1、 【知识点归纳】 1234561、 已 知 直 角 三 角 形 的 两 边 ， 求 第 三 边勾 股 定 理 2、 求 直 角 三 角 形 周 长 、 面 积 等 问 题3、 验 证 勾 股 定 理 成 立1、 勾 股 数 的 应 用勾 股 定 理 勾 股 定 理 的 逆 定 理 2、 判 断 三 角 形 的 形 状、 求 最 大 、 最 小 角 的 问 题、 面 积 问 题、 求 长 度 问 题、 最 短 距 离 问 题勾 股 定 理 的 应 用 、 航 海 问 题、 网 格 问 题、 图 形 问 题考点一：勾股定理（1 ）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，
2、那么一定有 22cba勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。（2 ）结论：有一个角是 30的直角三角形，30角所对的直角边等于斜边的一半。有一个角是 45的直角三角形是等腰直角三角形。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。（ 3）勾股定理的验证ab cabcabcabcab ababba例题：例 1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边 。（1 ） 在 RtABC 中，C=90若 a=5，b=12，则 c=_；若 a=15，c=25，则 b=_；若 c=61，b=60，则 a=_；若 ab=34，c=10 则 Rt ABC 的面积是=_。（2 ） 如果直角三角形的两直角边长分
3、别为 ，2n（n1） ，那么它的斜边长是（ ）1n2A、2n B、n+1 C、n 21 D、 1n2（3 ） 在 RtABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A. B. 22abc22acbC. D.以上都有可能（4 ） 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长的平方是（ ）来源:学& 科&网 Z&X&X&KA、25 B、14 C、7 D、7 或 25例 2：已知直角三角形的一边以及另外两边的 关系利用勾股定理求周长、面积等问题。（1 ） 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为_。（2 ） 已知 RtABC 中，C=90，若 a+b=14
4、cm，c=10cm，则 RtABC 的面积是（ ）A、24 B、36 C、48 D、602cm2cm2c2cm（3 ） 已知 x、 y 为正数，且x 2-4+ （y 2-3） 2=0，如果以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5 B、25 C、7 D、15 例 3：探索勾股定理的证明有四个斜边为 c、两直角边长为 a,b 的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。AB CMDGHFE考点二：勾股定理的逆定理（1 ）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a,b,c 有关系， ，那么这个三角形是直角三角形。来源:22
5、cbaZxxk.Com（2 ）常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n) ，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)（n 为正整数）（3 ）直角三角形的判定方法：如果三角形的三边长 a,b,c 有关系， ，那么这个三角形是直角三角形。22cba有一个角是直角的三角形是直角三角形。两内角互余的三角形是直角三角形。如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。例题：例 1：勾股数的应用（1 ） 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形 的是（ ）A. 4，5，6 B. 2，3，4C. 11，12，13 D.
6、8，15，17（2 ） 若线段 a，b ，c 组成直角三角形，则它们的比为（ ）A、23 4 B、3 46 C、51213 D、467例 2：利用勾股定理逆定理判断三角形的形状（1）下面的三角形中：ABC 中，C=AB；ABC 中，A：B：C=1：2：3；ABC 中，a：b：c=3：4：5；ABC 中，三边长分别为 8，15，17其中是直角三角形的个数有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（2 ） 若三角形的三边之比为 ，则这个三角形一定是（ ）1:2A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.不等边三角形（3 ） 已知 a， b，c 为ABC 三边，且满足(a 2b 2
7、)(a2+b2c 2)0，则它的形状为（ ）A .直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形（5）若ABC 的三边长 a,b,c 满足 试判断ABC 的形状。22abc01a6b20c，（6 ） ABC 的两边分别为 5,12，另一边为奇数，且 a+b+c 是 3 的倍数，则 c 应为 ，此三角形为 。例 3：求最大、最小角的问题（1 ） 若三角形三条边的长分别是 7,24,25，则这个三角形的最大内角是 度。（2 ） 已知三角
8、形三边的比为 1： ：2，则其最小角为 。3考点三：勾股定理的应用来源:Zxxk.Com例题：例 1：面积问题（1 ） 下图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B 、C、D 的边长分别是 3、5 、2、3 ，则最大正方形 E 的面积是（ ）A. 13 B. 26 C. 47 D. 94ABCDES2S3S1ABCS3S2S1（图 1） （图 2） （图 3）（3 ） 如图，ABC 为直角三角形，分别以 AB，BC，AC 为直径向外作半圆，用勾股定理说明三个半圆的面积关系，可得（ ）A. S1+ S2 S3 B. S1+ S2= S3 C. S
9、2+S3 S1 D. 以上都不是（2 ） 如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S 2、S 3，则它们之间的关系是（ ）A. S1- S2= S3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1例 2：求长度问题（1 ） 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多 1 米，当他把绳子的下端拉开 5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。（2 ） 在一棵树 10m 高的 B 处，有两只猴子，一只爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处； 另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A 外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的
10、距离相等，试问这棵树有多高？C ADB例 3：最短路程问题（1 ） 如图 1，已知圆柱体底面圆的半径为 ，高为 2，AB，CD 分别是两底面的直径，AD ，BC 是母线，若一只小 虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 。 （结果保留根式）（2 ） 如图 2，有一个长、宽、高为 3 米的封闭的正方体纸盒，一只昆虫从顶点 A 要爬到顶点 B，那么这只昆虫爬行的最短距离为 。A BCDBA（图 1） （图 2）例 4：航海问题（1 ） 一轮船以 16 海里/时的速度从 A 港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里/ 时的速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5
11、小时后，它们相距_海里（2 ） （深圳）如图 1，某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 6 0的方向上。该货船航行 30 分钟到达 B 处，此时又测得该岛在北偏东 30的方向上，已知在 C 岛周围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无暗礁危险？试说明理由。东东3060BACMDDBCA（图 1） （图 2）（3 ） 如图 2，某沿海开放城市 A 接到台风警 报，在该市正南方向 260km 的 B 处有一台风中心，沿 BC 方向以1 5km/h 的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离 AD=
12、100km，那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D 点？如果在距台风中心 30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？例 5：网格问题（1 ） 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A0 B1 C2 D3（2 ） 如图，正方形网 格中的ABC，若小方格边长为 1，则ABC 是 （ ）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对（3 ） 如图，小方格都是边长为 1 的正方形, 则四边形 ABCD 的面积是 ( )A 25 B. 12.5
13、 C. 9 D. 8.5BCAAB D CBA（图 1） （图 2） （图 3）例 6：图形问题（1 ） 如图 1，求该四边形的面积（2 ） （2010 四川宜宾）如图 2，已知，在ABC 中，A= 45，AC= ，AB= +1，则边 BC 的长为 2 3431213BCDA （图 1） （图 2）（3 ） 某公司的大门如图所示,其中四边形 是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3 ，=2 ,现有一辆装满货物的卡车,高为 2.5,宽为 1.6,问这辆卡车能否通过公司的大 门? 并说明你的理由. （4 ） （太原）将一根长 24的筷子置于地面直径为 5，高为 12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯
14、子外面的长为 h，则 h 的取值范围 。【训练与作业】1.（2010 广西钦州市） 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC6 cm、BC 8 cm， 现将ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D ）10 cmABCD2 （ 2010 山东荷泽） （本题满分 8 分）如图所示，在 RtABC 中，C90，A 30，BD 是ABC 的平分线，CD5，求 AB 的长3. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是 1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：使三角形的三边长分别为 3、 、 （在图甲
15、中画一个即可） ；85使三角形为钝角三角形且面积为 4（在图乙中画一个即可） 甲乙4 （ 2010 广东湛江）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） 来源:Zxxk.ComA.1，2， 3 B.2，3，4 C.3，4 ，5 D.4，5 ，65 （ 2010 四川泸州）在ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C 钝角三角形 D等腰直角三角形6.（2010 辽宁丹东市）已知 ABC是边长为 1的等腰直角三角形， 以 Rt ABC的斜边 AC为直角边，画第二个等腰 Rt ACD，再以 Rt ACD的斜边 AD为直角边，画第三个等腰 Rt AD
16、E，依此类推，第 n个等腰直角三角形的斜边长是 ABCDE FG7.（2010 广西南宁） 如图，每个小正方形的边长为 1， 的三边 的大小关系式：ABCcba,（A） （B） （C） （D） bcacbabaabc8 （ 2010 湖北孝感） （本题满分 10 分）问题情境 来源:学科网勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“ 人”进行第一次“谈话 ”的语言。定理表述请你根据图 1 中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述） ；（3 分）尝试证明以图 1 中的直角三角形为基础，可以构造出以 a、b 为底，以 为高的直角梯形（如图 2） ，请你利用图ba2，验证勾股定理；（4 分）知识拓展利用图 2 中的直角梯形，我们可以证明 其证明步骤如下：.2cba= 。ADbaBC,又 在直角梯形 ABCD 中有 BC AD（填大小关系） ，即 ， .2cba
