1、2.1.1 函数（一）变量与函数的概念学习目标1. 了解并掌握函数的概念和函数的要素，并会求一些简单函数的定义域和值域，注意搜集日常生活中的实例，整理与分析量与量之间的关系，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。2. 记录，了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点自主学习1. 变量的概念：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y,如果给定了一个 x 值，相应的就确定唯一的一个 y 值，那么就称 y 是 x 的函数。 叫自变量， 叫因变量。例 1、s=r 2 其中 r 是 ， 是 。s例 2、 = 其中 是 ， 是 。I0RI2. 函数的概念：设集合 A 是一个非空的数集，对 A
2、 中的任意数 x ，按照确定的法则 f，都有唯一确定的数 y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数。记作：y=f(x) , x A。其中 叫 。x3. 定义域：函数中自变量 x 的允许取值范围例 3、求下列函数的定义域：1） 3yx2） 7x3） f(x)= 14、 函数的值域：如果自变量取值 ，则由法则 f 确定的值 y 称为函数在 a 处的函数值，a记作：y=f(a), 或 yx=a，所有的函数值构成的集合yy=f(x),x ,叫做这个函数的值A域。例 4、求函数 ， ，在 处的函数值和函数的值域。21()fxxR0,12例 5、已知函数 f(x)=1 ,求 f(0), f(
3、-2), f(15)。2x5、 函数的三要素： 关于函数定义的理解： 定义域、对应关系是决定函数的二要素，是一个整体，值域由定义域、对应法则唯一确定； f(x)与 f(a)不同： f(x)表示“ y 是 x 的函数”; f(a)表示特定的函数值。常用f(a)表示函数 y=f(x)当 x=a 时的函数值；f(x)是表示关于变量 x 的函数，又可以表示自变量 x 的对应函数值，是一个整体符号，不能分开.符号 f 可以看做是对”x”施加的某种运算步骤或指令.例如，f(x)=3x2，表示对 x 施加“平方后再扩大 3 倍”的运算。函数还可以用 g(x), F(x)来表示.函数的定义域是自变量 x 的取
4、值范围，它是构成函数的重要组成部分，解析式后如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的 x 的集合，如果函数是由几个部分组成，那么函数的定义域是使各部分有意义的交集，在研究实际问题时，函数的定义域要受到实际意义的制约.例 6 判断下列命题正确与否：1、函数值域中的每一个数都有定义域中的数与之对应.2、函数的定义域和值域一定是无限集合.3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定.4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素.5、对于不同的 x , y 的值也不同. 6、 f (a)表示当 x = a 时，函数 f (x)的值，是一个常量.例 7：求函数的解析式1）已知函数
5、f(x)= ，求 f(x-1)。22）已知函数 f(x-1)= ，求 f(x)。x6、如何检验给定两个变量之间是否具有函数关系？（1）定义域和对应法则是否给定；（2）根据给出的对应法则，自变量 x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值 y.7、区间的概念：设 且 ab，,abR，叫闭区间，记作： ，叫开区间 ，记作： 叫半开半闭区间，分别记作： 其中 a 与 b 叫做区间的 。例 8、分别满足 的全体实数的集合分别记作： ， ,xaxa ， 。注意：在数轴上表示区间时，属于这个区间端点的实数，用实心点表示，不属于这个区间端点的实数，用空心点表示。8、相同函数：函数与函数之间只要定义
6、域和对应法则都相同，就是同一函数. 定义域是函数的灵魂，而对应法则相当于骨骼。例 9 下列各组式子是否表示同一函数？为什么？1） f(x)= ， (t)= ;x2t2） ;22,()yx3） , ;1.1yx4） , ;yx2例 10 ：求下列函数的定义域：1） ；217yx2） ；3）已知函数 f(x)=3x4 的值域为10，5，则其定义域为 小结：求函数的定义域，就是求使这个解析式有意义的自变量的取值的集合，一般转化为解不等式（或不等式组）例 11： 求函数 f(x)=3x1(x| )的值域。 1xZ且例 12：已知函数 f(x)= (a,b 为常数，且 a )满足 f(2)=1,方程 f
7、(x)=x 有唯一解，xab0求函数 f(x)的解析式，并求 ff(-3)的值。快乐体验下列每对函数是否表示同一函数？（） （） ，（）. （2）（），（）0(1)x 2x（） （） ，（）t2x求下列函数的定义域，并用区间表示（） （） . （2）（） .1x32x（） （） . （4）f(x)13x43设（） ，则（） （ ）1x() 14. 当定义域是 时，函数（） 与（） 表示同一函数。1x1x5、求函数 的值域。267x6、设函数21,1()()2.578A.B-.CD.69xf f则 的 值 为 （ ）7、已知函数（） 2x（） 当时，求（）（） 若（），求的值。8、 （1）若函数 f(x)的定义域为（1,2） ，求函数 f(3x+1)的定义域；（2）若函数 f（3x+1）的定义域为（1,2） ，求函数 f(x)的定义域.9、设 f(x)=2x3 g(x)=x2+2 则称 fg(x)（或 gf(x)）为复合函数。fg(x)=2(x2+2)3=2x2+1gf(x)=(2x3)2+2=4x212x+11求复合函数 ff(x)和 gg(x)并指出这两个函数的自变量是什么?10、若函数 的定义域为1，1，求函数 的定义域。)(xfy )41(xfy)(f高.考 试-题库
