1、5 探索与表达规律1规律探索规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想探索规律的一般方法是：(1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；(2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想；(3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点；(4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到
2、事半功倍的效果【例 1】 观察下列数表：根据数表中所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为_，第n 行( n 为正整数)与第 n 列的交叉点上的数应为_解析：通过观察、分析、比较可知，第 1 行与第 1 列的交叉点上的数是 1，第 2 行与第 2列的交叉点上的数是 3，第 3 行与第 3 列的交叉点上的数是 5，第 4 行与第 4 列的交叉点上的数是 7，所以可猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数是 11，第 n 行( n 为正整数)与第 n列的交叉点上的数应为 2n1.答案：11 2n12探索规律的常见类型及方法(1)数字规律和代数式规律常见的几种数字规律形式：(2)新
3、运算的规律新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序(3)图形规律探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律【例 21】 符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： (1)(1)0，(2)1，(3)2， (4)3，(2) 2， 3， 4， 5，利用上面的规律计算： (2 012) 分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去 1，所以(2 012)2 011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个
4、分子是 1 的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以 2 013.解： (2 012)2 0132 0112.【例 22】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算1816248n(n 是正整数 )的结果为( )A(2n1) 2 B(2n1) 2 C(n2) 2 Dn 2解析：观察图形和下面的式子可以知道，1818193 2,1816181825 2,18162418182837 2，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以 1816248n(2 n1)2.故选 A.答案：A3探索规律的应用常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律(1)探索日历中的规律在日历中
5、一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索横行：相邻两数相差 1.如左下图所示：竖列：相邻两数相差 7.如右上图所示斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差 8；从右上到左下的斜列相邻两数相差 6.日历中的 33 方框内的规律：在这 9 个方格中的数的和是中间方框中的数的 9 倍若将中间数设为 a，则其余 8 个数可按规律如上图所示，则这 9 个数的和即为(a8)(a7)( a 6)(a1)a ( a1)( a6)(a7) (a8)9a，正好是中间数 a 的 9倍(2)折叠中的规律将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预
6、测当折叠 n 次后，相应的层数与折痕数折叠次数：1,2,3,4,5，n.层数：2,4,8,16,32，2 n.平行对折的折痕数：1,3,7,15,31，2 n1._【例 31】 2013 年的元宵节是阳历 2 月 24 日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上：春节：2 月_日，除夕：2 月_日解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出如 图，春 节 与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差 7，可知春 节比元宵节少 14，即 241410，春节是 10 日，根据横列中相邻相差 1 的规律，可知除夕是 9 日答案：10 9【例 32】 将连续的偶数 2,4,6
7、,8，排列成如右图所示的数表(1)“十”字框内 5 个数的和，与框内中间的数 18 有什么关系？(2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外 5 个数，这 5 个数还有这样的规律吗？(3)设中间的数为 a，用代数式表示“十”字框内 5 个数之和分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差 2，上下相 邻 两数相差 12.再换另一组数，同样有这样的规律解：(1)61618203090，而 90185，所以框内 5 个数的和是框内中间的数 18的 5 倍(2)将框上、下、左、右平移，任意框住 5 个数，同样有这样的规律(3)若中间的数为 a，则框住的 5 个数分别为 a12， a2，a， a2，a12，其中 a 为偶数，故它们的和为(a12)( a2)a(a2) (a12) 5a.【例 33】 如果将一张长方形的纸，平行对折 7 次，展开后，会有_条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成_个小长方形解析：根据折叠中的规律：对折 7 次，即当 n7 时，平行折痕数为2n12 71127(条),1 条折痕能把长方形分成 2 个小长 方形， 2 条能分成 3 个，127 条折痕则分成 128 个小长方形答案：127 128
