1、相似三角形的判定 相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。 我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。 一、等积式、比例式的证明： 等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。 （一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。 等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。 例 1、已知：如图，ABC 中，ACB=90 0
2、，AB的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 延长线于 F。求证：CD2=DEDF。 分 析：我们将此等积式变形改写成比例式得： ，由等式左边得到CDF，由等式右边得到EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为CDE 是公共角，只需证明DCE= F 就可证明两个三角形相似。 证明略（请同学们证明） 提示:D 为直角三角形斜边 AB 的中点,所以 AD=DC, 则DCE=A. （二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。 例 2如图，已知ABC 中，AB=AC，AD 是
3、 BC 边上的中线，CF BA，BF 交 AD 于 P 点，交 AC 于 E点。 求证：BP 2=PEPF。 分析：因为 BP、PE、PF 三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为 AB=AC，D 是 BC 中点，由等腰三角形的性质知 AD 是 BC 的垂直平分线，如果我们连结 PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明PECPCF，问题就能解决了。 证 明：连结 PC 在ABC 中，AB=AC，D 为 BC 中点， AD 垂直平分 BC， PB=PC， 1= 2， AB=AC ，ABC=ACB， ABC-1= ACB-2， 3= 4， CFAB，3=F，
4、4=F， 又EPC=CPF，PCEPFC， ，PC 2=PEPF，PC=PB， PB 2=PEPF。（等线段代换） 例 3如图，已知：在ABC 中，BAC=90 0，ADBC ，E 是 AC 的中点，ED 交 AB的延长线于 F。 求证： 。 分 析：比例式左边 AB，AC 在ABC 中，右边 DF、AF 在ADF 中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。 证明：BAC=90 ，ADBC ， ADB= ADC= BAC=900， 1+ 2=900，2+C=90 0， 1= C， ABDCAD， ， 又E 是 AC 中点，DE=EC ， 3= C
5、，又3= 4，1=C， 1= 4，又有F=F， FBDFDA ， ， （等比代换） 二、双垂直条件下的计算与证明问题： “双垂直”指：“RtABC 中，BCA=90 0，CD AB 于 D”，（如图）在这样的条件下有下列结论： （1）ADCCDBACB （2）由ADCCDB 得 CD2=ADBD （3）由ADCACB 得 AC2=ADAB （4）由CDB ACB 得 BC2=BDAB （5）由面积得 ACBC=ABCD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。 例 4如图，已知 RtABC 中，ACB=90 0，CD AB 于 D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长： （1）AC
6、=3，BC=4 ； （2）AC= ，AD=2 ； （3）AD=5，DB= ； （4）BD=4，AB=29。 分 析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。 解：RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D， （1）AC=3，BC=4，由勾股定理得 AB= =5， AC 2=ADAB， AD= = ， BD=AB-AD=5- = ， CDAB=AC BC， CD= （或利用 CD2=ADBD 来求） （2）AC= ，AD=2 ，AC 2=ADAB， CD= ， BD=AB-AD ， BD= -2= ， BC 2=BDAB，且 BC0， BC= （3）AD
7、=5，DB= ，且 CD2=ADBD， CD= =12 AB=AD+BD= AC 2=ADAB， AC= =13 BC 2=BDAB， BC= （4）BD=4，AB=29，BC 2=BDAB， BC= =2 ， AD=AB-BD=29-4=25 ， AC 2=ADAB， AC= =5 ， CD 2=ADBD， CD= =10 例 5已知：如图，矩形 ABCD 中，AB：BC=5：6，点 E 在 BC 上，点 F在 CD 上，EC= BC，FC= CD，FGAE 于 G。 求证：AG=4GE。 分析：图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k (k0)，则 EC= BC
8、=k, FC= CD= AB=3k，得 DF=2k，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2=50k2，EF 2=EC2+FC2=10k2，AF 2=AD2+DF2=40k2，所以AE2=EF2+AF2 由勾股定理逆定理得 RtAFE，又因为 FGAE，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。 证 明：AB：BC=5 ：6， 设 AB=5k, BC=6k (k0), 在矩形 ABCD 中，有 CD=AB=5k, BC=AD=6k, B=C= D=90 0, EC= BC, EC= 6k=k, BE=5k, FC= CD, FC= 5k=3k, DF=CD-FC=2k， 在 RtADF 中，由勾股定理
9、得 AF 2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2， 同理可得 AE2=50k2, EF2=10k2， AF 2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2, AEF 是 Rt（勾股定理逆定理）， FGAE， AFEFGE， EF 2=GEAE，AE= =5 k GE= = k, 4GE=4 k, AG=AE-GE=5 k- k=4 k, AG=4GE. 例 6已知：如图，Rt ABC 中,ACB=90 0，CD AB 于 D，DEAC 于 E，DFBC于 F。 求证：AEBFAB=CD 3。 证 明：RtABC 中,ACB=90，CDAB， CD 2=ADBD， CD 4=AD2BD
10、2， 又 RtADC 中， DEAC，RtBDC 中，DFBC ， AD 2=AEAC，BD 2=BFBC， CD 4=AEBFACBC， 又 ACBC=AB CD， CD 4=AEBFABCD， AE BFAB=CD3 说明：本题几次用到直角三角形中的重要等积式。请同学们熟记这些重要的等积式，并能运用它们解决问题。测试选择题 1如图所示，在矩形 ABCD 中，AEBD 于 E，S 矩形40cm 2，S ABE S DBA 15，则 AE 的长为（ ） A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 7 cm 2如 图，在 ABCD 中，E 是 BC 上的一点， AE 交 BD 于点 F
11、，已知BEEC31，S FBE 18，则 SFDA 的大小为（ ）。 A. 24 B. 30 C. 32 D. 12 3如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 AB 边上，且 AEEB21，AFDE于 G，交 BC 于 F，则AEG 的面积与四边形 BEGF 的面积比为（ ） A. 12 B. 14 C. 49 D. 23 4如图，ABC 的底 边 BCa，高 ADh， 矩形 EFGH 内接于ABC，其中 E、F 分别在边 AC、AB 上，G、H 都在 BC 上，且 EF2FG。则矩形 EFGH 的周长是（ ）。 A. B. C. D. 5如 图，在ABC 中，BADECAD， ，设EBD、
12、ADC、ABC 的周长依次为 m1、m 2、m 3。那么的值是( )。 A. 2 B. 4 C. D. 答案与解析 答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D解析：1解 BAD90， AEBD， ABEDBA。 S ABE S DBA AB 2DB 2。 S ABE S DBA 15， AB 2DB 215， ABDB1 。设 ABk，DB k， 则 AD 。 S 矩形 40cm 2， k2k40。 k2 。 BD k10，AD4 。 S ABD BDAE20， 10AE20 AE4（cm）。故选 A。 2C。 3分析 易证ABFDAE。故知 BFAE。因 AEEB21，故可设 AE2x，E
13、Bx，则 AB3x，BF2x。由勾股定理得 AF 。易证AGEABF。可得 SAGE S ABF AE 2AF 2（2x） 2（ ） 2413。 可得 SAGE S 四边形 BEGF49。故选 C。 4分析：由题目条件中的 EF2FG 得，要想求出矩形的周长，必须求出FG 与高 ADh 的关系。由 EFBC 得AFEABC，则 EF 与高 h 即可联系上。 解：设 FGx，则 EF2FG， EF2x。 EFBC， AFEABC。 又 ADBC，设 AD 交 EF 于 M，则 AMEF。 。 即 。 。 解之，得 x 矩形 EFGH 的周长为 6x 。 评注：此题还可以进一步求出矩形的面积。若对
14、题目再加一个条件：ABAC，那么还可证出 FG2BGCH。通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。 5解析：由CADADE，得 ACDE，ABCEBD，又BCAD，CC，ABCDAC。ABCEBDDAC。即EBDDACABC。再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。 中考解析： 例 1（ 重庆市）如图，在ABC 中，BAC90，D 是 BC 中点，AEAD 交 CB 延长线于点 E，则结论正确的是（ ）（A）AEDACB （B）AEBACD （C）BAEACE （D）AECDAC 考 点：相似三角形的判定 评析：思路：根据相似三角形的判定方法，用排除法
15、结合条件易选出正确选项。答案为 C. 例 2（河北省）已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，且AD=AC，DEBC ，DE 与 AB 相交于点 E， EC 与 AD 相交于点 F。 （1）求证：ABC FCD； （2）若 SFCD =5，BC10，求 DE 的长。 考点：相似三角形的性质、等腰三角形的性质 评析：思路：第 1 问因 AD=AC，ACB= CDF，又 D 是 BC 中点，EDBC， B=ECD， ABCFCD。 第 2 问利用相似三角形的性质，作 AMBC 于 M，易知 SABC =4SFCD。S ABC =20，AM=4，又AMED， ，再根据等腰三角形的性质，及
16、中点，可以求出 DE。 证明：（1）DEBC，D 是 BC 中点，EB=EC ， B=1. 又AD=AC ，2=ACB ，ABC FCD. （2）方法一：过点 A 作 AMBC，垂足为点 M. ABC FCD ，BC=2CD， ， 又S FCD =5，S ABC=20. S ABC = BCAM，BC=10，20= 10AM，AM=4. 又DE AM， . DM= DC= ，BM=BD+DM ，BD= BC=5， ， DE= . 说明：本题也可运用ABC FCD ，由相似比为 2，证出 F 是 AD 的中点，通过“两三角形等底、等高，则面积相等”，求出 SABC =20. 方 法二：作 FHB
17、C，垂足为点 H. S FCD = DCFH，又 S FCD =5，DC= BC=5， 5= 5FH， FH=2. 过点 A 作 AMBC ，垂足为点 M，ABC FCD， ，AM=4. 又FH AM， ，点 H 是 DM 的中点. 又FH DE， . HC=HM+MC= ， ，DE= . 例 3（河南省）如图，点 C、D 在线段 AB 上，PCD 是等边三角形。 （1）当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时，ACPPDB？ （2）当ACP PDB 时，求APB 的度数。 考点：相似三角形的判定及性质。 评析：本题是一个探索型的，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边关系，所以是以应边就成比例。当相似了对应角相等，易求APB。 答案：解：（1）PCD 是等边三角形， PCD=PDC=60，PD=PC=CD， 从而ACP=PDB=120 当 时，ACPPDB 即 当 CD2=ACBD 时，ACPPDB （2）当ACPPDB 时，APC= PBD. APB=APC+CPD+ DPB =PBD+60+DPB =60+60=120.
