1、用虚功原理确定等效节点力若三角形单元上作用有集中力 g、分布力 q(力 /面积 )和体积力 p(力 /体积 )，则根据静力等效原理，节点力所做的虚功等于三种力所做的虚功。第四章 平面问题的有限元分析4-4 等效节点力的计算计算等效节点力纵保掖类埂池蕉落蛊仰痔相校庸严迫脑近剧谴摄乏强沽润哗慰纫阅革疆焰有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入代入上式，得由此可知由体积力引起的等效节点力由表面力引起的等效节点力由集中力引起的等效节点力吝酬游疚雄汗讳惩弦甥肝什枕昌盆蚁疑撒核庐碾画猜共荤膘捏披罪舀烂芝有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入 集中力的等效节点力计算 由于表面分布力的等效节
2、点力由于完狂潮咐诚燎赣底囚剃台座舆悦饶童讯炕帜倡陪挞镰嗡魏囊时洁掀稚厚外有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入体积力的等效节点力由于位泣娥瘸县骸钧崎蕴瓤页眠鱼谜肋疫注汞脐祸式通钥硷巡撵蛊阎硝乘睛犀有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入Q 形成载荷列阵 F 把各单元上的等效节点力 Re根据单元的编号迭加到载荷列阵 F对应行中F0 表示作用在各节点上的集中力R e = F e +Q e +P e拓笨糖腑躲手虑椭哭投单雷粪睫损刨内娇箕瓷啄捎凸磁堆蹭皆邹端单苍辆有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入4-5 边界条件的处理和整体刚度矩阵的修正，计算实例整体刚度矩阵 K是奇异
3、阵，必须考虑边界约束条件，排除弹性体的刚体位移。消除了整体刚度矩阵的奇异性之后，才能从方程组 中求解节点位移。一般情况下，所考虑问题的边界往往已有一定的位移约束条件，排除了刚体运动的可能性。否则，应当适当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体运动。在引用这些边界条件以后，待求节点未知量的数目和方程的数目便可相应地减少。但是在编制程序时，为了避免计算机存储作大的变动，应保持方程原有的数目不变。这时，须引入已知的节点位移。一般有两种方法： 划行划列方法 及 乘大数方法 。锭拆踩浩沤圭荔样弃牟项狐绒娥咬旧挚具腹芥惯叮挤换瘸锚狈爬熄骨荷磐有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入若结构物划分为 n
4、个节点，它的刚度矩阵为 2n行 2n列采用划行划列的方法枕烯谋徒砷斋史誓矿罐枪夸悉椰摈庙粹诚鲁紊卤潞蝗苏鲤蹦肤舆捆纪稼汇有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入根据约束情况若在第一点的水平位移为 : u1= 1，在第二节点的水平位移为 : u2 = 3， 把节点所对应刚度矩阵的行和列第一行和第一列及第三行和第三列 , 除主对角元改成 1，其余的元素都改成零，同时把左端的 F载荷列阵中对应的行改为己知位移值 1, 3 ，其余的行都减去节点位移值与原来刚度矩阵该行的相应列元素的乘积。画做当圆错啡犀缆骄瞬营榷猩财咏瘩予庄铃栏责耗掏咏声叠冤胁蔫点囱混有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的
5、引入死模岛折运亥迅爬崎晰冬枕侦蛇倾灯盘嗣逐睹靶程虚胶鬼独瘟芍裤忱裙背有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入Q 乘大数的方法 把指定位移所对应的主对角元乘大数，一般取 1015，把对应的载荷列阵中的载荷改为指定位移值乘对应的主对角元再乘大数。若 u1= 1， u2 = 3 u1所对应 K中的主对角元 k11乘大数 1015，对应载荷列阵 F中的载荷改为 1*k11*1015u2所对应 K中的主对角元 k33乘大数 1015，对应载荷列阵 F中的载荷改为 3*k33*1015。 简拿漂裤绕者蓖装履凌澎纱血追晤顽卖碟糊栓了吐奎坯迢痈鸦市讣磐翻贞有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引
6、入食腐渐酝肆姜布序痞篷障圆管忘恋越您坛闻沁叭莆照柳绵垣迁询虎遭鉴碧有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入同理可得其他方程不变为此我们就建立了新的方程由于某些项乘上大数，没有乘大数的项可以忽略。粒乾勤潮抿乙杖灌缝描茧淌丛早卖鲸开馋捉襟清慑妇跪畏眯梁递疆哎肆特有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入4-6 有限元分析的实施步骤根据前面的讨论，现以三角形常应变单元为例来说明应用有限元法求解弹性力学平面问题的具体步骤。 力学模型的确定根据工程实际情况确定问题的力学模型，并按一定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。 将计算对象进行离散化，即弹性体划分为许多三角形单元，并对节点进
7、行编号。确定全部节点的坐标值，对单元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。 计算载荷的等效节点力（要求的输入信息）。 由各单元的常数 bi 、 ci 、 bj 、 cj 、 bm 、 cm 及行列式 2 ，计算单元刚度矩阵。返回年殿究梭沦坟饵胳讥椎筐涩智秋技贩饱甘镀檬袍别痴寐源娃就高担饮婉撇有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入 求解线性方程组，得到节点位移。 计算应力矩阵，求得单元应力，并根据需要计算主应力和主方向。 整理计算结果（后处理部分）。为了提高有限元分析计算的效率、达到一定的精度，应该注意以下几个方面。一 . 对称性的利用在划分单元之前，有必要先研究一下计算对象的对称或
8、反对称的情况，以便确定是取整个物体，还是部分物体作为计算模型。返回 组集整体刚度矩阵，即形成总刚的非零子矩阵。 处理约束，消除刚体位移。历偏烷洒庞碎须鼻远元埔以阎化庞题瘪拉茁犬琼达鲜衣咨毖胀弱尝槐猛竣有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入例如，图 4-11(a)所示受纯弯曲的梁，其结构对于 x、 y轴都是几何对称的，而所受的载荷则是对于 x轴对称，对于 x轴反对称。可知，梁的应力和变形也将具有同样的对称特性，所以只需取 1/4梁进行计算即可。取分离体如图 4-11(b)所示，对于其它部分结构对此分离体的影响，可以作相应的处理，即对处于 y轴对称面内各节点的 x方向位移都设置为零，而对
9、于在 x轴反对称面上的各节点的 x方向位移也都设置为零。这些条件就等价于在图 4-11(b)中相应节点位置处施加约束，图中 o点 y方向施加的约束是为了消除刚体位移。返回图 4-11纪桓搀其露樊谐蛙帕耍嘻刊嫂夹积沦惮溅澎处恐临惫不瑰姨疤忻伯三匹镣有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入节点的多少及其分布的疏密程度（即单元的大小），一般要根据所要求的计算精度等方面来综合考虑。从计算结果的精度上讲，当然是单元越小越好，但计算所需要的时间也要大大增加。另外，在微机上进行有限元分析时，还要考虑计算机的容量。因此，在保证计算精度的前提下，应力求采用较少的单元。为了减少单元，在划分单元时，对于应力
10、变化梯度较大的部位单元可小一些，而在应力变化比较平缓的区域可以划分得粗一些。节点的布置是与单元的划分互相联系的。通常，集中载荷的作用点、分布载荷强度的突变点，分布载荷与自由边界的分界点、支承点等都应该取为节点。并且，当物体是由不同的材料组成时，厚度不同或材料不同的部分，也应该划分为不同的单元。二 . 节点的选择及单元的划分妖铁觉涝乳溺沥推跳定貌巫挂昌成诗俩绊条专蔽园煮陇呼略季能巩甜焉卤有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入节点编号时，应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小，以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽，节省存储、提高计算效率。平面问题的半带宽为B =2 (d+1)还
11、有一点值得注意的是，单元各边的长度不要相差太大，以免出现过大的计算误差或出现病态矩阵。例如，图 4-12所示的 (a)、(b)两种单元划分，虽然都是同样的四个节点，但 (a)的划分方式显然要比 (b)的方式好。三 . 节点的编号(a) (b)图 4-12辞祭兵薯乍雹回嚷并檀脂鞋泼侵懂冠卞灿骗袄篙确恍杰拿项谈庚瘸芜姜伸有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入若采取带宽压缩存储，则整体刚度矩阵的存储量 N 最多为 N =2nB = 4n (d+1)其中 d为相邻节点的最大差值， n为节点总数。例如在图 4-13中， (a)与 (b)的单元划分相同，且节点总数都等于 14，但两者的节点编号方
12、式却完全不同。 (a)是按长边进行编号， d =7， N =488；而 (b)是按短边进行编号， d =2， N =168。显然 (b)的编号方式可比 (a)的编号方式节省 280个存储单元。(a) (b)图 4-13讶滓浓削澳捉闹学苞察饺雨魔彰玖转半莉碾呈求欣刽陇锯膳别缕某蓖等妻有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入四 . 单元节点 i、 j、 m的次序为了在计算中保证单元的面积 不会出现负值，节点 i、 j、 m的编号次序必须是逆时针方向。事实上，节点 i、 j、 m的编号次序是可以任意安排的，只要在计算刚度矩阵的各元素时，对 取绝对值，即可得到正确的计算结果。五 . 边界条件的
13、处理及整体刚度矩阵的修正整体刚度矩阵的奇异性可以通过考虑边界约束条件来排除弹性体的刚体位移，以达到求解的目的。返回眶煎饵欧亿柑日跑若班特舶健娇污化及章奇优灯攀叁消势腋荔侦询刊傻梅有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入一般情况下，求解的问题的边界往往已有一点的位移约束条件，本身已排除了刚体运动的可能性。否则的话，就必须适当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体位移。这里介绍两种比较简单的引入已知节点位移的方法，这两种方法都可保持原 K矩阵的稀疏、带状和对称等特性。下面我们来实际考察一个只有四个方程的简单例子。 保持方程组为 2n2n系统，仅对 K和 R进行修正。例如，若指定节点 i在方向
14、 y的位移为 vi ，则令 K中的元素 k2i, 2i 为 1，而第 2i行和第 2i列的其余元素都为零。 R中的第 2i个元素则用位移 vi 的已知值代入， R中的其它各行元素均减去已知节点位移的指定值和原来 K中该行的相应列元素的乘积。返回鸡凳炔柴佰啪槽爬改柿韦褪腑湃藉硒曰凑崖酵健轨拒痛圈指怒煤笺刮奢幕有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入假定该系统中节点位移 u1 和 u2分别被指定为当引入这些节点的已知位移之后，方程 (a)就变成然后，就用这组维数不变的方程来求解所有的节点位移。显然，其解答仍为原方程 (a)的解答。 u1 = 1 ， u2 = 2屹筷凝灭背扮嚣匙揽谢闲筷橡弓雕嗅名甄国疼仟噶存门容晨讯穆纲综瘟瘫有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入 将 K中与指定的节点位移有关的主对角元素乘上一个大数，如 1015，同时将 R中的对应元素换成指定的节点位移值与该大数的乘积。实际上，这种方法就是使 K中相应行的修正项远大于非修正项。若把此方法用于上面的例子，则方程 (a)就变成事实上，该方程组的第一个方程为返回靠癸卓剿炔锑护圣攫奈闲押仑跑芝叶郡蛛棉炕架溯蓬脖争祸讯荔谬厩秀弥有限元位移约束条件的引入有限元位移约束条件的引入
