1、第一章过关检测(时间:45 分钟,满分:100 分)一、选择题( 每小题 6 分,共 48 分)1.(2013 广东广州模拟)若的二项展开式中 x3 的系数为,则 a=( )A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:通项 Tr+1=a-rx12-3r,当 12-3r=3 时,r=3,所以 x3 的系数为a -3=,解得 a=2.2.(2012 课标全国高考,理 2)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组 ,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种答案:A来源:gkstk.Co
2、m解析:将 4 名学生均分为 2 个小组共有 =3 种分法,将 2 个小组的同学分给两名教师带有=2 种分法,最后将 2 个小组的人员分配到甲、乙两地有=2 种分法,故不同的安排方案共有 322=12 种.3.(2012 陕西高考,理 8)两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜 ,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形) 共有( )A.10 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种答案:C解析:甲获胜有三种情况,第一种共打三局 ,甲全胜,此时,有一种情形; 第二种共打四局,甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜,此时,共有=3 种情形; 第三种共打五局,甲第五局获胜
3、且前四局只有两局获胜,此时,共有=6 种情形,所以甲赢共有 10 种情况,同理乙赢也有 10 种情形,故选 C.4.二项式的展开式中只有第 4 项的二项式系数最大,则展开式中的常数项为( )A.9 B.-15 C.135 D.-135答案:C解析:由已知+1=4,n=6, ,展开式的通项为 Tr+1=(3x)6-r=(-1)r36-r.令 6-=0,r=4.T5=32=915=135.5.一次考试中,要求考生从试卷上的 9 个题目中选 6 个进行答题,要求至少包含前 5 个题目中的 3 个,则考生答题的不同选法的种数是( )A.40 B.74 C.84 D.200答案:B解析:分三类:来源:G
4、KSTK.Com第一类:前 5 个题目的 3 个,后 4 个题目的 3 个,第二类:前 5 个题目的 4 个,后 4 个题目的 2 个,第三类:前 5 个题目的 5 个,后 4 个题目的 1 个,由分类加法计数原理得=74.6.将二项式的展开式中所有项重新排成一列,有理式不相邻的排法有( ) 种.A. B. C. D.答案:C解析:展开式的通项 Tr+1=()8-r,r=0,1,2,8.当为整数时,r=0,4,8. 展开式共有 9 项,其中有有理项 3 项,先排其余 6 项有种排法,再将有理项插入形成的 7 个空档中,有种方法.共有种排法.7.“2012”中含有数字 0,1,2,且数字 2 有
5、两个,则含有 0,1,2,且有两个相同数字的四位数的个数是( )A.18 B.24 C.27 D.36答案:B解析:有两个数字相同时,共有三类 :0,0,1,2;0,1,1,2;0,1,2,2.第一类:由 0,0,1,2 组成四位数时 ,千位有 2 种选法,再将剩余的非零数字填入个位、十位、百位中的一个位置,有 3 种方法,再将 0,0 填入其余位置有一种方法,共有 6 个不同四位数.第二类:当千位是 2 时,将 0 填入个位、十位、百位中的一个位置有 3 种方法,再将 1,1 填入其余位置有一种方法, 当千位是 2 时有 3 个不同的四位数.当千位是 1 时,将 0,1,2 填入个位、十位、
6、百位有 6 种方法.当由 0,1,1,2 组成四位数时,共有 9 个.第三类,同第二类,由 0,1,2,2 组成四位数时,共有 9 个.符合条件的四位数有 6+9+9=24 个.8.的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中的常数项为( )A. -40 B.-20 C.20 D.40答案:D解析:在中令 x=1 得(1+a)(2 -1)5=2,a=1.原式=x ,故常数项为x(2x)2(2x)3=-40+80=40.二、填空题( 每小题 6 分,共 18 分)9.(2012 湖南高考,理 13)的二项展开式中的常数项为 .(用数字作答) 答案:-160解析:的通项为Tr+1=(2=(-1)r2
7、6-rx3-r.当 3-r=0 时,r=3.故(-1) 326-3=-23=-160.10.设(x-1) 21=a0+a1x+a2x2+a21x21,则 a10+a11= . 答案:0解析:(x-1) 21 的通项为 Tr+1=x21-r(-1)r,T12=x10(-1)11=-x10.a10=-.T11=x11(-1)10=x11,a11=.a10+a11=-=0.11.将三个分别标有 A,B,C 的球随机放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中,则 1 号盒子中有球的不同放法种数为 . 答案:37解析:分三类,1 号盒子中有 1 个球,2 个球,3 个球.当有 1 个球时,放法有)=27
8、种; 有 2 个球时,放法有=9 种 ;有 3 个球时,放法有 1 种,共有 27+9+1=37 种.三、解答题( 共 34 分)12.(10 分)(1)四面体的一个顶点为 A,从其他顶点和各棱中点中取 3 个点,使它们和点 A 在同一平面上,有多少种不同的取法?(2)四面体的顶点和各棱中点共 10 个点,从其中取 4 个不共面的点 ,有多少种不同的取法?来源:学优解:(1)(直接法 )如图,在含顶点 A 的四面体的 3 个面上,除点 A 外都有 5 个点,从中取出 3 点必与点 A共面,共有 3 种取法;含顶点 A 的 3 条棱上各有 3 个点,它们与所对的棱的中点共面,共有 3 种取法.根
9、据分类加法计数原理,与顶点 A 共面的 3 点的取法有 3+3=33(种).(2)(间接法 )如图,从 10 个点中取 4 个点的取法有种,除去 4 点共面的取法种数后可以得到结果.从四面体同一个面上的 6 个点取出的 4 点必定共面,有 4=60(种),四面体每一棱上的 3 点与所对棱的中点共面,共有 6 种共面情况; 从 6 条棱的中点中取 4 个点时有 3 种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分).故 4 点不共面的取法有 -(60+6+3)=141(种).13.(12 分) 已知( +3x2)n 的展开式中,各项系数和比它的二项式系数和大 992.求:(1)展开式中二项式系数最大的
10、项;(2)展开式中系数最大的项.解:令 x=1,则展开式中各项系数和为(1 +3)n=22n,又 展开式中二项式系数和为 2n,22n-2n=992,即 n=5.(1)n=5,展开式共 6 项,二项式系数最大的项为第三、四两项,T 3=)3(3x2)2=90x6,来源:学优 gkstkT4=)2(3x2)3=270.(2)设展开式中第 r+1 项系数最大 ,来源:学优则 Tr+1=)5-r(3x2)r=3r,于是r.因此 r=4,即展开式中第 5 项系数最大,T5=)(3x2)4=405.14.(12 分) 三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?(2)
11、如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?解:(1)(捆绑法 )因为三个女生必须排在一起 ,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起共有六个元素,排成一排有种不同排法.对于其中的每一种排法,三个女生之间又都有种不同的排法,因此共有=4320 种不同的排法 .(2)(插空法 )要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空,这样共有 4 个空,加上两边两个男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻.由于五个男生排成一排有种不同排法
12、,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法,因此共有= 14400 种不同的排法.(3)解法 1:(位置分析法)因为两端不能排女生 ,所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个,有种不同排法,对于其中的任意一种排法,其余六个位置都有种排法,所以共有=14400 种不同的排法.解法 2:(间接法)3 个女生和 5 个男生排成一排共有种不同的排法,从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法,但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次,所以还需加回来一次,由于两端都是女生有种不同的排法,所以共有-2=14400 种不同的排法.
