1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。单元质量评估 (一)第一章（120 分钟 150 分）一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2014天津高二检测)若函数 y=f(x)在区间(a，b)内可导，且 x0(a，b)，则的值为( )A.f(x 0) B.2f(x 0)C.-2f(x 0) D.0【解析】选 B.= 2=2 =2f(x 0)2.(2013江西高考改编)若曲线 y=x +1(R)在(1，2)处的切线经过原点，则 =
2、( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 B.因为 y=x -1 ，所以令 x=1 得切线的斜率为 ，故切线方程为 y-2=(x-1)，代入(0，0)得 =2.3.甲、乙两人从同一起点出发按同一方向行走，已知甲、乙行走的速度与行走的时间分别 v甲 = ，v 乙 =t2(如图)，当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻( )A.甲乙两人再次相遇B.甲乙两人加速度相同C.甲在乙前方D.乙在甲前方【解析】选 C.由 v 甲 =v 乙 ，得 =t2，解得 t=0(舍)，或 t=1.由 dt= = .t2dt= t3 = .所以当甲乙行走的速度相同(不为零)时刻甲在乙前方.故选 C.4.下面为函数 y=
3、xsinx+cosx的递增区间的是( )A. B.(，2)C. D.(2，3)【解析】选 C.y=(xsinx+cosx)=sinx+xcosx-sinx=xcosx，当 x 时，恒有xcosx0.故选 C.5.(2014泰安高二检测)函数 f(x)=x3+3x2+3x-a的极值点的个数是( )A.2 B.1 C.0 D.由 a确定【解析】选 C.f(x)=3x 2+6x+3=3(x+1)20 恒成立，所以 f(x)在 R 上单调递增，故 f(x)无极值点，选 C.6.已知实数 a，b 满足-1a1，-1b1，则函数 y= x3-ax2+bx+5有极值的概率为( )A. B. C. D.【解题
4、指南】根据函数有极值的充要条件，转化为定积分求面积之比，运用几何概型计算概率.【解析】选 C.因为函数 y= x3-ax2+bx+5 有极值，所以 y=x 2-2ax+b=0 有两个不等实数根，得 4a2-4b0，即 b0，即 b a 或 b a，如图，在平面直角坐标系 aOb 中，P(A)= = .7.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确的序号是( )A. B. C. D.【解析】选 B.不正确，导函数过原点，但三次函数在 x=0 处不存在极值；不正确，三次函数先增后减再增，而导函数先负后正再负.故应选 B.8.已知 y=f(x)是定义在 R上的函数，且 f(1
5、)=1，f(x)1，则 f(x)x的解集是( )A.(0，1) B.(-1，0)(0，1)C.(1，+) D.(-，-1)(1，+)【解析】选 C.设 g(x)=f(x)-x，则 g(x)=f(x)-1，因为 f(x)1，所以 g(x)0，即 g(x)在 R 上是增函数，又 g(1)=f(1)-1=1-1=0，所以当 x1 时，g(x)g(1)=0，即当 x1 时，f(x)x.所以 f(x)x 的解集为(1，+).9.在函数 y=x3-8x的图象上，其切线的倾斜角小于 的点中，坐标为整数的点的个数是( )A.3 B.2 C.1 D.0【解析】选 D.由于 y=(x 3-8x)=3x 2-8，由
6、题意，得 00或 af(b)g(b)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(b)f(b)g(x)D.f(x)g(x)f(a)g(x)【解析】选 C.令 F(x)= ，则 F(x)= ，所以 f(x)g(b)f(b)g(x).故应选 C.二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2014江西高考)若曲线 y=e-x上点 P处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P的坐标是 .【解题指南】切线问题运用导数的几何意义求解.【解析】设点 P(x0,y0),因为 y=-e -x,所以曲线在点 P 处的切线的斜率为 k=- ,又因为切线平行
7、于直线 2x+y+1=0,所以- =-2,解得 x0=-ln2,代入 y=e-x得 y0=2,所以点 P(-ln2,2).答案:(-ln2,2)14.设 a0，若曲线 y= 与直线 x=a，y=0 所围成封闭图形的面积为 a2，则 a=_.【解析】由已知得 S= dx= = =a2，3a20x|所以 = ，所以 a= .答案：15.(2014南京高二检测)直线 y=a与函数 f(x)=x3-3x的图象有三个相异的公共点，则 a的取值范围是_.【解析】令 f(x)=3x 2-3=0，得 x=1，可求得 f(x)的极大值为 f(-1)=2，极小值为 f(1)=-2，如图所示，-20，若xR，恒有
8、f(x)0，则 的最小值是_.【解析】二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)的导数为 f(x)=2ax+b，由 f(0)0，得 b0，又对xR，恒有 f(x)0，则 a0，且 =b 2-4ac0，故 c0，所以 = = + +12 +12 +1=2，所以 的最小值为 2.答案：2【变式训练】设 f(x)=x3- x2-2x+5，当 x-1，2时，f(x)0x1；f(x)7 为所求.答案：(7，+)三、解答题(本大题共 6小题，共 70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2013广州高二检测)已知曲线 y = x3+x-2在点 P0处的切线 l1平行于直线
9、 4x-y-1=0，且点 P0在第三象限，(1)求 P0的坐标.(2)若直线 ll 1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程.【解析】(1)由 y=x3+x-2，得 y=3x 2+1，由已知得 3x2+1=4，解得 x=1.当 x=1 时，y=0；当 x=-1 时，y=-4.又因为点 P0在第三象限，所以切点 P0的坐标为(-1，-4).(2)因为直线 ll 1，l 1的斜率为 4，所以直线 l 的斜率为- ，因为 l 过切点 P0，点 P0的坐标为(-1，-4)，所以直线 l 的方程为 y+4=- (x+1)，即 x+4y+17=0.18.(12分)(2013大纲版全国卷)已知函数 f
10、 =x3+3ax2+3x+1.(1)求 a=- 时，讨论 f 的单调性.(2)若 x 时，f 0，求 a 的取值范围.【解析】(1)当 a=- 时，f(x)=x 3-3 x2+3x+1，f(x)=3x 2-6 x+3.令 f(x)=0，得 x1= -1，x 2= +1.当 x(-， -1)时，f(x)0，f(x)在(-， -1)是增函数；当 x( -1， +1)时，f(x)0，f(x)在( +1，+)是增函数.(2)由 f(2)0 得 a- .当 a- ，x(2，+)时，f(x)=3(x 2+2ax+1)3 = 3 (x-2)0，所以 f(x)在(2，+)是增函数，于是当 x2，+)时，f(x
11、)f(2)0.综上，a 的取值范围是 .19.(12分)(2013福建高考)已知函数 f(x)=x-1+ (aR，e 为自然对数的底数).(1)若曲线 y=f(x)在点(1，f(1)处的切线平行于 x轴，求 a的值.(2)求函数 f(x)的极值.(3)当 a=1时，若直线 l：y=kx-1 与曲线 y=f(x)没有公共点，求 k的最大值.【解题指南】对函数求导，根据导数即切线斜率，知切线斜率为 0.欲求极值，先求单调性，要注意对参数 a 进行讨论.【解析】(1)由 f =x-1+ ，得 f =1- .又因为曲线 y=f 在点 处的切线平行于 x 轴，得 f =0，即 1- =0，解得 a=e.
12、(2)f =1- ，当 a0 时，f 0，f 为 R 上的增函数，所以函数 f 无极值.当 a0 时，令 f =0，得 ex=a，x=lna.x ，f 0.所以 f 在 上单调递减，在 上单调递增，故 f 在 x=lna 处取得极小值，且极小值为 f =lna，无极大值.综上，当 a0 时，函数 f 无极值；当 a0 时，f 在 x=lna 处取得极小值 lna，无极大值.(3)当 a=1 时，f =x-1+ ，令 g =f - = x+ ，则直线 l：y=kx-1 与曲线 y=f 没有公共点，等价于方程 g =0 在 R 上没有实数解.假设 k1，此时 g =10，g =-1+ 0，知方程 g =0 在 R 上没有实数解.所以 k 的最大值为 1.【一题多解】(1)(2)同方法一.(3)当 a=1 时，f =x-1+ .直线 l：y=kx-1 与曲线 y=f 没有公共点，等价于关于 x 的方程 kx-1=x-1+ 在 R 上没有实数解，即关于 x 的方程： x= (*)在 R 上没有实数解.当 k=1 时，方程(*)可化为 =0，在 R 上没有实数解.当 k1 时，方程(*)化为 =xex.令 h =xex，则有 h = ex.令 h =0，得 x=-1，当 x 变化时，h 的变化情况如表：x -1h - 0 +h -
