1、 二项展开式的通项 : 二项式系数 : 项数： 次数：共有 n 1项各项的次数都等于 n， 字母 a按 降幂 排列 ， 次数由 n递减到 0 ,字母 b按 升幂 排列 ， 次数由 0递增到 n .二项式定理 二项式定理 定理 剖析 1.二项式系数规律：2.指数规律：（ 1）各项的次数均为 n；（ 2） 二项展开式中 a的次数由 n降到 0，b的次数由 0升到 n.3.项数规律：二 项 展开式共有 n+1个项4.若 a=2, b=x :则称某一项除 X外的代数式为 项的系数 如： 第二项的系数为： ，二项式系数为：化简 : (x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1.变式练习
2、杨辉三角杨辉三角研究性课题：研究性课题：计算 (a+b)n展开式的二项式系数并填入下表n (a+b)n展开式的二 项 式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2） 上下两行有什么关系吗？ 3） 根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? 每行两端都是 1 Cn0= Cnn=1 从第二行起，每行除 1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)
3、6+ + + + + + + + +第 5行 1 5 5 1第 0行 1杨辉杨辉 三角三角第 1行 1 1第 2行 1 2 1第 3行 1 3 3 1第 4行 1 4 1第 6行 1 6 15 6 1第 n-1行 1第 n行 1 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34一一 .复习复习 :杨辉三角的基本性质杨辉三角的基本性质1）表中每个数都是组合数，第 n行的第r+1个数是 2）三角形的两条斜边上都是数字 1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是 3）杨辉三角具有对称性 4）杨辉三角的第 n行是二项式（ a+b） n展开式的二项式系
4、数即二项式系数的性质二项式系数的性质展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以 r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的 7个孤立点 对称性 与首末两端 “ 等距离 ”的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到图象的对称轴：二项式系数的性质二项式系数的性质2、若（ a+b） n的展开式中，第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等，知识对接测查 11、在 (a b) 展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是 ( )A 第项 B 第项 C 第项 D 第项则 n=_B8 增减性与最大值 由于 ：所以 相对于 的增减情况由 决定二项式系数的性质二项式系数的性质由 ：即
5、二项式系数 前 半部分是 逐渐增大 的，由对称性可知它的 后 半部分是 逐渐减小 的，且 中间项取得最大值 。可知，当 时，因此 ,当 n为偶数时 ,中间一项的二项式系数 取得最大值；当 n为奇数时 ,中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值。 增减性与最大值 二项式系数的性质二项式系数的性质 各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于 ：同时由于 ，上式还可以写成：这是组合总数公式 二项式系数的性质二项式系数的性质例 证明在 (a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。在二项式定理中，令 ，则： 赋值法赋值法证明：
6、中世纪意大利数学家 斐波那契 的传世之作 算术之法 中提出了一个饶有趣味的问题： 假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 1. 斐波那契斐波那契 “兔子繁殖问题兔子繁殖问题 ”:二二 .引入引入:在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到 第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，2. 杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为
7、什么两边区奖品低于中间区奖品？“纵横路线图 ”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从 A处走到 B处 (只能由北到南，由西向东 )，那么有多少种不同的走法？ AB3.杨辉三角与杨辉三角与 “纵横路线图纵横路线图 ”从某种意义上说 ,发现问题 更重要 .第 5行 1 5 5 1第 0行 1第 1行 1 1第 2行 1 2 1第 3行 1 3 3 1第 4行 1 4 1第 6行 1 6 15 6 1第 n-1行 1第 n行 1 1515=5+102020=10+1010=6+41010=6+41066=3+34=1+34三三 .新课新课 :杨辉三角蕴含的数字排列
8、规律 .1.研究斜行规律：第一条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：猜想： 在杨辉三角中，第 m条斜线（从右上到左下）上前 n个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第 m+1条斜线上的第 n个数 .1 1 1 1 （ 第 1条斜线 ）1 4 10 （ 第 4条斜线 ）1 3 6 （ 第 3条斜线 ）1 2 3 （ 第 2条斜线 ）(nr) ?结论 1： 杨辉三角中，第 m条斜 (从右上到左下 )上前 n个数字的和，等于第 m+1条斜线上第 n个数即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，第 m条斜 (从左上
9、到右下 )上前 n个数字的和，等于第 m+1条斜线上第 n个数。125第 5行 1 5 10 10 5 1第 6行 1 6 15 20 15 6 1第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1第 1行 1 1第 0行 1第 2行 1 2 1第 3行 1 3 3 1第 4行 1 4 6 4 11381321342.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1从第三个数起，任一数都等于前两个数的和从第三个数起，任一数都等于前两个数的和 ;这就是著名的这就是著名的 斐波那契数列斐波那契数列 。中世纪意大利数学家 斐波那契 的传世之作 算术之法
10、中提出了一个饶有趣味的问题： 假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？ 兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 1.斐波那契斐波那契 “兔子繁殖问题兔子繁殖问题 ”四四 .应用应用 :在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区域获得奖品。试问：为什么两边区奖品低于中间区奖品？ “概率三角形 ” 照这样计算第 n+1层有 n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？与杨辉三角有何 关系？2. 杨辉三角与弹子游戏杨辉三角与弹子游戏“纵横路线图 ”是数学中的一类有趣的问题：如图是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从 A处走到 B处 (只能由北到南，由西向东 )，那么有多少种不同的走法？ AB由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系 3.杨辉三角与杨辉三角与 “纵横路线图纵横路线图 ”杨辉三角的其它规律杨辉三角的其它规律
