1、页 1 第河南省开封市 2015 届高三上学期定位模拟考试数学试题（文科）【试卷综析】基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。这套试题以它的知识性、思辨性、灵活性，基础性充分体现了考素质，考基础，考方法，考潜能的检测功能。试题中无偏题，怪题，起到了引导高中数学向全面培养学生数学素质的方向发展的作用。一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，.在每小题给出的四个选
2、项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1已知集合 A= ，则2|lg1,|30xyByABA. B. C. D. |3x|3|x|13x【知识点】函数的定义域；一元二次不等式的解法；集合运算. A1 B1 E3 【答案解析】C 解析：A=x|x1,B=y|-1 ,所以 ，故选 C.y|AB【思路点拨】化简集合 A、B，求得这两个数集的交集.【题文】2设 ，则21zizA. B.1 C.2 D. 3【知识点】复数的基本概念与运算. L4【答案解析】A 解析： ，故选 A.12,2ziiz【思路点拨】把已知复数化简为 形式，利用公式 求得结论.,abR2zab【题文】3已知双曲线 ，则双曲线的离
3、心率为243xyA. B. C. D. 7172【知识点】双曲线的性质. H6 【答案解析】B 解析：已知双曲线为 ，其中 a= ,所以双曲线的离心率为2134xy3,47c，故选 B.213【思路点拨】把已知方程化成标准方程，求得 a,c，从而利用公式 求出离心率 e.cea【题文】4对一个容量为 N 的总体抽取容量 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种页 2 第不同方法抽样时，总体中 每个个体被抽中的概率分别为 ，则123,PA. B. C. D. 123P231P1323【知识点】抽样方法. I1【答案解析】D 解析：因为简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，都是等可能抽样
4、，所以选 D.【思路点拨】利用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，都是等可能抽样，的结论.【题文】5如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P 表示估计的结果，则图中空白框内应填入 P=A. B. C. D. 10M10410M104【知识点】算法与程序框图. L1【答案解析】C 解析：由于圆 在以 O（0,0） ，A （0,1）B(1,1),C(1,0)为顶点的正方形中的面积21xy为 ，所以 ,故选 C.44100M【思路点拨】由圆在单位正方形中的面积与单位正方形的面积比，等于落在圆中的点个数 M 与总的点个数1000 的比得结论.【题文】6若 ，则 的夹角是2,aba,abA. B.
5、 C. D. 51364【知识点】平面向量单元综合. F4【答案解析】D 解析： ，,0abab页 3 第即 ， ， 的夹角是 .22cos,0abab2cos,ab,ab4【思路点拨】由向量垂直则它们的数量积为 0，得关于向量 夹角的方程.,【题文】7已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是A. B.100 C.92 D.84 3108cm3c3cm3c【知识点】几何体的三视图. G2【答案解析】B 解析：由三视图可知此几何体是一个直四棱柱截去一个角后所得几何体，如下图,此几何体的体积为 ，故选 B.16343102【思路点拨】由三视图得 此几何体的结构，从而求得此几何
6、体的体积.【题文】8已知函数 满足 对 恒成立，则cos2fx1fxfxRA.函数 一定是偶函数 B. 函数 一定是偶函数1fC. 函数 一定是奇函数 D. 函数 一定是奇函数x fx【知识点】函数的奇偶性；不等式恒成立的条件. B4 E1页 4 第【答案解析】A 解析：因为函数 满足 对 恒成立，cos2fx1fxfxR所以 ，(1)2fkZkZ所以 ，所以函数 一定是偶函数，coscsxxxfx故选 A.【思路点拨】由已知得 是 的最大值，由此得 ，代入 得函数(1)f 2kZ(1)fx= ，显然此函数是偶函数.(1)fxcos2x【题文】9设变量 x、y 满足约束条件 ，则目标函数 的取
7、值范围为12xy2zxyA. B. C. D. 2,84,13,135,13【知识点】线性规划的应用. E5【答案解析】C 解析：画出可行域如图 内部（包括边界） ，目标函数为可行域中点到原点距离的平ABC方，由图可知 z 的最小值是原点到直线 x+y=2 距离的平方，由点到直线距离公式得值这个值为 2；z 的最大值是 .22|31OA【思路点拨】画出可行域，由图可知目标函数取得最值的最优解.【题文】10函数 存在与直线 平行的切线，则实数 a 的取值范围是lnfxa20xyA. B. C. D. ,2,2,【知识点】导数的几何意义. B12【答案解析】B 解析: ，且函数的的定义域 ,因为函
8、数 存在与直线1fxa0lnfxa平行的切线，所以20xy，在 有解，所以 a 在函数 的值域上取12faxx0,12,0,yx页 5 第值，而 值域为 ，故选 B. 12,0,yx,2【思路点拨】函数 存在与直线 平行的切线，即此函数存在斜率为 2 的切线，lnfax0xy即函数导数等于 2 有解，由此得实数 a 的取值范围.【题文】11三棱柱 的侧棱与底面垂直，体积为 ，高为 ，底面是正三角形，若 P 是1ABC943中心，则 PA 与平面 ABC 所成角的大小是1ABA. B. C. D. 2346【知识点】空间几何体的结构；线面角的求法. G1 G11【答案解析】B 解析：设此正三棱柱
9、的底面边长 a，由柱体体积公式得 ，从而得底面中线长的三3a分之二为 1，即 ,若 PA 与平面 ABC 所成角为 ，AP则 ,所以 ，故选 B.13tan3【思路点拨】设 PA 与平面 ABC 所成角为 ，则 ，所以只需求出 的长，而 的长是正1tanAP1AP1三棱柱的底面中线长的三分之二，所以需求正三棱柱的底面边长 a，由柱体体积公式得 ，由此可求3a得 PA 与平面 ABC 所成角的大小.【题文】12设 ，若函数 为单调递增函数，且对任意实数 x，都有 （exRfx 1xf是自然对数的底数） ，则 ln2A.1 B.e+1 C.3 D.e+3【知识点】函数的单调性； B3【答案解析】C
10、 解析：因为 时，函数 为单调递增函数，所以定义域中的值与值域中的值是一xRfx一对应的，又对任意实数 x，都有 （e 是自然对数的底数） ，则 是常数，设1f xfe，所以xfemfe，因为函数 是 R 上增函数，所以 m=1，从而()1xy ()1,xfe所以 ，故选 C.ln23f【思路点拨】根据函数 为 R 上单调递增函数，且对任意实数 x，都有 （e 是自fx xf然对数的底数） ，则 是常数，e页 6 第设 ，所以 ，因为函数 是 R 上增函数，xxfemfe()1mfexye所以 m=1，从而 所以 .()1,ln23f二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.【题文】13
11、已知函数 ，则 .2log,(0)(x)xf0f【知识点】分段函数；函数值的意义. B1【答案解析】0 解析：因为 所以 .031,f f21log0f【思路点拨】根据分段函数的意义，自变量取哪个区间上的值就用哪个区间上的解析式求函数值.【题文】14函数 的最小正周期是 .2sincosfxx【知识点】二倍角公式；两角和与差的三角函数； 的性质. C4 C5 C6sinyAx【答案解析】 解析： ，所以此函数的最小正周期311()sin2coi26fxx是 .【思路点拨】根据二倍角公式，两角和与差的三角函数公式，将已知函数化为 ，1()sin26fx由此得所求最小正周期.【题文】15直线 与圆
12、 C: 交于 A、B 两点，O 是坐标原点，若直线 OA、OB 的:42lxy21xy倾斜角分别为 ，则 .,sin【知识点】直线与圆；三角函数的定义. H4 C1 【答案解析】 解析：设 ，则 ，16712,AxyB1212sinyy把 x+4y=2 代入 消去 x 得 ，所以所求为 .2xy763067【思路点拨】根据正弦函数的定义及韦达定理求结果.【题文】16如图，已知 中， ，延长 AC 到 D,连接 BD, ABC9若 且 AB=CD=1，则 AC= 30CBD【知识点】正弦定理. C8【答案解析】 解析：设 AC=b,则在 中， ，32ABD13sinsin20i21bDb页 7
13、第在 中， ，所以 ，整理得：BCD2211sinsin30ibbD 231b，解得 b=-2（舍去） ，或 .4324b3【思路点拨】在 和 中，用正弦定理得关于边 AC 的方程，解此方程得 AC 长.ABC三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤【题文】17 （本小题满分 12 分）已知数列 满足na2*11, +,nnaN(1) 证明：数列 是等差数列；(2) 设 ，求正项数列 的前 n 项和 .23nbabnS【知识点】等差数列的定义；数列求和. D2 D4【答案解析】(1)证明：略；（2） 1234nnS解析：(1)由已知得 是等差数列，-6 分1nnaa（2）由（1）得：
14、 ，-8 分2,3nnb从 而， ，233nS 2311nnS错位相减得 .-12 分14nn【思路点拨】 （1）由等差数列的定义证得结论；（2）由错位相减法求数列 的前 n 项和 .bnS【题文】18 （本小题满分 12 分）已知某中学高三文科班学生共有 800 人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100 人进行成绩抽样调查，先将 800 人按 001、002、 800 编号.(1) 如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的 3 个人的编号；（下面摘取了第 7 行到第 9 行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 0
15、4 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 （2）抽取的 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩各等级人数，例如：表中数学成绩为良好的共有 20+18+4=42. 若在该样本中，数学成绩
16、优秀率是 ，求 a,b 的值；03页 8 第数学人数优秀 良好 及格优秀 7 20 5良好 9 18 6地理及格 a 4 b在地理成绩及格的学生中，已知 求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率.10,8b【知识点】抽样方法；古典概型. I1 K2 【答案解析】 （1）785,667,199；（2）a=14,b=17， . 解析：（1）785,667,199.-3 分37（2） -5 分079314,a0(284)(5617b -6 分(5)(986)3b因为 所以 a,b 的搭配是：（10,21） ， （11,20）,(12,19), ,(15,16),(16,15), 10,8a (23,
17、8),共有 23-9=14 种.-8 分设 时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件 A，事件 A 包括：,b（10,21） ， （11,20） ， （12,19） ， ， （15,16） ，共 15-9=6 个基本事件.-10 分所以 ,即：数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为 .-12 分63147PA 37【思路点拨】(1)利用随机数表的读数方法的结果；（2） 利用优秀率的计算公式求 a，利用样本容量是100 求 b；由已知得 a+b=31，满足 的搭配用列举法得共有 14 种，10,8ab其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有 6 种，所以所求概率为 .37【题文】19 （本小
18、题满分 12 分）如图，四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为直角梯形， , .BCAD:1,2BCDA(1) 若 E 为 PD 的中点，证明 CE 平面 APB;:(2) 若 PA=PB,PC=PD.证明：平面 APB 平面 ABCD. 【知识点】空间位置关系的判定与性质. G4 G5【答案解析】 （1）证明：略；（2）证明：略. 解析：（1）取 PA 中点 F，连接 EF,BF,页 9 第因为 E 为 PD 中点，所以 且 ,EFAD:12因为 ,所以 且 ,1,2BCAD:BCEF所以 EFBC 为平行四边形，所以 -4 分因为 平面 APB， 平面 APB, 所以 平面 APB.-6
19、 分FE:（2）取 CD 中点 G，AB 中点 H，连接 PG，HG，PH.CD 中点 G， ，-8 分,PCDPCD是 AB 中点， AB,AB又 ,-10 分,H:平面 PHG, 平面 PHG，GPPG平面 PHG, 平面 PHG .CDCDH平面 ABCD， 平面 ABCD,AB 与 CD 相交， 平面 ABCD .ABCP平面 PAB 平面 APB 平面 ABCD.-12 分H【思路点拨】 （1）要证 CE 平面 APB，只需证 CE 与平面 APB 中的某条直线平行，为此取 PA 中点 F，连:接 EF,BF,证明 即可；（ 2）要证平面 APB 平面 ABCD. 只需证其中一个平面
20、内的直线垂直于另BFE一平面，为此取 CD 中点 G，AB 中点 H，连接 PG，HG，PH.证明 PH 垂直于平面 ABCD 即可. 【题文】20 （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： 的一个焦点在抛物线 的准线上，且过点210xyab28yx. (1)求椭圆 C 的方程；3,1M（2）设点 F(-2，0),T 为直线 x=-3 上任意一点，过 F 作直线 交椭圆 C 于 P、Q 两点.lT页 10 第证明：OT 经过线段 PQ 中点（O 为坐标原点） ；当 最小时，求点 T 的坐标.TFPQ【知识点】椭圆的方程；直线与椭圆. H5 H8【答案解析】 （1） ；（2）证明：略，（-3,1）
21、或（-3 ，-1）.216xy解析：（1） 的准线方程为 x=-2， 椭圆的一个焦点 ,即 c=2-2 分281(20)F又 ，解得 ， -4 分12FMa26,b2:6xyC（2） ，直线 PQ 方程：x=my-2, 设1(,0)(3,m)T12,(,)PQx联立 ， -6 分22 4206xyy 268(3)0m12124,33ym1212214xyPQ 的中点 ，所以 M 在 OT 上，22,OTMk所以 OT 平分 PQ. -8 分 2221121,TFmPQyy2413m，仅当 等号成立，22434P2此时 最小，所以点 T 坐标为（ -3,1）或（-3，-1）.-12 分TFQ【思
22、路点拨】 （1）利用已知条件求得椭圆的字母参数 a,b,c 即可；（2） 即证线段 PQ 的中点在直线 OT上，为此设 T(-3，m)，则直线 PQ 方程为：x=my-2，代入 得：16xy，由韦达定理等得线段 PQ 的中点 M 的坐标，再判断点 M 在直线 OT 上. 由23420my利用两点间距离公式及弦长公式可得 关于 m 的函数，再用基本不等式求 的最小值，以及取得TFPQTFPQ最小值的条件.【题文】21 （本小题满分 12 分）页 11 第已知函数 .ln1,fxxaR（1） 若 a=0，判断函数 的单调性；f（2） 若 x1 时， 恒成立，求 a 的取值范围.0x【知识点】导数的
23、应用. B12【答案解析】 （1） 时， 为减函数. 时， 为增函数；（2） .(,)fx1,xfx12a解析：（1）若 a=0, ln,lnff， 为减函数.-2 分(0,)x0,fx为增函数.-4 分f（2）即 在 恒成立，()ln(1)0,fxxa1若 a=0，则 ，在 上恒成立，,(lnfx,x为 增函数， ，()fx1,)所以 不成立. 不成立.-6 分00a若 ， 只需 1， 恒成立，则 .-12 分fx2a【思路点拨】(1)求得导函数大于 0 的解区间为增区间，导函数小于 0 的解区间为减区间；页 12 第（2）若 x1 时， 恒成立，只需 0 在 恒成立，记0fx1()lnxa
24、fx(1,)，只需 在 上的最大值小于 0，因为(1)a)()ln,(1)hxh,，所以通过讨论 a 的取值情况确定函数 取2 2,(1)xxax hx最大值情况，从而得到满足条件的 a 范围.请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.【题文】22.（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，AB 为 的直径，点 D 是 上的一点，点 C 是 的中点，弦 于 F，GD 是 的切O:O:ADCEABO:线，且与 EC 的延长线相交于点 G，连接 AD，交 CE 于点 P.(I)证明： ACP(II)若 求 PE 的长.21.,G
25、D【知识点】相似三角形；圆.N1,H3【答案解析】(I)略（II） 解析：解： (I)证明： 为 的直径，2EPABO:点 C 是 的中点， 为公共角，CEAB:AD:,CDAECDPDP(II)连接 DE， 是 的切线，GO,G:,P21,32DCE2PEG【思路点拨】根据已知可求证明两三角形相似，再利用切线性质求出 PE.【题文】23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中，直线 l 经过点 ，其倾斜角为 ，以原点 O 为极点，以 x 轴非负半轴为极轴，xoy1,0P与直角坐标系 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线 C 的极坐标方程为 .26cos50(
26、I) 若直线 l 与曲线 C 有公共点，求 a 的取值范围：(II) 设 为曲线 C 上任意一点，求 的取值范围.,Mxyxy【知识点】直线与圆.H4【答案解析】(I) (II) 解析：解：(I)将曲线 C 的极坐标方程506， ， 32,化为直角坐标方程为 直线 l 的参数方程为26cos650xy将 代入 整理得 直1inxtty为 参 数 1cosinty2x28cos120t页 13 第线 l 与曲线 C 有公共点， 的取值范264cos8033coscos0,)22或围是 506， ，(II)曲线 C 的方程 可化为 其参数方程为2650xy234xy为曲线上任意一点，3cosM,inxxyy为 参 数的取值范围是2sin32si4xy32,【思路点拨】根据直线与圆的位置关系可直接求出结果.【题文】24. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 a,b 都是正实数，且 1ab(I)求证： ; (II)求 的最小值.14ab221b【知识点】不等式，最值.E1,B3【答案解析】(I)略(II)解析：解： (I)证明：2215ab1 4abba(II) ，即 又22114bab 22211abab得 即20a15225当且仅当 上式等号成立.1b【思路点拨】根据基本不等式可直接证明，再利用不等式证明最值.
