1、第三十六讲 相似三角形(一)两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形相似比为1的两个相似三角形是全等三角形因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用例 1 如图 2-64所示
2、，已知 ABEFCD，若 AB=6厘米，CD=9 厘米求 EF分析 由于 BC是ABC 与DBC 的公共边，且 ABEFCD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求 EF解 在ABC 中，因为 EFAB，所以同样，在DBC 中有得设 EF=x厘米，又已知 AB=6厘米，CD=9 厘米，代入得说明 由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题请同学自己证明例 2 如图 2-65所示 ABCD的对角线交于 O，OE 交 BC于 E，交AB的延长线于 F若 AB=a，BC=b，BF=c，求 BE分析 本题所给出的已知长的线段 AB，BC，BF 位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，
3、通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，过 O作 OGBC，交 AB于 G，构造出FEBFOG，进而求解解 过 O作 OGBC，交 AB于 G显然，OG 是ABC 的中位线，所以在FOG 中，由于 GOEB，所以例 3 如图 2-66所示在ABC 中，BAC=120，AD 平分分析 因为 AD平分BAC(=120)，所以BAD= EAD=60若引DEAB，交 AC于 E，则ADE 为正三角形，从而 AE=DE=AD，利用CEDCAB，可实现求证的目标证 过 D引 DEAB，交 AC于 E因为 AD是BAC 的平分线，BAC=120，所以BAD=CAD=60又BAD=EDA
4、=60，所以ADE 是正三角形，所以EA=ED=AD 由于 DEAB，所以CEDCAB，所以由，得从而例 4 如图 2-67所示 ABCD中，AC 与 BD交于 O点，E 为 AD延长线上一点，OE 交 CD于 F，EO 延长线交 AB于 G求证：分析 与例 2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证证 延长 CB与 EG，其延长线交于 H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB在EIH 中，由于 DFIH，所以在OED 与OBH 中，DOE=BOH，OED=OHB，OD=OB，所以 OEDOBH(AAS)从而DE=BH
5、=AI，例 5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形 ABC的三边 BC，CA，AB(或其延长线)分别交于 D，E，F(如图 2-68所示)求分析 设法引辅助线(平行线)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证证 过 B引 BGEF，交 AC于 G由平行线截线段成比例性质知说明 本题也可过 C引 CGEF 交 AB延长线于 G，将求证中所述诸线段“集中”到边 AB所在直线上进行求证例 6 如图 2-69所示P 为ABC 内一点，过 P点作线段 DE，FG，HI分别平行于 AB，BC 和 CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求 d分析 由于图中平行线段甚多，因
6、而产生诸多相似三角形及平行四边形利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：进而求 d因为 FGBC，HICA，EDAB，易知，四边形 AIPE，BDPF，CGPH均是平行四边形BHIAFGABC，从而将代入左端得因为DE=PEPD=AIFB， AF=AIFI， BI=IFFB 由，知，的分子为DEAFBI=2(AIIFFB)=2AB从而即下面计算 d因为 DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入得解得 d306练习十五1如图 2-70所示梯形 ABCD中，ADBC，BD，AC 交于 O点，过 O的直线分别交 AB，CD 于 E
7、，F，且 EFBCAD=12 厘米，BC=20 厘米求EF2已知 P为 ABCD边 BC上任意一点，DP 交 AB的延长线于 Q3如图 2-72 所示梯形 ABCD 中，ADBC，MNBC，且 MN与对角线 BD交于 O若 AD=DO=a，BC=BO=b，求 MN4P 为ABC 内一点，过 P点作 DE，FG，IH 分别平行于AB，BC，CA(如图 2-73所示)求证：5如图 2-74 所示在梯形 ABCD 中，ABCD，ABCD一条直线交 BA延长线于 E，交 DC延长线于 J，交 AD于 F，交 BD于 G，交 AC于H，交 BC于 I已知 EF=FG=CH=HI=HJ，求 DCAB6已知 P为ABC 内任意一点，连 AP，BP，CP 并延长分别交对边于 D，E，F求证：不少于 2
