1、12008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料） ，必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）： B 我们的参赛报名号为（如
2、果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 沈阳农业大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 苏畅 2. 顾娜娜 3. 高正 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2008 年 9 月 22 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：22008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：3高等教育学费标准探讨摘要目前，随着高等教育的普及化，高校学费征收问题已成为人们关注的焦点，
3、所以，应对此问题 cvb 进行深入研究。依据能力支付原则以及利益获得原则，本文建立了由均生培养成本、家庭人均年收入、人均 GDP 及不同专业的个人收益率四个主要影响因子决定的学费标准的线性目标函数。联系题目要求，根据学费与生均培养成本的关系、助学贷款情况、家庭年均总收入和人均 GDP 的拟合函数，本模型还提出了三个相应的约束条件，运用线性规划的原理和方法，进而得出高等教育学费的标准。同时，本论文还结合我国现阶段经济、政治等因素，对于经济发展情况不同的地区，制定出不同的收费标准；对于不同专业，其收取学费的标准也有所不同。模型运用了数值拟合法，拟合出了家庭人均年收入与人均 GDP 之间的函数关系。
4、对模型进行数据处理时，运用了 MATLAB 软件，精确地确定出高校的收费标准。对学费标准问题的定量分析需要大量的数据，文中使用的相关数据有较好的准确性，而在文中还利用所查数据进行了模型检验。因此，文中最后确定出的学费标准具有一定的可靠性，对有关部门在制定高校收费标准时起到一定的参考作用。针对当前我国还存在的一些问题，论文中提出了相关的解决措施，并向有关部门提出一些建议。关键词：学费标准、目标函数、约束条件、曲线拟合、线性规划4一、问题重述对于我国普通高校收费标准的制定问题，已经有很多学者进行了较为详尽的研究。但我们知道，决定我国高校收费标准的因素十分复杂，一个适合的标准是“各种力量平衡的结果”
5、 。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。影响高校学费标准的因子很多，如历史文化方面、政治决策方针、经济发展状况等。考虑到前面两个因子的影响无法量化，在本文中，我们只分析经济因素对学费标准的影响。而对经济因素，我们主要考虑两个方面。第一是各方面的承担能力，包括国家、社会、企业和家庭，这些就涉及到国家财政对高等教育的投入，家庭年均总收入，我国国内生产总值（即 GDP）等。第二是高等教育的收益率，即由于专业性质的差异，受教育者对社会、家庭（个人）带来的相对收益大小。联系到我国的具体国情，因为各地区经济发展不均衡，表现在中部、东部、西部的
6、经济水平、地区人均 GDP 有较大差异，其高等院校的收费标准会有所不同。同时，由于专业之间存在相对冷门热门的问题，决定生均培养成本多少的因子存在差别，这样就导致各专业需要的生均培养成本不同，因而，最后制定的收费标准也会随之发生变化。在本文中，我们需要深入地分析以上几个因素对收费标准的影响，建立出比较合乎我国国情的收费标准模型。并根据在进行定量分析过程中研究到的相关因子，给有关部门提出具有参考价值的建议。二、符号说明z 学费标准（即为目标函数）x1 生均培养成本x2家庭人均年收入x3 人均 GDPP 个人相对收益率a 人均培养成本占学费的权重b 家庭年均总收入占学费的权重c 人均 GDP 占学费
7、的权重d 个人相对收益率占学费的权重 用于高等教育的费用占家庭年均总收入的比值 对于贷款学生，工作后偿还贷款的费用占所得工资的比值N 2005 年全国高校在校生的数量K 政府确定的收费比例(25%)U 国际标准中学费占家庭年均总收入的比值 (15%)W 国际标准中学费占人均 GDP 的比值(10%)5三、模型假设1对于同一专业，全国各地区高校不存在收费差异2只考虑经济因素对学费标准的影响，忽略其他因素对学费标准的影响3劳动力市场竞争自由4各专业的生均培养成本和相对收益率能够较为科学地计算5家庭成员数为 3 6为方便分析问题，模型中只考虑大学为四年制7若需要助学贷款，则以四年计算8要求毕业后两年
8、内还清助学贷款，且为稳定工资9个人相对收益率 P=1四、模型建立41 现有学费制定标准的公式模型现在，我们可以查到的计算学费标准的公式分别为：1. 学 生 数 固 定 资 产 折 旧 费人 员 经 费 公 用 经 费 生 均 培 养 成 本 2. 政 府 确 定 的 收 费 比 例本收 费 标 准 生 均 培 养 成 3. 本 年 度 收 费 标 准 增 长 率度 收 费 标 准本 年 度 收 费 标 准 上 年 14. 上 年 度 费 用 预 算 数本 年 度 费 用 预 算 增 长 数本 年 度 收 费 标 准 增 长 率 105. 年 末 户 均 储 蓄 额额 家 庭 年 均 收 入下
9、年 度 高 教 学 费 的 基 准 205以上各用于计算学费标准的表达式均为线性模型，参考这样的思想，我们建立出下面模型。42 目标函数模型的建立只考虑影响学费标准的因素有生均培养成本、家庭年均总收入、人均GDP、个人相对收益率，每个影响因素都有其影响比重。设 、 、 、 为四abcd个影响因素的对应比重，建立如下学费制定标准的模型： b 国 际 平 均 标 准家 庭 年 均 总 收 入政 府 确 定 的 收 费 比 例本标 准 学 费 生 均 培 养 成dcGDP 个 人 相 对 收 益 率 生 物 培 养 成 本国 际 平 均 标 准人 均即： (1)dPxWxbUxaKxz13213考虑
10、到生均培养成本的确定方法一直备受争议，不是很准确，而人均 GDP的数值存在区域差异，同时，个人相对收益率对整个学费标准的确定影响很小。因此，权重 a,c,d 的数值应设定的较小一些，相反，由于家庭是教育费用的主要承担者，所以，权重 b 的数值应比较大。在本文中，我们设定6a=25%，b=40% ，c=25%，d=10% 。根据查得的相关资料，K=25%，U=15%，W=10%。文中的个人相对收益率，我们采用的是一个相对数值。下面给出几个专业的相对收益率，我们选取新闻学专业的个人相对收益率为 1，而在其左边的专业的个人相对收益率则以 0.1 递减，依次为 0.9，0.8，而在其右边的专业的个人相
11、对收益率则以 0.1 递加，依次为 1.1，1.2，资料来源：吕孟仁.高等教育成分分担及收费标准设计的准则M吉林教育科学高教研究，2001， （5） ；20-2243 约束条件（一）约束条件一由于生均培养费用来源于学生交纳的学费、政府拨款、学校自筹、社会捐赠等几个方面。所以，学生交纳的学费、政府拨款、学校自筹与社会捐赠四者的总和必须大于等于生均培养费用，以维持学校的正常运行。因此，得出约束条件一： NN 生 均 培 养 费 用 社 会 捐 赠 财 政 拨 款 学 校 自 筹学 费（二）约束条件二在学费方面，根据学生家庭的承担能力，有需要的可以向银行申请助学贷款。考虑不需要申请助学贷款的学生时，
12、其学费必须小于等于家庭年均总收入的一定比例，所以得：(2)家 庭 年 均 总 收 入学 费 考虑需要申请助学贷款的学生时，为了研究方便，我们限定只能贷款四年，而且在要求在毕业后两年内还清，所以得：(3)个 人 相 对 收 益 率人 均学 费 GDP4因为需要贷款和不需要贷款的学生之间存在一定比例，所以，设定两个参数 K1、K 2 来建立二者的相互关系。综合条件(2)和(3)得: ： 个 人 相 对 收 益 率人 均家 庭 年 均 总 收 入学 费 GDPK21 41(4)7由于在实际情况中，贷款和不贷款的学生在不同学校有不同比例，为了简化问题，我们只考虑极端情况：(1)在一所学校中，均为不贷款
13、学生，则：K 11，K 20。可得到约束条二： 1家 庭 年 均 总 收 入学 费 (2)在一所学校中，只有贷款学生，则：K 10,K 21。可得到约束条件二 ： 2个 人 相 对 收 益 率人 均学 费 GDP41（三）约束条件三根据表一中的数据，用 MATLAB 拟合家庭人均年收入和人均 GDP 的关系函数，根据城乡的不同情况，得到两个拟合函数分别是y=k1x+b1y=k2x+b2表一家庭收入（城镇）家庭收入（农村） 人均 GDP1978 343.4 133.6 3811980 477.6 191.3 4631985 739.1 397.6 8581990 1510.2 686.3 164
14、41991 1700.6 708.6 18931992 2026.6 784 23111993 2577.4 921.6 29981994 3496.2 1221 40441995 4283 1577.7 50461996 4838.9 1926.1 58461997 5160.3 2090.1 64201998 5425.1 2162 67961999 5854 2210.3 71592000 6280 2253.4 78582001 6859.6 2366.4 86222002 7702.8 2475.6 93982003 8472.2 2622.2 105422004 9421.6 29
15、36.4 123362005 10493 3254.9 141032006 11759.5 3587 16084资料来源：中国统计局中国统计年鉴 2007M北京：中国统计出版社（四）其他约束条件对近几年的数据进行定量分析可知，生均培养成本(x 1)、家庭人均年收入(x 2)和人均 GDP(x3)的取值都存在各自的下限。同时，由于城镇与农村之间的较大差8异，家庭人均年收入(x 2)在不同情况下有不同的下限。城镇 农村1032x1203x44 模型数据处理（一）目标函数为简化分析过程，我们取个人相对收益率 P=1 来代入公式（ 1） ，根据以上K、U、W、 a、b、c、d 的具体取值，可得： 13
16、21 .05.8.065. xxz 整理得：(5)321.（二）约束条件一本文采用 2005 年的相关数据，其中 2005 年在校大学生人数 N=1561.8 万人，政府给普通高等学校的总拨款金额为 10908368.7 万元，学校自筹和社会捐赠的总金额为 210796.3 万元。将以上数据代入以上的约束条件一，可将其化为：(6)1965045.3912.8075.133xx(三)约束条件二结合我国现在的实际情况，文中取用于高等教育的费用占家庭年均总收入的比值 =20%，化简约束条件二 可得： 1(7)025.04.1625.0321 xx由于有部分家庭无力承担接受高等教育的学费，需要申请助学
17、贷款。文中，我们设定在这种情况下，对于贷款学生，工作后偿还贷款的费用占所得工资的比值 =40%，这样，可将约束条件二 化成： 2(8)0175.8.0165. 3xx（四）约束条件三分析 1978-2006 年城镇和农村家庭人均年收入与人均 GDP 的函数关系，我们通过拟合（图一、图二）得到家庭人均年收入与人均 GDP 的线性关系，即可确定出 k1=1.3453,k2=4.3,b1= -447.3073,b2= -1261.9，从而确定函数：485.6059.3xx1377429图一 图二10（五）其他约束条件根据城乡差异，城市家庭人均年收入(x 2)的下限是 10000，而农村是3000；生
18、均培养成本(x 1)的下限是 10000；人均 GDP(x3)的下限是 12000，即：城镇 农村203x1203五、模型求解51 极端情况下的最优解结合上文中已经得到的相关数据，将目标函数与所有约束条件进行整理汇总可得：(1)城镇、不贷款的情况 32105.8.65.0minxxzs.t. 12037.435. 02. 1965.9.7331x(2)城镇、贷款的情况 3215.8.065.minxzs.t.12037.435. 01. 9165.9.73321xx(3)农村、不贷款的情况 3215.8.65.0minzs.t.12039.6.400. 165732331xxx11(4)农村、
19、贷款的情况 32105.8.65.0minxxzs.t.12039.6.4017. 165732331x在满足约束条件的情况下，运用 MATLAB 软件对数据进行精确处理，可以得到目标函数的最优解。在不需要申请助学贷款的情况下：对于农村： 1 4.3059z对于城镇： 2 17在需要申请助学贷款的情况下：对于农村： 1 .28对于城镇： 2 z52 实际情况下的最优解(1)由于我们上面得到的最优解存在于极端情况下，而实际生活中，每个学校城乡生源存在一定比例。依据所查资料，城镇生源所占比重为 82.3，农村生源所占比重为 17.7。在不申请助学贷款的情况下： 1 8.3627%.143059.8
20、213750学 费 标 准在申请助学贷款的情况下： 2 9.40学 费 标 准(2)考虑到申请助学贷款的学生占所在高校的比例为 20%，则 5.329.7408.362学 费 标 准六、模型的扩展及应用61 对于地区差异问题的扩展联系我国现阶段的经济情况可知，每个地区的发展存在速度差异，因此，其所在地高校的收费标准各有不同 准业 （ 新 闻 学 ） 的 学 费 标的 学 费 标 准 全 国 某 专各 省 某 专 业 （ 新 闻 学 ）(9)数该 省 地 区 发 展 部 均 衡 系其中， GDP全 国 人 均某 省 的 人 均地 区 发 展 不 均 衡 系 数 12下表给出我国各省人均 GDP
21、的数值，即可得出其相应的地区发展不均衡系数，并最终得到该省某专业（新闻学）的学费标准。人均地区 人均地区 人均地区 人均地区生产总值 生产总值 生产总值 生产总值地 区(亿元)地 区(亿元)地 区(亿元)地 区(亿元)贵 州 5787 河 南 13313 上 海 57695 西 藏 10430北 京 50467 湖 北 13296 江 苏 28814 黑龙江 16195天 津 41163 湖 南 11950 浙 江 31874 陕 西 12138河 北 16962 广 东 28332 安 徽 10055 甘 肃 8757山 西 14123 广 西 10296 福 建 21471 青 海 117
22、62内蒙古 20053 海 南 12654 江 西 10798 宁 夏 11847辽 宁 21788 重 庆 12457 山 东 23794 新 疆 15000吉 林 15720 四 川 10546 云 南 8970资料来源：中国统计局中国统计年鉴 2006M北京：中国统计出版社根据上表中的数据得；全国人均 GDP=18661.52，即可计算出各地区的不平衡系数。如 ，根据公式(15)计27503.1.86394数山 东 地 区 发 展 不 均 衡 系算得山东地区新闻学专业的学费标准为 5546.9662 对于不同专业的扩展社会对不同的专业的需求不同，这就导致各个专业未来的就业形势、工资高低等
23、情况有所不同，自然，其个人相对收益率的大小就存在差异。利用个人相对收益率的差别，我们可以得到不同的学费标准，这样更符合实际情况。再以计算机专业为例，由上可知其个人相对收益率为 1.2，则该专业的学费标准会随之改变。63 对不同类院校的扩展高等院校可以分为综合类、理工类、文史类、艺术类等，其学费标准由生均培养成本（a1 ） 、家庭年均收入（ a2）和人均 GDP(a3)三个因子决定，建立模型： 3)4(2)3(1)2(acacy 查找各类高校的生均培养成本（a1） 、家庭年均收入（a2 ）和人均 GDP (a3)的有关数据，运用最小二乘法进行统计分析，可确定出 c(1)、c(2)、c(3) 、c
24、(4)，即可得到不同类高校的学费标准公式。64 对招新数的扩展新招学生的数量影响其学费标准的制定，利用查得数据对其进行函数拟合，建立微积分模型的表达式，通过精确计算可以得到在考虑招新数量情况下的学费标准。65 模型的应用本模型在确定公路收费标准、自来水收费标准、用电收费标准等收费标准的制定问题方面有一定的应用前景。另外，本文的问题分析和研究方法以及建立的相关模型在投资方面、工厂各项投入比例的确定方面都有一定应用价值。13七、模型的检验以及优缺点分析71 模型的检验学费标准 32105.8.65.0xxz根据国家发改委 2005 年 6 月 8 日印发高等学校教育培养成本检审办法（试行） 的通知
25、第五条规定：高校教育培养成本由人员支出、公用支出、对个人和家庭的补助支出和固定资产折旧四部分构成 房 屋 折 旧 费仪 器公 用 之 处个 人 家 庭 补 助人 员 支 出均 生 培 养 成 本 利用所查数据，参照目前的相关文献，我们精确计算出了 2001-2006 年的生均培养成本，并绘制出下表。依据下表以及论文中的相关数据可得；2001 年全国学费标准为 2912.45 元，2002 年全国学费标准为 3109.39，2003 年全国学费标准为 3307.06 元，2004 年全国学费标准为 3616.03 元，2005 年全国学费标准为 3900.41，2006 年全国学费标准为 438
26、8.75 (考虑新闻学专业)。参看 2001-2006 年全国新闻学专业的实际收费标准，可以判断，由本模型制定出的学费标准比较合理。年份 人员支出 个人家庭补助 公用支出 仪器 房屋折旧费 均生培养成本2001 2671.319 694.5429787 2613.56 500 2519 8998.4219792002 2879.439 748.6542573 2453.47 500 2575 9156.5632572003 3048.453 792.597781 2352.36 500 2651.3 9344.7107812004 3350.157 871.0408279 2298.41 50
27、0 2898.8 9918.4078282005 3546.701 922.1421898 2237.57 500 3003.4 10209.813192006 3983.55 1107.123129 2513.33 500 3403.3 11507.3031372 模型的优缺分析优点：为了客观的定量的分析研究我国当前状况下影响学费标准的四个主要因子，并建立了关于这四个因子的线性规划模型，拟在确定高等教育不同专业的学费标准。本文中的模型简单、易于应用到实际生活中。缺点：本文中有一些数据是人为设定的，其与实际值之间必然会存在一定误差，同时，论文在确定约束条件时，自变量 x1、 x2、 x3之间存
28、在一定联系，而且自变量的选择与实际情况间存在差异。这些因素必然会使结果产生误差。由于查找到的资料不足，本文中所用的某些数据是参看有关模型，经过计算得来的，会与真实数值之间存在差异。14八、参考文献1陈雄 ，学费收取标准的计算公式 J.预算管理与会计2晏开利 ，高等教育学费的制衡因素 J.江苏高教，1995（3）：73周莹， 高校收费标准的探讨 J.青岛大学国际商学院，山东青岛，2660713毛建青 ，我国普通高等院校学费制定标准探讨 ， J.北京师范大学 经济学院，北京 1008754化存才， 高校教育收费问题的微分方程模型与宏观调控分析 J.云南师范大学数学学院，云南昆明 6500925黄享
29、苟 ，我国高校生均培养成本的一种计算方法 J.湖北职业技术学院 湖北孝感 4320006薛定宇 陈阳泉， 高等应用数学问题的 MATLAB 求解，清华大学出版社7邱雅，我国普通高校学费的模型建立与分析J，北京工商大学 经济学院，北京 100037九、附录(1)最优解的代码clear allf=0.1625,0.18,0.025;A=1308.0075,-281.124,-39.045;0.1625,-0.42,0.025;0,1.3453,-1;0,-1.3453,1;-1,0,0;0,-1,0;0,0,-1;b=11119165,0,447.3073,-447.3073,-10000,-10000,-12000;x=lp(f,A,b)f*x(2)拟合函数的代码x=343.4,477.6,739.1,1510.2,1700.6,2026.6,2577.4,3496.2,4283,4838.9,5160.3,5425.1,5854,6280,6859.6,7702.8,8472.2,9421.6,10493,11759.5;y=381,463,858,1644,1893,2311,2998,4044,5046,5846,6420,6796,7159,7858,8622,9398,10542,12336,14103,16084;polyfit(x,y,1)15
