1、1第 1.2.1 任意角的三角函数 课程目标 学习脉络1.借助于单位圆，理解三角函数的定义2会判断给定角的三角函数值的符号3会利用公式一把任意角的三角函数值转化为0,2)范围内的角的三角函数值.1任意角的三角函数(1)单位圆：在直角坐标系中，称以原点为圆心，以单位长度 为半径的圆为单位圆(2)三角函数的定义：如图所示， 是任意角，以 的顶点 O 为坐标原点，以 的始边为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系设 P(x，y)是 的终边与单位圆的交点y 叫做 的正弦 ，记作 sin ，即 sin y ；x 叫做 的余弦 ，记作 cos ，即 cos x； 叫做 的正切，记作 tan ，即 tan (
2、x0)(3)三角函数定义域如下表所示，三角函数 解析式 定义域正弦函数 ysin x R余弦函数 ycos x R正切函数 ytan x ,2xkZ思考 1 若 P(x，y)(除原点外)为角 终边上任意一点的坐标，则角 的三角函数如何确定？提示：设点 P(x，y) 到原点(0,0)的距离为 r，则 r ，则 sin 2xyyr2，cos ，tan (x0)2yxxr2yy2三角函数值的符号sin ，cos ，tan 在各个象限的符号如下：思考 2 三角函数在各象限的符号是如何确定的？提示：由三角函数的定义知，三角函数在各象限的符号由角 终边上任意一点的坐标来确定3诱导公式一(1)语言表示：终边
3、相同的角的同一三角函数的值相等(2)式子表示： (kZ)sin(2)sincocotatak ， ， 思考 3 诱导公式一的实质是什么？有什么作用？提示：诱导公式一实质上是终边相同的角的三角函数值相等，它的作用是把求任意角的三角函数值，转化为求 02(或 0360)角的三角函数值由公式，可知三角函数的值有“周而复始”的变化规律，即角 的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现3第 1.2.1 任意角的三角函数 一、选择题（本题共 8 个小题）1 【题文】 等于( )25sin6A B C D312322.【题文】若角 的终边经过点 ，则 （ ）4,5PsintaA B C D1651616156
4、3 【题文】利用余弦线比较 ， ， 的大小关系是( )cos3cos.5A Bcos1s1.53 1.3C Dco.cos.5cos4. 【题文】如图，在单位圆中角 的正弦线、正切线完全正确的是 ( )A正弦线 ，正切线 B正弦线 ，正切线PMAT MPATC正弦线 ，正切线 D正弦线 ，正切线5 【题文】角 的终边经过点 且 ，则的值为( ),4Pb3cos5A4 B C D-4 36 【题文】已知为终边不在坐标轴上的角，则函数的值域是( )|sin|cos|tan|xf xA B3,1,14C D1,31,37 【题文】在 上，满足 的的取值范围为( )0,2sin2xA B ,3 ,3C
5、 D2,65,68 【题文】若为第一象限角，则能确定为正值的是 ( )A B C Dsin2cos2tan2cos2二、填空题（本题共 3 个小题）9 【题文】已知 的终边经过点 ，且 则 的取6,si0,cs,值范围为_10 【题文】若角 的终边与直线 重合且 ，又 是 终边3yxsin,Pmn上一点，且 ，则 _.10OPmn11 【题文】已知点 在第一象限，则在 内 的取值sico,ta0,2范围为_三、解答题（本题共 3 个小题）12.(1) ； (2) .217costan4sin 630ta 125tan 76cos 54013 【题文】当 时，求证： .0,2sinta514 【
6、题文】已知角 的终边落在直线 上，求 ， ， 的2yxsincostan值第 1.2.1 任意角的三角函数 参考答案及解析1 【答案】A 【解析】由诱导公式一，可知 故选 A.251sini4+sin6622 【答案】A【解析】由已知得 ， ， ，所以4sin53cos45tan316sinta()33【答案】C【解析】 均在 内，且 ，又余弦线在 内随 的增1,.50,21.530,2大而逐渐减小， .coscos4 【答案】C【解析】结合三角函数线的定义知选 C.5 【答案】A【解析】 ， ， .216rb23s5c6o1brb6 【答案】D【解析】若为第一象限角，则 ；若为第二、三、四象
7、限，则 ，3fx 1fx函数 的值域为 fx1,7 【答案】B6【解析】在 上， ，结合正弦线知 .0,223sini323x8 【答案】C【解析】为第一象限角， .2,2kkZ .,24kkZ当 时， n24nn 为第一象限角，2 ， ， .sin0cos2tan0当 时，1 kZ524nn 为第三象限角， ， ， ，sin02costan02从而 ，而 ，ta4+,kkZ有可能取负值cos9 【答案】 2,【解析】 ， ， 位于第二象限或 轴正半轴上，in0cosy， ， .36a2a10 【答案】2【解析】 ， ，3yxsin0点 位于 在第三象限的图象上，且 ， ，,Pm0mn .n
8、.21010On ， ， .132711 【答案】 5,42【解析】由题意知 sincota0.,如图，由三角函数线可得5,430.2或 或 425412 【答案】 （1） （ 2）3【解析】(1)原式 .13=cos4tan2costan4342(2)原式 in36027t3605t605cs18si a t cs 18.13 【答案】详见解析【解析】证明：如图所示，在直角坐标系中作出单位圆， 的终边与单位圆交于 ， 的正弦线、正切线为有向线段 ， ，则 ， .PMPATsintanAT因为 ，1sin2AOPSM， ，扇 形 1tan2AOTS8又 ，AOPAOTPSS扇 形所以 ，即 .
9、11sintan22sitan14 【答案】详见解析【解析】当角 的终边在第一象限时，在角 的终边上取点 ，1,2P ， ， ，1x2y215r ， ，5sinr1cosxr.2ta1yx当角 的终边在第三象限时，在角 的终边上取点 ，1,2Q ， ， ，x2y2215r ， ，5sinrcosxr.2ta1yx1.2.2 同角三角函数的基本关系课程目标 学习脉络1.了解三角函数线的定义和意义2会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切3会利用三角函数线比较三角函数值的大小，会解简单的三角不等式.三角函数线(1)有向线段：带有方向的线段叫做有向线段9(2)定义：如图，设单位圆与 x 轴的正半轴
10、交于点 A，与角 的终边交于点 P(角 的顶点与原点重合，角 的始边与 x 轴的非负半轴重合)过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M，过点 A 作单位圆的切线交 OP 的延长线(或反向延长线) 于点 T，这样就有 sin MP，cos OM，tan AT .单位圆中的有向线段MP，OM ，AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线思考 1 三角函数线的方向如何确定？提示：正弦线由垂足指向 的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与 的终边( 或反向延长线) 的交点思考 2 三角函数线的意义是什么？提示：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角
11、函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值思考 3 当角 的终边与 x 轴重合或与 y 轴重合时，三角函数线的情况如何？提示：当角 的终边与 x 轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角 的正弦值和正切值都为 0；当角 的终边与 y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角 的余弦值为 0，正切值不存在课程目标 学习脉络1.理解同角三角函数的基本关系式2能正确运用基本关系式进行化简、求值与证明.10同角三角函数的基本关系思考 1 如何理解“同角三角函数的基本关系”中的“同角”？提示：“同角”包含两层含义：一是角相同，如 sin2cos 21 不一定成立；二是对任意一个角(在使得函
12、数有意义的前提下 )关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215cos 2151，sin 2 cos 2 1，sin 23cos 231 等9思考 2 同角三角函数的基本关系式有哪些变形形式？提示：除了掌握两个基本公式外，还要熟练掌握其等价形式：sin2cos 21sin 21 cos2，cos21sin 2；tan sin tan cos ；sinco,2kZ(sin cos )212sin_cos_，(sin cos )212sin_cos_绝密启用前111.2.2 同角三角函数的基本关系一、选择题1.【题文】若 ，且是第二象限角，则 的值等于 ( )52sincosA B C D
13、534552 【题文】若 ，则 等于 （ ）tan2sincoA. B. C. D. 3313133 【题文】已知 ，且 ，则 （ ）0,cos5tanA B C D444434 【题文】若角 的终边在直线 上，则 的值为 ( )2yxsicon2A B C D3545 【题文】已知 ，则 等于 （ ）2tan22cossiinA B C D34453546 【题文】如果 ，那么 的值为 （ ）cossintanA B C D2 21616237 【题文】若 是第三象限角，且 ，则 （ ）ta3cosA B C D10331001018 【题文】已知 ， ，则 等于 （ ）,sinco5tan
14、A. B. C. D. 434434312二、填空题9 【题文】已知角 是 的一个内角，若 ，则 等于ABCsinco137AtanA_10 【题文】已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合终边在直线上,则 30xysinco11 【题文】已知， ，且有 ， ，则0,2ysin6sixytan3txy. cosx三、解答题12.【题文】化简下列各式：(1) ； (2) .21sin30cos1i22 cossintasintan13.【题文】(1)若 为第二象限的角，化简 ；21tansi(2)已知 ，求 的值1tan32 21t(co)tan14.【题文】证明：(1) ；221cosinc
15、osincosinta1(2) 2 22)()(ta)(i)（131.2.2 同角三角函数的基本关系 参考答案及解析1 【答案】C【解析】因为是第二象限角，所以 ，故选 C.245cos1sin12 【答案】D【解析】 ， ，故选 Dtan2sinta=3con123【答案】 D【解析】 因为 ，且 ， 所以0,3s5，所以 .故选 D.224sin1cos1sin4taco34 【答案】B【解析】角 的终边在直线 上， ，2yxtan2 故选 B.sin12sincot345 【答案】D【解析】由 ，得 ，即 ，2tan2cosincos2sin则 .222cos44isi 将 代入 得 ，
16、s1csi22 5cs所以 故选 D.ocoini2 6 【答案】C【解析】分子和分母同时除以 ，得 ，s5tan3214解得 故选 C.1623tan7 【答案】B【解析】因为 是第三象限角，所以 ，由同角三角函数的基本关系式可cos0得，故选22 2cs1310cossinotan9B8 【答案】B【解析】 ，两边平方得sinco15，2isi2n则 ， ，sic40, ， ， ，0ossinco0 ， ，2sinc149257sinco5联立解得 ， ，则 故选 B.si35csta3=49 【答案】 15【解析】利用 ，可得 ，可知 钝角，联立得1cossin22A1690cosinA
17、A方程组 可得 ，所以60i,97snco,1325si,s3.12ta5A10 【答案】【解析】因为角的终边在直线 上，所以 ，30xytan3所以 .sincosincot121511 【答案】 12【解析】 ， ，sin6sixytan3txy ，23cos2scocox .2222 21sinsincocs32yx x12 【答案】(1)1 (2) 1icos【解析】 (1)原式2 22sn30ics10o3= .i1cossin31cs(2)原式 2 2i o=iniocin42422siissics1=.oicos（ ）13 【答案】(1) (2) 13【解析】 (1) ，22 cs1sinitan=tasi on 为第二象限的角， ， ，co0i原式 sics1.oin(2)由已知得 ， .+3csi22sinco3.1sinco3原式 2 21 2=tansi .14 【答案】见解析【解析】证明：(1)左边2 22 22sisincosinsiconcoco11622 222sincosincosincos=si（ ）右边.原式成立22iisc(2) 左边 222222=4tanosintansiin；i右边 22222(1t)(+c)=1t+cosi，ansi左边右边，原式成立
