1、1.3.2杨辉三角和二项式系数性质,二项式定理及展开式:,复习回顾,2.已知(1+ )n展开式中含x-2的项的系数为12，则n=_,3.若将899除以9，则得到的余数是_,课题引入,二项式系数表,你知道这是什么图表吗？,详解九章算法记载的表,杨辉 三角,杨辉,以上二项式系数表,早在我 国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。,问题：从图中你能得出哪些
2、性质？,问题：会证明这些性质吗？,探索与发现,a).表中每行两端都是1。,b).除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。,4+6=10,当n不大时，可用该表来求二项式系数。,总结提炼1:,对称,总结提炼2:,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大,当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大,知识探究3:,n是偶数时，中间的一项 取得最大值 ；,当n是奇数时，中间的两项 和 相等，且同时取得最大值。,总结提炼3:,和为,2,4,8,16,32,64,知识探究4:,各二项式系数的和,2n,+ + + +,令x=1；,令x=-1；,0,知识探究4:,1、在(ab
3、)20展开式中，与第五项二项式系数相同的项是( ).,C,课堂练习:,A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项,C,A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项,2、在(ab)11展开式中，二项式系数最大的项( ).,3， 已知 展开式中只有第10 项二项式系数最大，则n=_。,18,例1：,则,-2,-1094,1093,求解二项式系数和时，灵活运用赋值法可以使问题简单化。通常选取赋值时取1，1，0。,注意:1.项与项数的区别 2.二项式系数与项系数的区别 3.二项式系数一定为正，系数可以有负值.,(1-x2)9展开式中系数最大的项是_,系数最小的项是_,二项
4、式系数最大的项是_,126x8,-126x10,126x8,-126x10,例2：,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“赋值法”，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。,内容小结,教学反思,“探索规律”问题蕴涵着观察、猜想、归纳的思想方法，是锻炼学生抽象思维能力的一个好素材 。鉴于学生已经有了找规律的经验，我对本节课进行了深入的挖掘和整理，分了三个环节来完成。 首先和学生一起进行“智力测验”。旨在让学生从简单的数字规律中
5、发现这些数字都是通过“加、减、乘、除、乘方”运算建立联系的。同时向同学传达了解决问题的普遍方法，即：先发现规律，然后利用规律解决具体问题。 然后进行本节课的重点知识 “杨辉三角”的讲解。“杨辉三角”虽说是八年级课后阅读材料，但我还是把它作为教学的重点知识来研讨。因为它是世界古代数学史上很著名的体现数字规律的篇章，通过让学生寻找杨辉三角的规律，可以充分调动他们的视觉去观察，大脑去思考、归纳，然后利用发现的规律续写杨辉三角。我向同学们介绍了杨辉三角的悠久历史，使同学们为我们中华民族的数学发展感到自豪，大大提升学生的数学兴趣。这么著名的杨辉三角究竟有什么用途呢？这时我将它与我们最近学习的多项式乘法联系起来，引导同学们观察（a+b）nn是正整数的展开式，按照a的指数依次降低的顺序排列之后，将各项的系数拿出来排列成表，发现恰好是杨辉三角，同时还发现各项中字母指数也是有一定规律的。学生们已经学习了多项式的乘法，感受更深，自然而然地联想到运用杨辉三角来简化多项式（a+b）nn是正整数的运算。 最后我联系生活中的数学问题，使学生们体会到，数学来源于生活又服务于生活，学数学是有用的。不管哪种类型的问题，都要归结到代数式上，准确找到合适的代数式表达规律，然后利用发现的规律可以较简便的解答较复杂的问题，这正是“探索规律”的美丽所在。,
