河南省开封市2015年高三上学期定位模拟考试数学（文）试题 Word版含解析.zip

页 1 第河南省开封市 2015 届高三上学期定位模拟考试数学试题（文科）【试卷综析】基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1．已知集合 A= ，则2|lg1,|30xyByABA. B. C. D. |3x|3|x|13x【知识点】函数的定义域；一元二次不等式的解法；集合运算. A1 B1 E3 【答案解析】C 解析：A={x|x1},B={y|-1 },所以 ，故选 C.y|AB【思路点拨】化简集合 A、B，求得这两个数集的交集.【题文】2．设 ，则21zizA. B.1 C.2 D. 3【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】A 解析： ，故选 A.12,2ziiz【思路点拨】把已知复数化简为 形式，利用公式 求得结论.,abR2zab【题文】3．已知双曲线 ，则双曲线的离心率为243xyA. B. C. D. 7172【知识点】双曲线的性质. H6 【答案解析】B 解析：已知双曲线为 ，其中 a= ,所以双曲线的离心率为2134xy3,47c，故选 B.213【思路点拨】把已知方程化成标准方程，求得 a,c，从而利用公式 求出离心率 e.cea【题文】4．对一个容量为 N 的总体抽取容量 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种页 2 第不同方法抽样时，总体中 每个个体被抽中的概率分别为 ，则123,PA. B. C. D. 123P231P1323【知识点】抽样方法. I1【答案解析】D 解析：因为简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，都是等可能抽样，所以选 D.【思路点拨】利用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，都是等可能抽样，的结论.【题文】5．如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入 P=A. B. C. D. 10M10410M104【知识点】算法与程序框图. L1【答案解析】C 解析：由于圆 在以 O（0,0） ，A （0,1）B(1,1),C(1,0)为顶点的正方形中的面积21xy为 ，所以 ,故选 C.44100M【思路点拨】由圆在单位正方形中的面积与单位正方形的面积比，等于落在圆中的点个数 M 与总的点个数1000 的比得结论.【题文】6．若 ，则 的夹角是2,aba,abA. B. C. D. 51364【知识点】平面向量单元综合. F4【答案解析】D 解析： ，,0abab页 3 第即 ， ， 的夹角是 .22cos,0abab2cos,ab,ab4【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为 0，得关于向量 夹角的方程.,【题文】7．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A. B.100 C.92 D.84 3108cm3c3cm3c【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】B 解析：由三视图可知此几何体是一个直四棱柱截去一个角后所得几何体，如下图,此几何体的体积为 ，故选 B.16343102【思路点拨】由三视图得 此几何体的结构，从而求得此几何体的体积.【题文】8．已知函数 满足 对 恒成立，则cos2fx1fxfxRA.函数 一定是偶函数 B. 函数 一定是偶函数1fC. 函数 一定是奇函数 D. 函数 一定是奇函数x fx【知识点】函数的奇偶性；不等式恒成立的条件. B4 E1页 4 第【答案解析】A 解析：因为函数 满足 对 恒成立，cos2fx1fxfxR所以 ，(1)2fkZkZ所以 ，所以函数 一定是偶函数，coscsxxxfx故选 A.【思路点拨】由已知得 是 的最大值，由此得 ，代入 得函数(1)f 2kZ(1)fx= ，显然此函数是偶函数.(1)fxcos2x【题文】9．设变量 x、y 满足约束条件 ，则目标函数 的取值范围为12xy2zxyA. B. C. D. 2,84,13,135,13【知识点】线性规划的应用. E5【答案解析】C 解析：画出可行域如图 内部（包括边界） ，目标函数为可行域中点到原点距离的平ABC方，由图可知 z 的最小值是原点到直线 x+y=2 距离的平方，由点到直线距离公式得值这个值为 2；z 的最大值是 .22|31OA【思路点拨】画出可行域，由图可知目标函数取得最值的最优解.【题文】10．函数 存在与直线 平行的切线，则实数 a 的取值范围是lnfxa20xyA. B. C. D. ,2,2,,【知识点】导数的几何意义. B12【答案解析】B 解析: ，且函数的的定义域 ,因为函数 存在与直线1fxa0lnfxa平行的切线，所以20xy，在 有解，所以 a 在函数 的值域上取12faxx0,12,0,yx页 5 第值，而 值域为 ，故选 B. 12,0,yx,2【思路点拨】函数 存在与直线 平行的切线，即此函数存在斜率为 2 的切线，lnfax0xy即函数导数等于 2 有解，由此得实数 a 的取值范围.【题文】11．三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，高为 ，底面是正三角形，若 P 是1ABC943中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小是1ABA. B. C. D. 2346【知识点】空间几何体的结构；线面角的求法. G1 G11【答案解析】B 解析：设此正三棱柱的底面边长 a，由柱体体积公式得 ，从而得底面中线长的三3a分之二为 1，即 ,若 PA 与平面 ABC 所成角为 ，AP则 ,所以 ，故选 B.13tan3【思路点拨】设 PA 与平面 ABC 所成角为 ，则 ，所以只需求出 的长，而 的长是正1tanAP1AP1三棱柱的底面中线长的三分之二，所以需求正三棱柱的底面边长 a，由柱体体积公式得 ，由此可求3a得 PA 与平面 ABC 所成角的大小.【题文】12．设 ，若函数 为单调递增函数，且对任意实数 x，都有 （exRfx 1xf是自然对数的底数） ，则 ln2A.1 B.e+1 C.3 D.e+3【知识点】函数的单调性； B3【答案解析】C 解析：因为 时，函数 为单调递增函数，所以定义域中的值与值域中的值是一xRfx一对应的，又对任意实数 x，都有 （e 是自然对数的底数） ，则 是常数，设1f xfe，所以xfemfe，因为函数 是 R 上增函数，所以 m=1，从而()1xy ()1,xfe所以 ，故选 C.ln23f【思路点拨】根据函数 为 R 上单调递增函数，且对任意实数 x，都有 （e 是自fx xf然对数的底数） ，则 是常数，e页 6 第设 ，所以 ，因为函数 是 R 上增函数，xxfemfe()1mfexye所以 m=1，从而 所以 .()1,ln23f二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.【题文】13．已知函数 ，则 .2log,(0)(x)xf0f【知识点】分段函数；函数值的意义. B1【答案解析】0 解析：因为 所以 .031,f f21log0f【思路点拨】根据分段函数的意义，自变量取哪个区间上的值就用哪个区间上的解析式求函数值.【题文】14．函数 的最小正周期是 .2sincosfxx【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数； 的性质. C4 C5 C6sinyAx【答案解析】 解析： ，所以此函数的最小正周期311()sin2coi26fxx是 .【思路点拨】根据二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，将已知函数化为 ，1()sin26fx由此得所求最小正周期.【题文】15．直线 与圆 C: 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，若直线 OA、OB 的:42lxy21xy倾斜角分别为 ，则 .,sin【知识点】直线与圆；三角函数的定义. H4 C1 【答案解析】 解析：设 ，则 ，16712,,AxyB1212sinyy把 x+4y=2 代入 消去 x 得 ，所以所求为 .2xy763067【思路点拨】根据正弦函数的定义及韦达定理求结果.【题文】16．如图，已知 中， ，延长 AC 到 D,连接 BD, ABC9若 且 AB=CD=1，则 AC= 30CBD【知识点】正弦定理. C8【答案解析】 解析：设 AC=b,则在 中， ，32ABD13sinsin20i21bDb页 7 第在 中， ，所以 ，整理得：BCD2211sinsin30ibbD 231b，解得 b=-2（舍去） ，或 .4324b3【思路点拨】在 和 中，用正弦定理得关于边 AC 的方程，解此方程得 AC 长.ABC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤【题文】17． （本小题满分 12 分）已知数列 满足na2*11, +,nnaN(1) 证明：数列 是等差数列；(2) 设 ，求正项数列 的前 n 项和 .23nbabnS【知识点】等差数列的定义；数列求和. D2 D4【答案解析】(1)证明：略；（2） 1234nnS解析：(1)由已知得 是等差数列，------6 分1nnaa（2）由（1）得： ，-------8 分2,3nnb从 而， ，233nS 2311nnS错位相减得 .-------12 分14nn【思路点拨】 （1）由等差数列的定义证得结论；（2）由错位相减法求数列 的前 n 项和 .bnS【题文】18． （本小题满分 12 分）已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100 人进行成绩抽样调查，先将 800 人按 001、002、 800 编号.(1) 如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的 3 个人的编号；（下面摘取了第 7 行到第 9 行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 （2）抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩各等级人数，例如：表中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42.① 若在该样本中，数学成绩优秀率是 ，求 a,b 的值；03页 8 第数学人数优秀 良好 及格优秀 7 20 5良好 9 18 6地理及格 a 4 b②在地理成绩及格的学生中，已知 求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.10,8b【知识点】抽样方法；古典概型. I1 K2 【答案解析】 （1）785,667,199；（2）①a=14,b=17，② . 解析：（1）785,667,199.----3 分37（2）① -----5 分079314,a0(284)(5617b② ------6 分(5)(986)3b因为 所以 a,b 的搭配是：（10,21） ， （11,20）,(12,19), ,(15,16),(16,15), 10,8a (23,8),共有 23-9=14 种.------8 分设 时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件 A，事件 A 包括：,b（10,21） ， （11,20） ， （12,19） ， ， （15,16） ，共 15-9=6 个基本事件.-----10 分所以 ,即：数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为 .---12 分63147PA 37【思路点拨】(1)利用随机数表的读数方法的结果；（2） ①利用优秀率的计算公式求 a，利用样本容量是100 求 b；②由已知得 a+b=31，满足 的搭配用列举法得共有 14 种，10,8ab其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有 6 种，所以所求概率为 .37【题文】19． （本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为直角梯形， , .BCAD:1,2BCDA(1) 若 E 为 PD 的中点，证明 CE 平面 APB;:(2) 若 PA=PB,PC=PD.证明：平面 APB 平面 ABCD. 【知识点】空间位置关系的判定与性质. G4 G5【答案解析】 （1）证明：略；（2）证明：略. 解析：（1）取 PA 中点 F，连接 EF,BF,页 9 第因为 E 为 PD 中点，所以 且 ,,EFAD:12因为 ,所以 且 ,1,2BCAD:BCEF所以 EFBC 为平行四边形，所以 -----4 分因为 平面 APB， 平面 APB, 所以 平面 APB.-----6 分FE:（2）取 CD 中点 G，AB 中点 H，连接 PG，HG，PH.CD 中点 G， ，-----8 分,PCDPCD是 AB 中点， AB,AB又 ,--10 分,,H:平面 PHG, 平面 PHG，GPPG平面 PHG, 平面 PHG .CDCDH平面 ABCD， 平面 ABCD,AB 与 CD 相交， 平面 ABCD .ABCP平面 PAB 平面 APB 平面 ABCD.-------12 分H【思路点拨】 （1）要证 CE 平面 APB，只需证 CE 与平面 APB 中的某条直线平行，为此取 PA 中点 F，连:接 EF,BF,证明 即可；（ 2）要证平面 APB 平面 ABCD. 只需证其中一个平面内的直线垂直于另BFE一平面，为此取 CD 中点 G，AB 中点 H，连接 PG，HG，PH.证明 PH 垂直于平面 ABCD 即可. 【题文】20． （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的一个焦点在抛物线 的准线上，且过点210xyab28yx. (1)求椭圆 C 的方程；3,1M（2）设点 F(-2，0),T 为直线 x=-3 上任意一点，过 F 作直线 交椭圆 C 于 P、Q 两点.lT页 10 第①证明：OT 经过线段 PQ 中点（O 为坐标原点） ；②当 最小时，求点 T 的坐标.TFPQ【知识点】椭圆的方程；直线与椭圆. H5 H8【答案解析】 （1） ；（2）①证明：略，②（-3,1）或（-3 ，-1）.216xy解析：（1） 的准线方程为 x=-2， 椭圆的一个焦点 ,即 c=2-----2 分281(20)F又 ，解得 ， ------4 分12FMa26,b2:6xyC（2）① ，直线 PQ 方程：x=my-2, 设1(,0)(3,m)T12,(,)PQx联立 ， ----6 分22 4206xyy 268(3)0m12124,,33ym1212214xyPQ 的中点 ，所以 M 在 OT 上，22,,OTMk所以 OT 平分 PQ. -----8 分② 2221121,TFmPQyy2413m，仅当 等号成立，22434P2此时 最小，所以点 T 坐标为（ -3,1）或（-3，-1）.------12 分TFQ【思路点拨】 （1）利用已知条件求得椭圆的字母参数 a,b,c 即可；（2）① 即证线段 PQ 的中点在直线 OT上，为此设 T(-3，m)，则直线 PQ 方程为：x=my-2，代入 得：16xy，由韦达定理等得线段 PQ 的中点 M 的坐标，再判断点 M 在直线 OT 上.② 由23420my①利用两点间距离公式及弦长公式可得 关于 m 的函数，再用基本不等式求 的最小值，以及取得TFPQTFPQ最小值的条件.【题文】21． （本小题满分 12 分）页 11 第已知函数 .ln1,fxxaR（1） 若 a=0，判断函数 的单调性；f（2） 若 x1 时， 恒成立，求 a 的取值范围.0x【知识点】导数的应用. B12【答案解析】 （1） 时， 为减函数. 时， 为增函数；（2） .(,)fx1,xfx12a解析：（1）若 a=0, ln,lnff， 为减函数.-----2 分(0,)x0,fx为增函数.-----4 分f（2）即 在 恒成立，()ln(1))0,fxxa1①若 a=0，则 ，在 上恒成立，,(lnfx,x为 增函数， ，()fx1,)所以 不成立. 不成立.----6 分00a②若 ， 只需 1， 恒成立，则 .----12 分fx2a【思路点拨】(1)求得导函数大于 0 的解区间为增区间，导函数小于 0 的解区间为减区间；页 12 第（2）若 x1 时， 恒成立，只需 0 在 恒成立，记0fx1()lnxafx(1,)，只需 在 上的最大值小于 0，因为(1)a)()ln,(1)hxh,，所以通过讨论 a 的取值情况确定函数 取2 2,(1)xxax hx最大值情况，从而得到满足条件的 a 范围.请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.【题文】22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 为 的直径，点 D 是 上的一点，点 C 是 的中点，弦 于 F，GD 是 的切O:O::ADCEABO:线，且与 EC 的延长线相交于点 G，连接 AD，交 CE 于点 P.(I)证明： ACP(II)若 求 PE 的长.21.,GD【知识点】相似三角形；圆.N1,H3【答案解析】(I)略（II） 解析：解： (I)证明： 为 的直径，2EPABO:点 C 是 的中点， 为公共角，CEAB::AD:,,CDAECDPDP(II)连接 DE， 是 的切线，GO,G:,P21,32DCE2PEG【思路点拨】根据已知可求证明两三角形相似，再利用切线性质求出 PE.【题文】23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 l 经过点 ，其倾斜角为 ，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，xoy1,0P与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C 的极坐标方程为 .26cos50(I) 若直线 l 与曲线 C 有公共点，求 a 的取值范围：(II) 设 为曲线 C 上任意一点，求 的取值范围.,Mxyxy【知识点】直线与圆.H4【答案解析】(I) (II) 解析：解：(I)将曲线 C 的极坐标方程506， ， 32,化为直角坐标方程为 直线 l 的参数方程为26cos650xy将 代入 整理得 直1inxtty为 参 数 1cosinty2x28cos120t页 13 第线 l 与曲线 C 有公共点， 的取值范264cos8033coscos[0,)22或围是 506， ，(II)曲线 C 的方程 可化为 其参数方程为2650xy234xy为曲线上任意一点，3cosM,inxxyy为 参 数的取值范围是2sin32si4xy32,【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可直接求出结果.【题文】24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 a,b 都是正实数，且 1ab(I)求证： ; (II)求 的最小值.14ab221b【知识点】不等式，最值.E1,B3【答案解析】(I)略(II)解析：解： (I)证明：2215ab1 4abba(II) ，即 又22114bab 22211abab得 即20a15225当且仅当 上式等号成立.1b【思路点拨】根据基本不等式可直接证明，再利用不等式证明最值.