1、云南省部分名校 2015 届高三 12 月份统一考试本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为为主导，在注重考查运算能力和分析问题解决问题的能力，知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、导数、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、数列，概率，椭圆等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷【题文】一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 。【题文】1已知集合 ， ，则 =（ ） 2|30Ax|2BxABA B C D 1,2)1,1,)2,1【知识点】集合及其运算 A1
2、【答案】D【解析】解得 A=x 则 =3x或 AB2,【思路点拨】先化简集合 A，再求交集。【题文】2已知 为纯虚数（ 是虚数单位）则实数 （ ）1aiiaA B C D1212【知识点】复数的基本概念与运算 L4【答案】A【解析】 = = ，复数 为纯虚数，所以 a=1，1ai()1i（ ()2ai1ai【思路点拨】化简复数为 a+bi 的形式，利用复数是纯虚数，求出 a 即可【题文】3在 中，点 在 边上，且 ， ，则 = （ ）ABCDDBC2ACsrsrA B C D323410【知识点】平面向量基本定理 F2【答案】D【解析】 ， = = ( - )= -C22B3A23BAC =r
3、 +s ，r= ，s=- r+s=0 ，AB3【思路点拨】根据点 D 是 BC 边上的一个三等分点，靠近 B 点，得到 与 之间的关系，根据向量D减法的法则，写出 与三角形的另外两条边之间的关系，得到要求的值C【题文】4设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则曲线2()fxg()ygx1,()21yx在点 处切线的斜率为（ ）()yfx1,A B C D24142【知识点】导数的应用 B12【答案】B【解析】f（x）=g （x）+2xy=g（x）在点（1，g（1） ）处的切线方程为 y=2x+1，g（1 ）=2，f （1）=g（1）+21=2+2=4，y=f（x）在点（ 1，f（1 ） ）处
4、切线斜率为 4【思路点拨】欲求曲线 y=f（ x）在点（1 ，f （1） ）处切线的斜率，即求 f（1） ，先求出 f（x） ，然后根据曲线 y=g（x）在点（1 ，g（1） ）处的切线方程为 y=2x+1 求出 g（1） ，从而得到 f（x）的解析式，即可求出所求【题文】5执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第 项是（ ）3A B C D8703063【知识点】算法与程序框图 L1【答案】D【解析】当 N=1 时，A=3，故数列的第 1 项为 3，N=2，满足继续循环的条件，A=32=6；当 N=2 时，A=6，故数列的第 2 项为 6，N=3，满足继续循环的条件，A=65=3
5、0；当 N=3 时，A=30，故数列的第 3 项为 30，【思路点拨】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列 an的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案【题文】6在 中，若 ，则 是（ ）ABC1tanBACA锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D无法确定【知识点】解三角形 C8【答案】A【解析】因为 A 和 B 都为三角形中的内角，由 tanAtanB1，得到 1-tanAtanB0，且得到 tanA0，tanB0 ，即 A，B 为锐角，所以 tan（A+B）= 0，tantAB则 A+B（ ，），即 C 都为锐角，所以ABC 是锐角三角形2【思路点拨】利用两角和的正切
6、函数公式表示出 tan（A+B） ，根据 A 与 B 的范围以及 tanAtanB1，得到tanA 和 tanB 都大于 0，即可得到 A 与 B 都为锐角，然后判断出 tan（A+B）小于 0，得到 A+B 为钝角即C 为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形【题文】7已知实数 满足： , ，则 的取值范围是（ ）,xy210xy21zxyzA B C D5,30,50,5)5,)3【知识点】简单的线性规划问题 E5【答案】C 【解析】由 平面区域可知在（2， ）最小值为 0，在（2，-1）取最大值。10xy2【思路点拨】根据平面区域的端点得到结果。【题文】8一几何体的三视图如图所示，若主视图和
7、左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 1，则该几何体外接球的表面积为（ ）A B C D432【知识点】空间几何体的三视图和直观图 G2【答案】B【解析】由主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是 1 的正方形，一条侧棱 AE 与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是 AC根据直角三角形的勾股定理知 AC= = ，3外接球的面积是 4( )2=3，【思路点拨】由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是 1 的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是 AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积【题文】
8、9从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其中个位数为 0 的概率是（ ）A B C D49132919【知识点】古典概型 K2【答案】D【解析】个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数与十位数有一个为奇数，一个为偶数，共有 15C+ =45 记：“个位数与十位数之和为奇数的两位数中，其个位数为 0”为事件 A，则 A 包含的结果：15C410，30，50 ，70，90 共 5 个由古典概率的求解公式可得，P（A）= 9【思路点拨】先求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数 n，然后再求个位数与十位数之和为奇数的两位数的个数，由古典概率的求解公式可求.【题文】10过双曲线 的右顶点
9、作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条21(0,)xyabA1渐近线的交点分别为 若 ，则双曲线的离心率是（ ）,BCABA B C D23510【知识点】双曲线及其几何性质 H6【答案】C【解析】直线 l：y=-x+a 与渐近线 l1：bx-ay=0 交于 B（ ， ），l 与渐近线 l2：bx+ay=0 交于2abC（ ， ），A（a，0 ）， =（ , ）， =（ ，- ），2abAC2ab2 ， = ，b=2a，c 2-a2=4a2，e 2= =5，e= .12Bb2c5【思路点拨】分别表示出直线 l 和两个渐近线的交点，进而表示出 和 ，ABC进而根据 求得 a 和 b 的关系，进而
10、根据 c2-a2=b2，12AC求得 a 和 c 的关系，则离心率可得【题文】11如图，在四棱锥 中，侧面 为正三角形，底面 为正方形，侧面PABDPD底面 ， 为底面 内的一个动点，且满足 ，则点 在正方形 内PDBMMABCD的轨迹为( )【知识点】空间中的垂直关系 G5【答案】A【解析】根据题意可知 PD=DC，则点 D 符合“M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC”设 AB 的中点为 N，根据题目条件可知PANCBNPN=CN，点 N 也符合“M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MP=MC”故动点 M 的轨迹肯定过点 D 和点 N而到点 P 与到点 N 的距离相
11、等的点为线段 PC 的垂直平分面线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线是一直线【思路点拨】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段 PC 的垂直平分面与平面 AC 的交线得到结论【题文】12已知函数 ，若 ，使 成立，*()21,fxN*0,xn00()1)()63fxfxn则称 为函数 的一个“生成点” ，函数 的“生成点”共有（ ）0(,)xn()fA 个 B . 个 C . 个 D . 个2345【知识点】函数及其表示 B1【答案】A【解析】由 f（x 0）+f （x 0+1）+f（x 0+n）=63 ，得（2x 0+1）+2（x 0+1）+1+2（x 0+n）+1=6
12、3所以 2（n+1）x 0+2（1+2+n）+（n+1）=63 ，即（n+1）（2x 0+n+1）=63，由 x0， n N*，得 或 ，解得 或 ，01729n0132n061nx029所以函数 f（x）的“生成点”为（ 1，6），（9，2）【思路点拨】由 f（x 0）+f（x 0+1）+f （x 0+n）=63，得（2x 0+1）+2（x 0+1）+1+2（x 0+n）+1=63，化简可得（n+1）（2x 0+n+1）=63，由 x0， n N*，得 或 ，解出即可07219n0321n第 II 卷（非选择题，共 90 分）【题文】二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分） 。【题
13、文】13设 ，则 ()fx2|1|,| x1()2f【知识点】函数及其表示 B1【答案】 413【解析】由 f( )=- ,f(- )=2413【思路点拨】根据范围确定哪段，再求结果。【题文】14设 的展开式的各项系数之和为 ，二项式系数之和为 ，若 ，(5)nxMN240M则 .n【知识点】二项式定理 J3【答案】4【解析】各项系数之和为 M=4n，二项式系数之和为 N=2n，M-N=240=4 n-2n，n=4 【思路点拨】由于各项系数之和为 M=4n，二项式系数之和为 N=2n，M-N=240=4 n-2n，解方程求得 n 的值【题文】15将函数 的图象向左平移 个单位，所得图象对应的函
14、数为奇()3cos2ifxx(0)t函数，则 的最小值为_ _t【知识点】三角函数的图象与性质 C3【答案】 6【解析】 =2cos(2x+ )图象向左平移 个单位得到()3cos2infxx6(0)tf(x)=2cos(2x+2t+ )为奇函数，所以 2t 最小值 ,t= 。3【思路点拨】先化简式子，再根据诱导公式求出结果。【题文】16已知圆 与直线 相交于 、 两点，则当 的22:10Cxaya3yxPQCP面积最大时，实数 的值为 【知识点】直线与圆、圆与圆的位置关系 H4【答案】 52【解析】圆 C：（x-a） 2+（y-a） 2=1（a0 ）的圆心（a，a）半径为 1，圆心到直线的距
15、离 d= ，半弦长为： = ，121()204aCPQ 的面积 S= . = ，20a242405a当 a2= 时 10a2-4a4取得最大值，最大值为： 10 -4( )2，108 8CPQ 的面积 S 的最大值为： = 此时 a=()525【思路点拨】求出圆的圆心坐标与半径，利用圆心到直线的距离与半弦长求解三角形的面积，然后求出最大值即可三、解答题（本大题共 8 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 。【题文】17 （本小题满分 12 分）设数列 的前 项和 满足： ，等比数列nanS2(1)na的前 项和为 ，公比为 ，且 nbnT15352Tb（1）求数列 的
16、通项公式；a（2）设数列 的前 项和为 ，求证： 1nnM154n【知识点】等差数列 数列求和 D2 D4【答案】 （1） =4n-3（2）略na【解析】 （1） ，(1)nS ；1()n-得， ， ， 11()4nnaa14na又等比数列 ， ，b5352Tb 5342T， ， ， q1数列 是 为首项， 为公差的等差数列，na1 ； ()3（2）由（1）可得 ， 111()(4)43nann ， ( )4593nM在 *N时单调递增， ，即 11()n14nM【思路点拨】根据数列的性质求出通项公式，根据裂项求和证明结论。【题文】18 （本小题满分 12 分）一个口袋中装有大小形状完全相同的
17、红色球 个、黄色球 个、蓝色球12个，现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得 分、摸到黄球得 分、摸到蓝球得 分若从这*()nN123个口袋中随机的摸出 个球，恰有一个是黄色球的概率是 258（1）求 的值； （2）从口袋中随机摸出 个球，设 表示所摸 球的得分之和，求 的分布列和数学期望 2()E【知识点】离散型随机变量及其分布列 K6【答案】 （1） （2）3n14【解析】 （1）由题意有 ，即 ，解得 ； 58231nC032n3n（2） 取值为 .,456则 ， ，126(3)P12364(4)5CP， ， 1236(5)C236()的分布列为： 4P21515故 24214()3561
18、3E. 【思路点拨】根据可能取到的值，求出其相应的概率，列分布列求出数学期望。【题文】19 （本小题满分 12 分）如图，四边形 是正方形， 平面 ， ，ABCDEABCD/EAP， 、 、 分别为 、 、 的中点ADPFGHPE（1）求证： 平面 ；/ED（2）求平面 与平面 所成锐二面角的大小.BC【知识点】空间中的平行关系空间角与距离的求法 G4 G11【答案】 （1）略（2） 4【解析】 （1）证明： F， G分别为 P， E的中点， /FGPE 又 FG平面 PDE， 平面 ， /平面 D （2 ） A平面 BC， /A平面 ABC,平面 ， ,D.四边形 是正方形， .以 为原点,
19、分别以直线 ,P为 x轴, y轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设 1EA，2ADPE,(0,)， (0)， (2,0)， (,2)C， (2,0)B，1，(2,)PB， (,)P.F， G， H分别为 B， E， C的中点，(1,)， 1(,)， (0,)，02， 2，设 11(,)nxyz为平面 FG的一个法向量，则 10nGFHA,即 102xz，令 1y，得 1(0,)n. 设 22(,)ny为平面 PBC的一个法向量,则 10nGFHA,即 220xz，令 21z，得 2(0,). 所以 1212cos,nA. 所以平面 FGH与平面 PBC所成锐二面角的大小为 4（或 5）
20、【思路点拨】利用线线垂直证明线面垂直，利用空间向量求出法向量求出二面角的大小。【题文】20 （本小题满分 12 分）已知直线 与椭圆 相交于 、 两1yx12byax0aAB点 （1）若椭圆的离心率为 ，焦距为 ，求线段 的长；32AB（2）若向量 与向量 互相垂直（其中 为坐标原点） ，当椭圆的离心率 时，求椭圆长OABO2,1e轴长的最大值【知识点】椭圆及其几何性质 H5【答案】 （1） （2）8356【解析】 ，2 c=2，即 则e3a22cab椭圆的方程为 ， 13yx将 1y代入消去 得： 03652x设 ),(),(2yxBA 22111834()5x（2）设 ),(),(21yx
21、，即 0OBA021yx由21xyab，消去 y得： 0)1()( 22 baxba由 ，整理得： 014)( 222 2又 ，221bax21)(bax1)()(1121 xy由 ，得：021yx 01)(212xx，整理得： )(22ba 022babce代入上式得： ，221e)1(22e431,241,212ee，条件适合 ，67,37,34 2a12ba由此得： ，故长轴长的最大值为 ,26a 6【思路点拨】利用弦长公式求出长度，根据直线和椭圆的位置关系求出最大值。【题文】21已知函数 .21()lnfxx（1）求函数 在 上的最大值、最小值；()f,e（2）当 ，比较 与 的大小；
22、,x()fx3gx（3）求证： .()2()nnf N【知识点】导数的应用 B12【答案】 （1）大 ，小 （2） （3）略21e()fxg【解析】 （1） 在 上是增函数，()0fx(0,)， min1()2fxf2max()fe（2）令 ()Ffxg，231l2321()1)()xxx 当 时， ；当 ；0()0Fx1,()0F在 上是增函数，在 是减函数；()x,1极大值为 是大值，()max2()3当 时， ，即 . ,0()fg（3） ，1()()fxx1(nnx1()nnfx令 121()()nnnnnSfxfCxCx将上式倒序相加 (2)(4)2nnn 12nC 1n12(2)4
23、()1()(2)n nCxxx 1012n nn nSCC 【思路点拨】求出导数利用单调性求出，根据倒序相加证明。请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。【题文】22 （本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲已知在 中， 是 上一点， 的外接圆交 于 ，ABCDACDBE2ABE（1）求证： ；2（2）若 平分 ，且 ，求 的长.2,1E【知识点】选修 4-1 几何证明选讲 N1【答案】 （1）略（2）1【解析】 （1）连接 DE，四边形 ACD是圆的内接四边形， ，又 ，BCAB ， ，又 ， 22（2）由（1） ，知 ，E
24、EAC又 ， CD， AB ， 1，而 是 的平分线 1DA，B设 ，根据割线定理得Dx即 ，解得 ，即 ()()2x1x【思路点拨】利用相似比例关系证明，再根据割线定理得【题文】23 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 ： （ 为参数） ， ： （ 为参数） 1C4cos3inxty2C8cos3inxy（1）化 ， 的方程为普通方程；12（2）若 上的点 对应的参数为 ， 为 上的动点，求 中点 到直线P2tQ2PQM（ 为参数）距离的最小值3:xtCy【知识点】选修 4-4 参数与参数方程 N3【答案】 （1） 22:(4)(3)1xy， 2:1649xyC（
25、2） 85【解析】 （1） 22:(4)(3)1Cxy， 2:1649xyC（2）当 时， ，故 ，t,8cos,in)PQ3(cos,2in)M为直线 ， 到 的距离 ，370xyM35|4i1|d从而当 时， 取得最小值 4cos,in58【思路点拨】先将参数方程转换成普通方程再利用距离公式求出最小值。【题文】24 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 52)(xxf（1）若关于 的不等式 有解，求 的最大值； ()fk（2）求不等式: 的解集182xxf【知识点】选修 4-5 不等式选讲 N4【答案】 （1）3（2） 635【解析】 （1）-2()75xfx当 ，所以 ，2532时 ， 3)(xf()kfx， k， max3 （2）由（1）可知，当 的解集为空集；158)(,2f时当 时， 的解集为： ；5xx53x当 时， 的解集为： ；)(2f 65x综上，不等式 的解集为： ； 158x【思路点拨】分段函数求出最值，根据范围求出解集。
