试试题一、填空题（每小题 4 分，共 12 分）1.从数 1,2,3,4 中任取一个数，记为 , 再从X中任取一个数，记为 , 则 = X,21 Y2YP。解: 2
7、12PY4433 XXP48)120(42.设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为Y0 10 0.4 a1 b0.1已知随机事件 与 相互独立，则 a= 0.4 , Xb= 0.1 .解:由题设，知 ;又事件 与5.0a0相互独立，于是有1YX，11, YXPYP即 ,由此可解得 .)(4.0b,4.ba二、单项选择题（每小题 4 分，共 12 分）1.设二维随机变量 的概率分布为,XY0 190 0.4 a1 b0.1已知随机事件 与 相互独立，则 XY（A）.a=0.2, b=0.3 (B).a=0.4, b=0.1(C).a=0.3, b=0.2 (D).a=0.1, b=0.42.设
8、为独立同分布的随机变量列，且 ,21n均服从参数为 的指数分布，记 为标准正态分)()(x布函数，则 (A) (B) .)(lim1xnXPin )(lim1xnXPin(C) (D).(li1xin ).(li1xin3.设一批零件的长度服从正态分布 ，其中),(2N均未知. 现从中随机抽取 16 个零件，测得样本均值2,，样本标准差 ，则 的置信度为 0.90)(0cmx)(1cms的置信区间是 ( )(A) (B).6(42),1(05.05. tt ).16(420,(.1.tt(C) (D)1, 5),1.0.0解:由正态总体抽样分布的性质知， ， )(ntsx10故 的置信度为 0
9、.90 的置信区间是)1(),1(22ntxntx，即 ).5(40,5400.0. tt三、 （13 分）设二维随机变量 的概率密度为,YX他21),( xyxyxf求：（I） 的边缘概率密度 ；（II）YX)(,fYX的概率密度Z2).(zfZ( III ) 21P解: （I） 关于 的边缘概率密度 他01),()( xdyxff xX 他012x关于 的边缘概率密度Ydxyff),()(他0212yy他021y（II ） 令 ，zYXPzZzFZ （1）当 时， ；)(（2）当 时， ;202Z241z（3）当 时，z .)(zYz11即分布函数为： 2104)(2zzFZ故所求的概率密
10、度为： 他0)(zfZ（III ） .43,211621XPYXYP四、 （13 分）设 为独立同分布的)(,1n随机变量，且均服从 ，记 ，)0(Nii1求：.,2,niXYii （I） 的方差 ；i niDY,21（II ） 与 的协方差1n).(Cov（III ） .0P解:由题设 相互独立，且,21Xn，)(iEXii .0E（I） nijjiii XDDY1(nijjiXn221)1( .)(22（II ） ),11CovYovnn),(),()( 1XCovXXCn12nn110(III) XYn11iiX22上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以服从正态分布，nY1由于:
11、，故 0)(1nE2110nYP五、 （本题满分 13 分）设 为来自)(,2X总体 的简单随机样本， 为样本均值，记,2N.,iXYii 求：（I） 的方差 ；iYniD,1,（II ） 与 的协方差1n).(YCov（III ）若 是 的无偏估计量，求常数 。2)(cc解：由题设，知 相互独立，且2,1Xn, ,2iXEii Enii ,1,0)(。（I） nijjiii XDDY)1()(nijjiXn221)1( .1)(2222 （II ） ),(11CovYovnn13),(),(),(),( 11 XCovXovCovXovnn 2220（III ） )()(11nnYcDYcE
12、= ,2ovD= ，22n故 .)(c142005-2006年概率统计考题的显著特色一、与早年的考题有关，考查 维随机变量的数字特n征。(04.)设随机变量 独立同分布,其)1(,.21Xn方差 .令随机变量 ,则 ( )02iiYA. B. 21)(nXD21)(DC. D. Cov, ,XCov提示： ；nnY2111 )(,),( ， 。213)(nXD21)(D二、二维随机变量的边缘分布、条件分布、函数的分布。三、随机变量函数的分布与极大似然估计中密度函数为分段函数。例 1.(03.) 设随机变量 的概率密度为X他08,13)(2xxf是 X 的分布函数. 求随机变量 的分布函数.)(
13、xF)(FY解：若 是连续型随机变量 的分布函数，则)(X15服从区间 上的均匀分布。)(XFY)1,0(首先， ，设 的分布函数为 ，那么Y)(yGY当 ；当 ；,yGY 1)(,y当 ，0 yFXPFPY )()()( 1所以： 10y本题中， ，也有同样的结论。8)(3xxF例 4.设随机变量 在区间 上服从均匀分布,在X)10(的条件下,随机变量 在区间 上服从均)10(xXY),0(x匀分布.求:() 随机变量 和 的联合概率密度;() 的概率密度;( )概率 YP提示： ，条件分布 ，他01)(xfX 他01)|(| xyxyfXY他01)|(),(| xyxyfyxfYX；1ln1)dfyY16。2ln112/1xdyYXP例 5设随机变量 与 独立，其中 的概率分布为XYX，7.03而 的概率密度为 ，求随机变量 的概率密Y)(yf YU度 .)(ug提示： 2,1, uXPuYXPG21P7.03.0uY)()(F所以， )2(7.0)1(3. ufufGg
