1、4 分式方程教案第 1 课时教学目标（一）教学知识点1通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义2通过观察，归纳分式方程的概念（二）能力训练要求体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义（三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力教学重难点教学重点：能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义教学难点：能根据实际问题中的等量关系列出分式方程教学过程创设情境，引入新课师在这一章的第一节分式中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”
2、的问题当时，我们设原计划每月固沙造林 x 公顷，那么原计划完成一期工程需要 个月，x240实际完成一期工程用了 个月根据题意，可得方程 =4 （1）3024xx2403我们说 ， 分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式分x240式可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型接下来，我们再来看几个这样的例子讲授新课列出刻画现实世界的数学模型方程小麦实验田问题有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg 和 15000kg已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少 3000kg，
3、分别求这两块试验田每公顷的产量你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，那么，第二块试验田每公顷的产量是_kg根据题意，可得方程_师在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？生涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积其中总产量=每公顷试验田的产量试验田的面积师你能找出这一问题的所有等量关系吗？生第一块试验田的面积=第二块试验田的面积 （a）生还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量（b）师我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为 xkg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少
4、kg 呢？生根据等量关系（b） ，可知第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg生根据题意，利用等量关系（a） ，可得方程： = （2）x903015师 ， 的实际意义是什么呢？x903015生它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积师有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流，我们看哪一个组思维最敏捷生根据等量关系（a） ，我们可以设两块试验田的面积都为 x 公顷，那么 表示第x90一块试验田每公顷的产量， 表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b）x150可列出方程：+3000= （3）x90x师接下来，我们再来看一个问题电脑网络培训问题王军同学准备在课外活动
5、时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用 300 元后因人数增加到原定人数的 2 倍，费用享受了优惠，一共只需要 480 元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少 4 元原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是 x 人，那么每人平均分摊_元；人数增加到原定人数的 2 倍后，每人平均分摊_元根据题意，可得方程_师我们先来审题，找到题中的等量关系生由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数2 倍 （c）生还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4 元 （d）师同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？生设
6、出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型师你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面的问题生我代表第一小组回答我们设未知数的方法采用中方法：设原定是 x 人，那么每人平均分摊 元；人数增加到原来人数的 2 倍后，每人平均分摊x30元，根据题意，利用等量关系（d） ，得方程： 4= （4）2480 x308生我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊 y 元，那么原定人数为人；实际参加活动的每个同学平摊（y4）元，那么实际参加活动的人数为 人，3 480y根据题意，利用等量关系（c） ，得方程：2 = （5）y3048
7、师上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们 （鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型如上图，在等腰三角形 ABC 中，底边 BC=2a，高 AD=h，求内接正方形 PQRS 的边长师生共析由于 SPQR 是正方形，SRBC，AESR，所以 AE 是ASR 的高且 ED=SR=正方形 SPQR 的边长，ASR 的高 AE 可表示为 AD 与正方形边长的差由 SRBC，可得ASRABC ，于是有： = （相似三角形对应高的比等于相似BCSRADE比） 所以可设正方形的边长为 x，由 = 得： = （其中
8、 a、 h 为常数）ax2h（6）师你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流生从上图中可知 SPQR 是正方形，所以 RQBC，又因为 ADBC，所以ADRQ，ADCRQC可得 = RQADC即 = RQADCB21所以，设内接正方形的边长为 2x，根据题意，得 = （a、h 为常数） （7）x2师你们表现得真棒！观察方程： =4 （1）x2403= （2）915+3000= （3）xx4= （4）30282 = （5）y= （其中 a、 h 为常数） （6）ax2h= （其中 a、 h 是常数） （7）上面所得到的方程有什么共同特点？生不难发现方
9、程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程师是的这就是我们今天要认识的一种新的方程分式方程即分母中含有未知数的方程方程（6）是什么方程？生方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程随堂练习1已知鱼塘中有 x 千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是 元现从鱼塘中捕捞 101 千克x102鱼花了捕捞费用 200 元，求 x 满足的方程分析：题中的等量关系是：101 千克鱼每千克鱼的捕捞费用=200 元解：x 满足的方程是：101 =200x1022补充练习某商场有管理人员 40 人，销售人员 80 人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为
10、 14，那么应抽调的管理人员数 x 满足怎样的方程？解：抽调管理人员 x 人后，管理人员有（40x）人，销售人员有（80+x）人，则= x8041课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程分式方程第 2 课时教学目标（一）教学知识点1解分式方程的一般步骤2了解解分式方程验根的必要性（二）能力训练要求1通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤2使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径（三）情感与价值观要求1培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度
11、2运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信教学重难点教学重点：1解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决2明确解分式方程验根的必要性教学难点：明确解分式方程验根的必要性教学过程提出问题，引入新课师在上节课的几个问题，我们根据题意将具体实际的情境，转化成了数学模型分式方程但要使问题得到真正的解决，则必须设法解出所列的分式方程这节课，我们就来学习分式方程的解法我们不妨先来回忆一下我们曾学过的一元一次方程的解法，也许你会从中得到启示，寻找到解分式方程的方法解方程 + =2213x5624x师生共解 （1）去分母，方程两边同乘以分母的最小公倍数 6，得3（3
12、x1）+2（5x +2）=62（4x2） （2）去括号，得 9x3+10x+4=124x +2，（3）移项，得 9x+10x+4x=12+2+34，（4）合并同类项，得 23x=13，（5）使 x 的系数化为 1，两边同除以 23，x= 231讲解新课，探索分式方程的解法师刚才我们一同回忆了一元一次方程的解法步骤下面我们来看一个分式方程 例 1解方程： = （1）2x3生解这个方程，能不能也像解含有分母的一元一次方程一样去分母呢？师同学们说他的想法可取吗？生可取师同学们可以接着讨论，方程两边同乘以什么样的整式（或数） ，可以去掉分母呢？生乘以分式方程中所有分母的公分母生解一元一次方程，去分母时
13、，方程两边同乘以分母的最小公倍数，比较简单解分式方程时，我认为方程两边同乘以分母的最简公分母，去分母也比较简单师我觉得这两位同学的想法都非常好那么这个分式方程的最简公分母是什么呢？生x（x2） 师生共析方程两边同乘以 x（x2） ，得 x（x2） =x（x2） ，13化简，得 x=3（x 2） （2）我们可以发现，采用去分母的方法把分式方程转化为整式方程，而且是我们曾学过的一元一次方程生再往下解，我们就可以像解一元一次方程一样，解出 x即 x=3x6（去括号）2x=6（移项，合并同类项） x=3（x 的系数化为 1） 师x=3 是方程（2）的解吗？是方程（1）的解吗？为什么？同学们可以在小组内
14、讨论（教师可参与到学生的讨论中，倾听学生的说法）生x=3 是由一元一次方程 x=3（x2） （2）解出来的， x=3 一定是方程（2）的解但是不是原分式方程（1）的解，需要检验把 x=3 代入方程（1）的左边= =1，31右边= =1，左边=右边，所以 x=3 是方程（1）的解3师同学们表现得都很棒！相信同学们也能用同样的方法完成例 2 的解答例 2解方程： =4x0248（由学生在练习本上试着完成，然后再共同解答）解：方程两边同乘以 2x，得600480=8x解这个方程，得 x=15检验：将 x=15 代入原方程，得左边=4，右边=4，左边=右边，所以 x=15 是原方程的根师很好！同学们现
15、在不仅解出了分式方程的解，还有了检验结果的好习惯我这里还有一个题，我们再来一起解决一下（先隐藏小亮的解法）议一议解方程 = 23x1（可让学生在练习本上完成，发现有和小亮同样解法的同学，可用实物投影仪显示他的解法，并一块分析）师我们来看小亮同学的解法： = 23x1解：方程两边同乘以 x3，得 2x=12（x 3）解这个方程，得 x=3生小亮解完没检验 x=3 是不是原方程的解师检验的结果如何呢？生把 x=3 代入原方程中，使方程的分母 x3 和 3x 都为零，即 x=3 时，方程中的分式无意义，因此 x=3 不是原方程的根师它是去分母后得到的整式方程的根吗？生x=3 是去分母后的整式方程的根
16、师为什么 x=3 是整式方程的根，它使得最简公分母为零，而不是原分式方程的根呢？同学们可在小组内讨论（教师可参与到学生的讨论中，倾听同学们的想法）生在解分式方程时，我们在分式方程两边都乘以最简公分母才得到整式方程如果整式方程的根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了师很好！分析得很透彻，我们把这样的不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根在把分式方程转化为整式方程的过程中会产生增根那么，是不是就不要这样解？或采用什么方法补救？生还是要把分式方程转化成整式方程来解解出整式
17、方程的解后可用检验的方法看是不是原方程的解师怎样检验较简单呢？还需要将整式方程的根分别代入原方程的左、右两边吗？生不用，产生增根的原因是这个根使去分母时的最简公分母为零造成的因此最简单的检验方法是：把整式方程的根代入最简公分母若使最简公分母为零，则是原方程的增根；若使最简公分母不为零，则是原方程的根是增根，必舍去师在解一元一次方程时每一步的变形都符合等式的性质，解出的根都应是原方程的根但在解分式方程时，解出的整式方程的根一定要代入最简公分母检验小亮就犯了没有检验的错误应用，升华1解方程：（1） = ；（2） + =23x410x252回顾，总结想一想解分式方程一般需要经过哪几个步骤？师同学们可
18、根据例题和练习题的步骤，讨论总结生解分式方程分三大步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化分式方程为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，应舍去使最简公分母不为零的根才是原方程的根3补充练习解分式方程：（1） = ；x903015（2） = （a，h 常数）课时小结师同学们这节课的表现很活跃，一定收获不小生我们学会了解分式方程，明白了解分式方程的三个步骤缺一不可生我明白了分式方程转化为整式方程为什么会产生增根生我又一次体验到了“转化”在学习数学中的重要作用，但又进一步认识到每一步转化并不一定都那么“完美
19、” ，必须经过检验，反思“转化”过程活动与探究若关于 x 的方程 = 有增根，则 m 的值是_ 3192x第 3 课时教学目标（一）教学知识点1用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题2用分式方程来解决现实情境中的问题（二）能力训练要求1经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力2认识运用方程解决实际问题的关键是审清题意，寻找等量关系，建立数学模型（三）情感与价值观要求1经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的应用价值，从而提高学习数学的兴趣2培养学生的创新精神，从中获得成功的体验教学重难点教学重点：1审明题意，寻找等量关系，将实际问题转化成分
20、式方程的数学模型2根据实际意义检验解的合理性教学难点：寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法教学过程提出问题，引入新课师前两节课，我们认识了分式方程这样的数学模型，并且学会了解分式方程接下来，我们就用分式方程解决生活中实际问题讲授新课做一做某单位将沿街的一部分房屋出租每间房屋的租金第二年比第一年多 500 元，所有房屋出租的租金第一年为 96 万元，第二年为 102 万元（1）你能找出这一情境的等量关系吗？（2）根据这一情境，你能提出哪些问题？师现在我们一块来寻求这一情境中的等量关系生第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500 元 （1）生还有一个等量关系：第一年租出的房屋
21、间数=第二年租出的房屋的间数师根据“做一做”的情境，你能提出哪些问题呢？在我们的数学学习中，提出问题比解决问题更重要同学们尽管提出符合情境的问题生问题可以是：每年各有多少间房屋出租？生问题也可以是：这两年每年房屋的租金各是多少？师下面我们就来先解决第一个问题：每年各有多少间房屋出租？师生共析解：设每年各有 x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为 元，第x960二年每间房屋的租金为 元，根据题意，得 = +500102x10296解这个方程，得 x=12经检验 x=12 是原方程的解，也符合题意所以每年各有 12 间房屋出租师我们接着再来解决第二个问题：这两年每间房屋的租金各是多少？生根据第
22、一问的答案可计算，得：第一年每间房屋的租金为 =8000（元） ，12960第二年每间房屋的租金为 =8500（元） 师如果没有第一问，该如何解答第二问？生解：设第一年每间房屋的租金为 x 元，第二年每间房屋的租金为（x+500）元第一年租出的房间为 间，第二年租出的房间为 间，根据题意，得x9605012= x960512解，得 x=8000x+500=8500（元）经检验：x=8000 是原分式方程的解，也符合题意所以这两年每间房屋的租金分别为 8000 元，8500 元师我们利用分式方程解决了实际问题现在我们再来看一个例题，我们可以从中感受到节约用水是每个公民应该关心的事情例 3某自来水
23、公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过 5m3，则每立方米收费 1.5元；若每户每月用水超过 5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用1 月份，张家用水量是李家用水量的 ，张家当月水费是 17.5 元，李家当月水费是 27.5 元超出 5 m32的部分每立方米收费多少元？师解决实际情境问题，最关键的是什么呢？生审清题意，找出题中的等量关系师很好某自来水公司水费计算办法可用表格表示出来（如下表）用水量 单价不超过 5 米 3 1.5 元/米 3超过 5 米 3 超出的部分 ？元/米 3你们找到题中的等量关系了吗？生此题主要的等量关系是：1 月份张家用水量是李家用水量的 2师怎样表示出张家
24、 1 月份的用水量和李家 1 月份的用水量呢？生根据自来水公司水费计算的办法，用水量可以用水费除以单价得出，但计算时要将水费分成两部分：5m 3 的水费与超出 5m3 部分的水费师下面我们就来用等量关系列出方程师生共析设超出 5m3 部分的水，每立方米收费设为 x 元，则 1 月份，张家超出 5m3 的部分水费为（ 175155 ）元，超出 5m3 的用水量为m3，总用水量为 5+ ；x.17x.7李家超出 5m3 部分的水费为（ 27.51.55 ）元，超出 5m3 的用水量为 m3，x5.127总用水量为（5+ ）m 3x5.127根据等量关系，得+5=（ +5）x5.17.32解这个方程
25、，得 x=2经检验 x=2 是所列方程的根所以超出 5m3 部分的水，每立方米收费 2 元随堂练习小芳带了 15 元钱去商店买笔记本如果买一种软皮本，正好需付 15 元钱但售货员建议她买一种质量好的硬皮本，这种本子的价格比软皮本高出一半，因此她只能少买一本笔记本这种软皮本和硬皮本的价格各是多少？师我们先来找到题中的等量关系生题中的等量关系有两个：15 元钱买的软皮本的本数=15 元钱买的硬皮本的本数+1 本硬皮本的价格=软皮本的价格（1+ ）21师我们找到了等量关系，接下来请同学们在练习本上完成第 1 题生解：设软皮本的价格为 x 元，则硬皮本的价格为（1+ ）x 元，那么 15 元钱可买软2
26、皮本 本，硬皮本 本根据题意，得， = +1x15)21(515)(解，得 x=5经检验 x=5 是原方程的根，也符合题意，所以（1+ ）x= 5=7.5（元）213故这种软皮本和硬皮本的价格各为 5 元、7.5 元课时小结列方程解决实际情境中的具体问题，是数学实用性最直接的体现，而解决这一问题是如何将实际问题建立方程这样的数学模型，关键则在于审清题意，找出题中的等量关系，找到它就为列方程指明了方向活动与探究如图，小明家、王老师家、学校在同一条路上小明家到王老师家路程为 3km，王老师家到学校的路程为 0.5km，由于小明父母战斗在抗“非典” 第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学已知王老师骑自行车的速度是步行速度的 3 倍，每天比平时步行上班多用了 20 分钟，问王老师的步行速度及骑自行车的速度各是多少？
