1、第 13 章 本章总结提升一、 知识结构二、 【方法指导与教材延伸】(一)同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方这三个幂运算，特别是同底数幂相乘的法则是学习整式乘法的基础，其他的如：后面的多项式乘以多项式是转化变成单项式乘以多项式，再转化为单项式乘以单项式，最后转化为同底数幂相乘，所以我们要熟练掌握其法则：1同底数幂的相乘的法则是：底数不变，指数相加.即 amana mn ，幂的乘方法则是：底数不变，指数相乘.即 (a m)na m n，积的乘方法则是：积的乘方等于乘方的积.即 (a b) na n b n，同底数幂的相除的法则是：底数不变，指数相减.即 amana m-n2其中 m、n 为正整数，
2、底数 a 不仅代表具体的数，也可以代表单项式、多项式或其他代数式.3幂的乘方法则与同底数幂的相乘的法则有共同之处，即运算中底数不变，但不同之处一个是指数相乘，一个是指数相加4这三个幂运算相互容易混淆，出现错误，在初学时要注意辨明“同底数幂” 、 “幂的乘方” 、 “积的乘方”等基本概念，对公式的记忆要联系相应的文字表述，运用法则计算时，要注意识别是同底数幂的相乘、幂的乘方还是积的乘方，法则中各字母分别代表什么？再对照法则运算.（二）整式的乘法1单项式与单项式相乘：由单项式与单项式法则可知，单项式与单项式相乘实为完成三项工作：(1)系数相乘的积作为积的系数；(2)同字母的指数相加的和作为积中这个
3、字母的指数；(3)只在一个单项式中出现的字母连同它的指数一起作为积中的一个因式.单项式乘法法则对两个以上单项式相乘同样成立.2单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，实际上是转化为单项式与单项式相乘：用单项式去乘以多项式中的每一项，再把所得的积相加，即 m(abc)mam bmc单项式与多项式相乘，结果是多项式，积的项数与因式中多项式的项数相同.3多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，实际上是先转化为单项式与多项式相乘，即将一个多项式看成一个整体，即(mn)(ab)a(mn)b(mn)，再用一次单项式与多项式相乘，得(mn)(ab)man am bb n.多项式乘以多项式其积仍是多项式，积的
4、次数等于两个多项式的次数之和，积的项数在末合并同类项之前等于两个多项式项数之和.（三）乘法公式1 “两数和乘以它们的差等于这两个数的平方差”即(ab)(ab)a 2b 2，应用这个乘法公式计算时，应掌握公式的特征： 公式的左边是两个二项式相乘；并且这两个二项式中有一项是完全相同的项 a，另一项是相反数项 b； 公式的右边是相同项的平方 a2减去相反数项的平方 b2.公式中的 a 和 b，可以是单项式，也可以是多项式或具体数字.2 “两数和的平方等于它们的平方和加上它们乘积的 2 倍”.即(ab) 2a 22abb 2.要理解公式的特征： 公式的左边是一个二项式的平方，右边是一个二次三项式.公式
5、的适用范围：公式中的 a 和 b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式；任何形式的两数和(或差)的平方都可以运用这个公式计算.（四）整式的除法整式的除法关键是掌握好同底数幂的除法和单项式与单项式相除的法则。来源:学_科_网 Z_X_X_K1、单项式除以单项式的一般步骤是：将单项式的系数相除作为商的系数，同底数幂相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母连同它的指数一起作为商的因式。2、多项式除以单项式应转化为单项式除以单项式，运算时要注意确定商的符号和杜绝漏项现象。(五) 因式分解因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘
6、法来检验因式分解的正确性来源:Zxxk.Com1.在运用提取公因式法分解因式时，系数要取多项式的各项系数的最大公约数；字母要取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂；2多项式的第一项系数是负数时，一般要提出 “”号，使括号的第一项是正的， 在提出“”号时，多项式的各项都变号.3.在因式分解时一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果用上述方法都不能分解，那么可以用分组分解法来分解；分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.【例题选讲】例 1、计算下列各式：(1) (2) 2(2) 3 ；(2) a2a4a3 ；(3) x
7、5x(x) 3 ；(4) (abc)2(cab) 3(5) 10010n1 10n1 ；(6) (x2) n1 (2x) n1 (x2) 2n 解：(1) (2) 2(2) 3(2) 23 (2) 532 ；(2) a 2a4a3a 6a3a 9(3) x5x(x) 3x 5xx3x 513 x 9 ；(4) (abc) 2(cab) 3(abc) 2(abc) 3(abc) 5(5) 10010n1 10n1 10 210n1 10n1 10 2n2(6) (x2) n1 (2x) n1 (x2) 2n(x2) 2n(x2) 2n0解题方法：熟记公式是解这类题的前提，当题中幂的底数不同时，必
8、须利用乘法和乘方的意义变形，化成同底数幂；当题目中有加、减、乘混合运算时，应计算同底数幂的乘法，然后再合并同类项.例 2、计算下列各式：(1) (2) 26 ；(2) (xy) 34 ；(3) (a 4n)n1 ；(4) (y 4)2(y2)3 ；(5) (a 3)2(a 2)3(a 2)(a) 4 ；(6) x 3x2x4(x 4)24(x 2)4解：(1) ( 2)26(2) 2 6(2) 122 12 ；(2) (xy) 34(xy) 34(xy)12来源:Zxxk.Com(3) (a4n)n1 a 4n(n1) n42； (4) (y 4)2(y2)3y 8y6y 14(5) (a 3
9、)2(a 2)3(a 2)(a) 4a 6a 6a 2a4a 6a 6a 6a 6(6) x3x2x4(x 4)24(x 2)4x 9x 8+4x8x 9+5x8例 3、计算下列各式： (1) (3a 4)3 ；(2) (a 2b3)m ；(3) (xy)(xy) 5 ；(4) (x m2 y 2n1 )2 ；(5) (0.125) 8225 ；(6) (1990) n(39802)n1 ；解：(1) (3a 4)3(3) 3(a4)327a 12 ；(2) (a 2b3)m(a 2)m(b3)ma 2mb3m ；(3) (xy)(x y) 5(xy) 5(xy) 5；(4) (xm2 y2n
10、1 )2( xm2 )2(y2n1 )2x 2m4 y4n2(5) ( 0.125)8225(0.5 3)82250.5 242250.5 242242(0.52)2422(6) (1990)n(39802)n 1(1990) n(39802)n( )(1990 39802)n1901 190例 4、已知 22x1 4 x48，求 x 的值.解： 22x1 4 x22 2x2 2x32 2x且 22x1 4 x4832 2x48，2 2x16，2 2x2 4，2x4，x2.解题方法：解这种有关指数方程的基本 方法是，将左右两边变形为两个幂相等的等式，且左右两边幂的底数相同，再根据两个底数相同的
11、幂相等，其指数必定相等列出方程，解这个方程即可.例 5、计算：(1) 3x2y(2xy 3) (2) (5a 2b3)(4b 2c)1a2b (3) 2(ab) 33(ab) 2 3(ab) (4) (3xy) 2( 3x2y)3( 4yz2)2(5) (4xy 3)( 21xy)3( x2y3)2 (6) (2xyz2)2(xy 2z)(xyz) 3(5yz)(3z) 解：(1) 3x 2y(2xy 3)6x 3y4(2) (5a 2b3)(4b 2c)1a2b10a 4b6c(3) 2(ab) 33(ab) 2 (ab)4(ab) 6(4) (3xy) 2( 3x2y)3(43yz2)29
12、x 2y2( 78x6y3)19y2z4 3x8y7z4(5) (4xy 3)( xy)3( x2y3)24xy 3( 1x3y3) 4x4y6 21x4y6 x4y641x4y6(6) (2xyz2)2(xy 2z)(xyz) 3(5yz)(3z)4x 2y2z4(xy 2z)(x 3y3z3)(5yz)(3z)4x 3y4z515x 3y4z519x 3y4z5例 6、计算： (1) (2a 2)(3ab25ab 3) (2) (2x 2y)2( 41y2 3xy 85x3)(3) xn1 (2xn4x n1 5x n3 ) (4) 2a(abb 2)3ab(4a2b)(5) x32x 2
13、x3( x1) 解：(1) (2a 2)(3ab25ab 3)6a 3b210a 3b3(2) (2x 2y)2( 41y2 x y 85x3)4x 4y2( 1y2 x y 85x3)x 4y46x 5y325x7y2(3) x n1 (2xn4x n1 5x n3 )2x 2n1 4x 2n5x 2n2(4) 2a(a bb 2)3ab(4a2b)2a 2b2ab 212a 2b6ab 214a 2b4ab 2(5) x32x 1x3( 3x1)x 32x 1xx3 x 3x 22x 26x x 3x 26x例 7、已知 xy4，xy6，求代数式 x y(y2y)y 2(x y2x)3x
14、y 的值解：由 46 解得 x5，y1原式x y3xy 2x y32xy 23x y x y23x y当 x5，y1 时原式5(1) 235(1)10例 8、计算：(1) (3x22x5)( 2x3)(2) (2xy)(4x 22xyy 2) (3) (3a2b) 2(4) (x1)(2x3)(3x1) 解：(1) (3x 22x5)(2x3)6x 39x 24x 26x10x156x 313x 24x15(2) (2xy)(4x 22xyy 2)8x 34x 2y2xy 24x 2y2xy 2y 38x 3y 3(3) (3a2b) 2(3a2b)(3a2b)9a 26ab6ab4b 2(4
15、) (x1)(2x3)(3x1)(x1)(2x3)(3x1) (2x 23x2x3)(3x 1)(2x 2 5x3)(3x1)6x 32x 215x 25x9x36x 313x 24x3例 9、已知(a 2pa8)与(a 23aq)的乘积中不含 a3和 a2项，求 p、q 的值.分析：不含有这个项，即为此项的系数为零，又(a 2pa8)与(a 23aq)的乘积中的 a3项是3a 3pa 3( 3p)a 3， a 2项是 qa23pa 28a 2(q3 p8)a 2由题意得： 08pq 得： 1pq 例 10、下列计算是否正确？为什么(1) (5x2y)(5x2y)(5x) 2(2y) 225x
16、 24y 2(2) (13a)(13a)(1) 2(3a) 219a 2(3) (2x3y)(3y2x)(3y) 2(2x) 29y 24x 2解：第(1)题，符合两数和乘以它们的差公式的特征，且两数分别是 5x 与 2y，可直接运用公式计算，运算结果正确.第(2)题也符合两数和乘以它们的差公式的特征，可用公式计算，但右边的结果应是平方差，故(2)错第(3)题(2x3y)(3y2x)(2x3y)(3y2x)(9y 24x 2)，所以(3)错.例 11、计算：(1) (3x)(3x)(2) (x 2y 3)(x2y 3)(3) (a3b5c 3d4)(c3d4a 3b5)(4) (a3ab)(3
17、aba)(5) (12x)(12x)(14x 2)(116x 4)(6) 98102(7) (xy) 2(xy) 2(xy)(xy)(x 2y 2)(8) (39a)(a 31)3(a2)(3a6)(9) x(x22x)(x2)解：(1) (3 x)(3x)3 2x 29x 2(2) (x2y 3)(x2y 3)(x 2)2(y 3)2x 4y 6(3) (a3b5c 3d4)(c3d4a 3b5)(c 3d4)2(a 3b5)2c 6d8a 6b10(4) (a3ab)(3aba)(3ab) 2a 29a 2b2a 2(5) (12x)(12x)(14x 2)(116x 4)1 2(2x)
18、2(14x 2)(116x 4)(14x 2)(14x 2)(116x 4)1(4x 2)2(116x 4)(116x 4)(116x 4)1256x 8(6) 98102(1002)(1002)100 22 29996(7) (xy) 2(xy) 2(xy)(xy)(x 2y 2)(xy)(xy) 2(x 2y 2)(x2y 2)(x 2y 2)2 (x4y 4)(x 2y 2)( x2y 2)(x 4y 4)x 4x 2y2x 2y2y 4x 4y 42y 42x 2y2(8) (39a)(a 31)3(a2)(3a6)3 (13a)(a 31)(3a6)(3a6)(3a1)(3a1)(3
19、a6)(3a6)9a 219a 23635例 12、计算：(1) ( 0.5a 0.2)2(2) ( 23yx)2(3) (amb n)2(4) 982(5) (1y) 2(1y)(1y)(6) (x2y)(x2y)(x2y) 2(7) (m2) 2(m2) 2(8) (abc)(abc)(9) (2x3yz) 2解：(1) (0.5a0.2) 20.25a 20.2a0.04(2) ( 23yx)2 43924yx(3) (amb n)2a 2m2a mbnb 2n(4) 982(1002) 2100 240049604(5) (1y) 2(1y)(1y)12yy 2(1y) 212yy 2
20、12yy 222y 2(6) (x2y)(x2y)(x2y) 2x 24y 2x 24xy4y 24xy8y 2(7) (m2) 2(m2) 2(m 2)(m2) 2(m 24) 2m 48m 216(8) (abc)(abc)a(bc)a(bc)a 2(bc) 2a 2b 22bcc 2(9) (2x3yz) 2(2x3y)z 2(2x3y) 2 2 z (2x3y)z 24x 212xy9y 24xz6yzz 2例 13、已知 ab2，a b1 求 a2b 2、(ab) 2的值解：由完全平方公式(ab) 2a 22abb 2得a2b 2(ab) 22ab2 2212(ab) 2a 2b 2
21、2ab2210例 14、先化简，再求值 232624 )()()(5 aaa，其中 a=-5思路点拨：对于这个混合运算，先算乘方，再算除，后算加减，有括号的先算括号里的原式= 46125690 aa= 4656= 456204aa=把 a=-5 代入得，原式=-25+25=0例 15、对下列多项式进行因式分解：（1）4x 3y4x 2y2xy 3；（2）3x 312xy 2解：原式 22(4)xyy 2()xy原式 23()3x（x+2y） （x2y）例 16、分解因式： 324(1)(1)qp 221()()()mmmabxyabxyabxy原式 2()()q 2(1)p2q2q 2+1原式
22、 ()()1mabxyaxy ()1)mabxyaxy注意：中 (1)p与 (1)是一对相反数，首先要将其底变换成相同，再提取公因式法分解因式；中 xy项的指数是含字母 m 多项式，在提取公因式法时剩余的 ()xy的指数是相减得到的差.例 17、把下列各式分解因式: 21nm22()4xyx2()()1ab2 2()6()9n 6ab解：原式2121(4)()mn原式22()()xyxy22()xy原式2(1)ab原式2 2()6()3()mnmn2()3()mn 2(4)原式 32()ab 33()ab 2222()()a例 18、分解下列因式： 229()4()xabya 241xy 22
23、4()1()9abac 222()()()xy 解：原式 229()4()xab 2()94)abxy ()32)()abxy原式241()4xy221()4xy21()4xy原式 22()()(3abc 2()3abc 2(3)abc原式 2 2()4()()xyxy 2()()xy 2(3)例 19、 把下列各式分解因式：来源:Z+xx+k.Com 31x 38xy 33()()ab 3(1)xyy解：原式 2()1)原式 3()xy 22()4)xxy原式 2 2()()()()ababab 2222( ) 2(3)ab原式 3(1)xy 3(1)yx 2(1)(1)yx例 20、已知:
24、 a,b,c 分别为ABC 的三条边长.求证: 220bcab证明： 22bcab 2()c ()()又 a,b,c 分别为ABC 的三条边长 ()0,()0babca例 21、 已知：n 为正整数，求证： 42n能被 30 整除.证明： 42n 4(1)n15 nn 为正整数， 42n30 12n， 42n能被 30 整除.例 21、分解下列因式： 2134x 2()4()3ab（3） 2abc（4）2495y解: 42（6）（7） ， （6）（7）13，原式 (6)x 3（1）（3） ， （1）（3）4原式（ a b1） （ a b 4）（3）原式 ()()c ()c来源:学科网（4）原式
25、 2(3)5xy (35)(2)xyxy复习题A 组1. 计算:(1) a10a8;(2) (xy)2(xy)3;(3) (-x)32;(4) (-x) ;(5) (-2mn ) ;(6) (y3)2(y2)4.2. 计算:(1) (4104)(2103);(2) 2a3a2;(3) (-3xy)(-4yz);(4) (-2a2) (-5a3);(5) (-3x)(2x2-x-1);(6) (x+2)(x+6);(7) (x-2)(x-6);(8) (2x-1)(3x+2).3. 计算:(1) (x+2)(x-2);(2) (m+n)(m-n);(3) (-m-n)(-m+n);(4) (-m
26、-n)(m+n);(5) (-m+n)(m-n);(6) ( 32x+ 4y)2.4. 计算:(1) 20012-20022000;(2) (2x+5)2-(2x-5)2;(3) -12xy3x y-x2y(-3xy);(4) 2x(1x-1)-3x( x+ );13 23(5) (-2x2)(-y)+3xy（1 - x）;13(6) (-6x ) +(-3x)3x.5. 计算:(1) aa4a3;(2) (-x)6(-x)2(-x)3;(3) 27x83x ;(4) -12m3n 4m n ;(5) (6x2y3z )24x y4;(6) (-6a2b5c)(-2ab2) .6. 计算:(1
27、) (6a4-4a3-2a2)(-2a2);(2) (4x y+6x y -xy3)2xy;(3) (x4+2x3- x2)(- x)2;12 12(4) (2ab -b ) 2b3.7. 计算: (x-2y) 2+(x-2y)(x+2y)-2x(2x-y)2x.8. 把下列多项式分解因式:(1) x2-25x;(2) 2x2y2-4y3z;(3) am-an+ap;(4) x3-25x;(5) 1-4x2;(6) 25x2+20xy+4y2;(7) x3+4x +4x.9. 先化简,再求值:(1) 3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中 a=-2;(2) (a-3b) +(3a+
28、b) -(a+5b)2+(a-5b)2,其中 a=-8, b=-6.10. 一个正方形的边长增加 3cm,它的面积增加了 45cm2.求这个正方形原来的边长 .若边长减少 3cm,它的面积减少了 45cm2,这时原来边长是多少呢?11. 1 千克镭完全蜕变后,放出的热量相当于 3.75105千克煤放出的热量,据估计地壳里含 110 0千克镭.试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热 量.B 组12. 求下列各式的值:(1) (3x4-2x3)(-x)-(x-x2)3x,其中 x=- ;12(2) (ab+1)(ab-2)-2a2b +2(-ab),其中 a= , b=- .32
29、4313. 已知(x+y) =1, (x-y) =49,求 x2+y 与 xy 的值.14. 已知 a+b=3, ab=2,求 a2+b 的值.15. 已知 a-b=1, a2+b =25,求 ab 的值.16. 把下列各式分解因式:(1) x(x+y)-y(x+y);(2) (a+b)2+2(a+b)+1;(3) 4x4-4x3+x2;(4) x -16ax+64a ;(5) (x-1)(x-3)+1;(6) (ab+a)+(b+1).C 组17. 一个长方形的长增加 4cm,宽减少 1cm,面积保持不变;长减少 2cm,宽增加 1cm,面积仍保持不变.求这个长方形的面积.18. 当整数 k 取何值时,多项式 x2+4kx+4 恰好是另一个多项式的平方?19. 试判断下列说法是否正确,并说明理由:(1) 两个连续整数的平方差必是奇数;(2) 若 a 为整数,则 a3-a 能被 6 整除.
