1、2016 届宁夏银川一中高三上学期第三次月考数学（文）试题及解析一、选择题（题型注释）1不等式（1+x） （1-x）0 的解集是 （ ）A 1xBC x或D 1且答案：A试题分析：原不等式可化为 ，所以 ，故选 A(1)0x1x考点：解一元二次不等式2等差数列 中， ， ，则此数列前 20 项和等na24321a7820198a于 （ ）A160 B180 C200 D220答案：B试题分析：由等差数列的性质知 1201931812318920( )aaaa，所以 ，故选 B(478)3020)S考点：等差数列的性质，等差数列的前 项和n3已知向量 ， , 则“ ”是“ 与 夹角为锐角”的 （
2、 (1,)ax1bxab）A必要而不充分条件 B充分而不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：A试题分析： 夹角为锐角 ， ，当 时，,ab2(1)abxx05x， “ ”是“ 与 夹角为锐角”的必要不充分条件，故选 A/0x考点：向量的数量积与夹角4对一切实数 x，不等式 恒成立，则实数 a 的取值范围是 （ 210ax）A （- ，-2） B-2，+ ） C-2,2 D0，+）答案：B试卷第 2 页，总 15 页试题分析：对一切实数 x，不等式 恒成立，等价于对任意实数 ，210ax0t恒成立，因此有 或 ，解得 ，2()10ftat()f240a2a故选 B考点：不等式恒成
3、立，二次函数的性质【名师点晴】本题考查不等式恒成立问题，由于题中含有绝对值符号，因此解题的关键是换元思想，设 ，这样原来对一切实数 恒成立，转化为对所有非负实数 ，txxt不等式 恒成立，也即二次函数 在区间 上的最小210ta2()1ftat0,)值大于或等于 0，最终问题又转化为讨论二次函数在给定区间的最值问题，解题中始终贯彻了转化与化归的数学思想5命题 ，若 是真命题，则实数 的取值范围是 （ 2:,10pxRaxp）A B C D(0,4,4,4,04,答案：D试题分析：若 是真命题，即 ，当 时显然满足题意，p2,1xRaxa当 时，不满足题意，当 时， ，解得 ，综上有0a0404
4、或，故选 D4或考点：二次函数的性质，一元二次不等式问题6设点 是函数 与 的图象的一个交点，则P0,xytanyx0yx的值为 （ ）201cosA2 B2+ C2+ D因为 不唯一，故不230x确定答案：A试题分析：由题意 ，所以0tanx2220000(1)cos)(tan1)cosxxx，故选 A220(sincos)x考点：同角三角函数的关系7已知 x、y 为正实数，且 x，a 1，a 2，y 成等差数列，x，b 1，b 2，y 成等比数列，则的取值范围是 （ ）21)(baAR B C D4,0,4,40,答案：C试题分析：由已知 ， ，所以12axy12bx221()()axyb
5、，当且仅当 时取等号，故选 C4xy y考点：等差数列与等比数列的性质，基本不等式8若向量 则 与 一定满足(cos,in)(cos,in),ababA 与 的夹角等于bB ()()C aD b答案：B试题分析：设 夹角为 ，则,a， ，coscossincos()b2()kkZ，A 错； ，所以 ，B 正确；2()0aab()()ab，不一定等于 0，C 错， ，不cosinscosin()cos()ab一定为 0，D 错，故选 B考点：向量的垂直9已知数列 的通项公式为 = ，其中 a、b、c 均为正数，那么 与nanabn的大小是 （ ）1nA B C = D与 n 的取值有关n1n1答
6、案：B试题分析： ，所以1()nabc0()(acb，故选 B1na考点：比较大小，数列的单调性10已知圆 C 的半径为 2，圆心在 轴的正半轴上，直线 与圆 C 相切，x043yx则圆 C 的方程为 （ ）A 042xy试卷第 4 页，总 15 页B 0322xyC 4D 2xy答案：C试题分析：设圆心为 （ ） ，由题意 ， 或 （舍(,0)Ca2345a27a去） ，所以圆 的方程为 ，即 ，故选 C2xy0xy考点：圆的方程11某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 在下图中纵轴表示该同学离学校的距离，横
7、轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是 （ ）dtOA 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j dtOB 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j dtOC 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j dtOD 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案：B试题分析：首先一开始离学校最远，故 C、D 错误，开始是跑，因此在较短时间内离学校的距离减少得较快，而后来是走步，因此离学校的距离减少得较慢，故选 B考点：函数图象【名师点晴】本题考查函数的图象，实质是一个函数应用题，要求学生通过分析找到变量之间的关系，而这些常常都是现实生活中存在的
8、关系，本题离家去学校，随着时间的增加，离学校距离越来越小，开始时跑步速度快，说明变化快，后来走步，速度慢，变化慢，反应在图象上，就是开始直线的斜率大，后来直线的斜率小12函数 的所有零点之和等于 （ ）xxfsin21A4 B5 C6 D7答案：B试题分析：函数 的零点可以看作是函数 与直线()sifxx()2singx的交点的横坐标，由于直线 过点 ，而 也关于1yx1y(,0)点 对称，因此函数 与直线 的交点一定关于点 对(,0)()2singxx(1,0)称作出它们的图象，如图，当 时， ，当 时，2y3，因此它们交点在 上， ， 时，12yx1.31()gx， ，且当 时， ，因此函
9、数35()2g5x2y与直线 在 上有两个交点，在 上有两个交点，又()singxyx,0,3也是它们的交点，所以所求零点之和为 ，故选 B1x215考点：函数的零点【名师点晴】本题考查函数的零点问题，解题的关键是把函数零点转化为函数图象的交点，从而利用函数图象的对称性，把零点两两配对，它们的和为 2，再根据图象（函数的周期性与单调性）确定出在给定区间内零点的个数，不要忘记对称点也可能是函数的一个零点，最终可求得结论二、填空题（题型注释）13已知 x、 y满足约束条件 21yx，则目标函数 的最大值为 yxz2答案：10试题分析：作出约束条件表示的可行域，如图 内部（含边界） ，作直线ABC，
10、把直线 向上平移时 增大，即 过点 时， 取最大值:0laxbylzl(3,4)z2341z考点：简单和线性规划问题14直线 ax-y10 与连结 A（2,3） ，B（3,2）的线段相交，则 a 的取值范围是 答案： ,3试题分析：直线 的斜率为 过定点 ， 两点在直线 的同10axy,a(0,1)P,AB0x试卷第 6 页，总 15 页一侧， ， ，所以 3120PAk2130PBk13a考点：两直线相交，直线的斜率15过点 的直线 与圆 交于 、 两点， 为圆心，( )M，l22:()(4)5CxyABC当 最小时，直线 的方程是 CB答案： 30xy试题分析：由已知点 在圆内， ，因此要
11、使 最12sinABCrACB小，则 取最小值，又 过点 ，因此 为 中点，即 ，ABABMM，所以 ， 方程为 ，即 4213CMk1lkl2(1)yx30y考点：直线与圆的位置关系【名师点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交问题中最重要的是垂径定理，即圆心到弦的距离，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，通过这个直角三角形可求出弦所对的圆心角，由直角三角形知圆心角的大小与弦长有关，弦长越长，所对圆心角越大，弦长越小，所对圆心角越小16已知 分别是函数 + +1 的最大值、最小值，则m、 bxaf5sinM答案：2试题分析： ，设 ，显然 是奇函5()sin1fxabx5()singx
12、abx()g数，设其最大值为 ，则其最小值为 ，所以 ， ，从而AA1M1mAm考点：函数有奇偶性与最值【名师点晴】本题考查函数的最值，求函数的最值一般方法有：一是利用函数的单调性，如二次函数，指、对数函数，三角函数等，二是利用不等式的性质，三是利用导数确定函数的单调性，确定最值而本题的关键是构造奇函数，利用奇函数的的最大最小值互为相反数，从而求得题中函数的最大与最小值之和三、解答题（题型注释）17 （本小题满分 12 分）已知函数 231()sincos,()2fxxxR（1）当 时，求函数 的最小值和最大值；5,12x()f（2）设 的内角 的对应边分别为 ，且 ，若向量ABC, ,abc
13、3,()0fC与向量 共线，求 的值(,sin)m(sin)B答案：（1）最小值是 ，最大值是 0；（2） 1232,1ba试题分析：（1）求三角函数的最值，一般是把函数化为一个三角函数的形式，即化为的形式，由二倍角公式及两角差的正弦公式有()sin()fxAxk，由正弦函数的性质可得结论；31cos2i in()26xf x1（2）把已知条件变形，由（1）有 可得 ，两向量共si20fC3C线有 ，这个结论结合正弦定理得 ，最后应用余弦定理可求得siniBAba的值,ab试题解析：（1） ，1)62sin(1co2sin3)(2xxxf因为 ，所以5,21x3,所以 函数 的最小值是 ， 的
14、最大值,36sinxf 123xf是 0（2）由 解得 C= ，又 与向量 共线Cf3(1,sin)mA(,sin)BabAB2,sini由余弦定理得 cos解方程组 得 ,1考点：二倍角公式与两角和与差的正弦公式，正弦定理与余弦定理，向量共线【名师点晴】本题考查三角函数的性质，平行向量的坐标运算、正弦定理、余弦定理，属于基础题三角函数的性质由函数的解析式确定，在函数解析式较为复杂时要注意使用三角恒等变换公式把函数解析式化为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦（余弦）函数的性质求解18 （本小题满分 12 分）设数列 的各项均为正数，它的前 项的和为 ，点nannS在函数 的图像上；数列 满
15、足(,)naS218yxnb其中 11()nnbabN（1）求数列 和 的通项公式；（2）设 ，求证：数列 的前 项的和 （ ） ncbnc59nTN答案：（1） ， ；（2）证明见解析42na1()4nb试题分析：（1）由已知得 ，这是 与 的关系，求通项的方8nSanSa试卷第 8 页，总 15 页法是利用 把此关系式转化为 与 的关系，从而求得通项，数列1nnaSna1的关系式实质上是 ，是一个等比数列；（2）由（1）知nb14nnb，它是一个等差数列与等比数列相乘构成的新数列，其前 项1(2)4nac n和用错位相减法可求和 ，可证得结论nT试题解析：（1）由已知条件得 ， 2118n
16、nSa当 时， ， 2n21118nnSa得： ，即 ，1()()n111()()4nnnaa数列 的各项均为正数， （ ） ，na14na2又 ， ； ，12421,()nnbab ， ；11,nb()nn（2） ，1(2)4nnac ，21135(3)()4nnnT，244543(2)4n两式相减得 ，2155()(2)3nnn 59nT考点：等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法19 （本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，点 ，直线 ,xOy(0,3)A:24lyx设圆 的半径为 1，圆心在 上Cl（1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程；1yxC（2）若圆
17、 上存在点 ，使 ，求圆心 的横坐标 的取值范围M2Aa答案：（1） 或者 ；（2） 30451,试题分析：（1）求圆的切线方程，首先要求出圆的方程，本题已知圆的半径为 1，因此要求出圆心坐标，由已知把两直线方程联立方程组可解得圆心坐标，得圆方程，由此可知过点 的切线斜率一定存在，故可设其方程为 ，由圆心到切线距离A3ykx等于圆的半径可求得 值；（2）平面上满足 的点 的轨迹是圆k2MAO，因此题设就变为圆 与圆 有公共点，由两圆位4)1(22yx C4)1(置关系可得圆心 的横坐标 的取值范围Ca试题解析：（1）由 得圆心 C 为（3,2） ，圆 的半径为14xy圆 的方程为： （1 分）
18、)2()3(2显然切线的斜率一定存在，设所求圆 C 的切线方程为 ，即3kxy03y 或者123k132k0)4( 4k所求圆 C 的切线方程为： 或者 即 或者y3xy（3 分）01243yx（2）解：圆 的圆心在在直线 上，所以，设圆心 C 为（a,2a-4）42:xyl则圆 的方程为： （2 分）C1)()(2ax又 设 M 为（x,y）则 整理得：OA 23(yxyx设为圆 D（3 分）4)1(22yx点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即圆 C 和圆 D 有交点 （2 分）1)(22 a解得， 的取值范围为： （1 分）5,0考点：直线和圆的位置关系，圆与圆的位置关系20 （本
19、小题满分 12 分）已知圆 C 过点 P（1，1） ，且与圆 M：关于直线 对称。022ryx 02yx（1）求圆 C 的方程：（2）设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 最小值；Q答案：（1） ；（2）42xy试题分析：（1）由题意圆心 与圆心 关于直线 对称；（2）设M0xy，由（1）有 ， ，可设(,)Qxy2xy24PQxy 试卷第 10 页，总 15 页，代入可求得 的最小值；2cos,2sinxyPQM试题解析：（1）设圆心 C（a,b） ，则 解得 a=0 b=0120ab所以圆 C 的方程为 ， 将点 P 的坐标代人得 ， 所以圆 C 的方程为22xyr2r2xy（2）设 Q（x
20、,y） ，则 2xy所以 42PMxy所以 的最小值为 -4 （可由线性规划或三角代换求得）考点：圆的方程，向量的数量积，圆的参数方程21 （本小题满分 12 分）已知函数 2()ln(,)fxabxaR（）设 0a，求 )(xf的单调区间；（） 设 ，且对于任意 0， ()1fx试比较 l与 2b的大小答案：（）当 ， b时，函数 的单调递减区间是 ,0，当 0a，0b时，函数 xf的单调递减区间是 (0,)b，单调递增区间是 ,1b，当 时，函数 f的单调递减区间是 a48,2，单调递增区间是,482ab；（） bln试题分析：（）函数定义域为 (0,)，求出导函数21()axbf，由于0
21、a，分两种情况， a和 ， a时， f，当 0时，()fx恒成立，当 0b时， ()0fx的解为 1xb，可得单调区间，当 a时，有两根，可得 f（或 ）的解集，即单调区间；（）由已知得(1)f是 x的极小值，由（1）得 1482ab，即 a2，因此问题为比较 lna与 42的大小，为此研究函数 ()ln42gx，通过导数得 ()gx绵最大值为 1()g且 0，因此得 la试题解析：（）由 ,0,ln2xbxf ，得 xbaf12（1）当 0a时， f1若 b，当 x时， 0x恒成立，所以函数 xf的单调递减区间是 ,0若 ，当 b时， f，函数 的单调递减，当 bx1时， xf，函数 x的单
22、调递增，所以函数 f的单调递减区间是 b1,0，单调递增区间是 ,1b（2）当 0a时， xf， 得 02xa，由 82b得 a48,48221 显然，0,21x当 时， xf，函数 xf的单调递减，当 2x时， ，函数 的单调递增，所以函数 f的单调递减区间是 ab48,02，单调递增区间是,482ab，综上所述当 0， 时，函数 xf的单调递减区间是 ,0当 a， b时，函数 f的单调递减区间是 b1,，单调递增区间是 ,1b当 0时，函数 xf的单调递减区间是 a48,02，单调递增区间是,482ab试卷第 12 页，总 15 页（） 由 0a，且对于任意 0x， ()1fx，则函数 x
23、f在 1处取得最小值，由（）知， ab482是 f的唯一的极小值点，故 12b，整理得 1ba即 a2令 xxgln4， 则 xg4令 ,0得 ，当 41x时， ,0xg单调递增；当 41时， ,0xg单调递减因此 04ln1l，故 a，即2ln2aba，即 考点：导数与函数的单调性、极值，比较大小【名师点晴】本题主要考查导数与函数单调性、函数的极值，比较大小等基础知识，属于难题，解答此题关键在于第（）问要准确求出 fx的导数后，要对其中的参数进行分类讨论，首先对 2x的系数 a分 0和 两类，在 0a时，对 b的正负也要分类，当 0a时，由于 ()f有两不等实根，故不需要再对 分类了，第（）
24、小题一是由已知得 1是 x的极小值，二是比较大小是通过构造新函数xxgln42，研究 ()g的单调性来确定两数的大小关系22 （本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲如图，正方形 边长为 2，以 为圆心、 为半径的圆弧与以 为直径的半圆ABCDDABC交于点 ，连结 并延长交 于点 OFABEEFOB CA D（1）求证： ；AEB（2）求 的值F答案：（1）证明见解析；（2） 45试题分析：（1）要证明两线段相等，这里两线段不在两个全等三角形中，但由于是两圆的切线，而 是两圆的割线，由切割线定理可得 ，ABEFC22EAFCEB得证；（2）要求 ，仔细观察图形会发现有 ，因此 ， B
25、F是直角三角形斜边上的高，由直角三角形的性质可求F试题解析：（1）由以 D 为圆心 DA 为半径作圆，而 ABCD 为正方形，EA 为圆 D 的切线依据切割线定理得 2EAFC另外圆 O 以 BC 为直径，EB 是圆 O 的切线，同样依据切割线定理得 BE故 AB（2）连结 ，BC 为圆 O 直径， FEC在 RTEBC 中，有 =FE又在 中，由射影定理得RtB2EFC2145EFOB CA D考点：切割线定理，直角三角形中的射影定理23 （本小题满分 10 分）选修 44：极坐标与参数方程在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） 再以原点为极点，xoyl 214xty以 正半轴为
26、极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系 有相同的长度单位在该x xoy极坐标系中圆 的方程为 C4sin（1）求圆 的直角坐标方程；（2）设圆 与直线 交于点 、 ，若点 的坐标为 ，求 的值lABM2,1MAB答案：（1） ；（2） 24xy3试题分析：（1）利用公式 可化圆 的极坐标方程为直角坐标方程；2sinxyC（2）把直线参数方程化为普通方程，代入圆的方程可求出 两点坐标，然后求得,AB试卷第 14 页，总 15 页，这种方法计算量较大，也可利用参数方程中参数的几何意义，由于点MAB就在直线 上，可把直线化为以点 为基点的标准参数方程 ，这样l M21xty直线上点 的参数 的几何意
27、义为 把此参数方程代入圆方程得()PttPt， ，于是有 ，易123t12t120,t得 MAB3试题解析：（1）由极坐标与直角坐标互化公式得圆的直角坐标方程式为 224xy（2）直线 的普通方程为 ，点 在直线上l 3M的标准参数方程为l21xty代入圆方程得： 230tt设 、 对应的参数分别为 、 ，则 ，AB12t123t12t于是 = M12t3考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程的应用24 （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知 324fxx（1）关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围；2faa（2）设 ，且 ，求证： ,Rmn1n12mnfx答案：（
28、1） ；（2）证明见解析1试题分析：（1）不等式 恒成立，不等式或两个字母 与 是分离的，因2fxaa此有 小于或等于 最小值，由绝对值的几何意义可求得 的最小值（2a() ()fx表示数轴上的点 与点 和点 的距离之和，最小值为 2） ，解不()fx2Px3()4A5()B等式 即得 的取值范围；（2）问题实质上就是证明不等式2a，观察已知发现当 时，等号成立，由此我们凑出1mn 12mn基本不等式，即，结论得2123211 342mnmnmn证试题解析：（1）依据绝对值的几何意义可知函数 表示数轴上5fxx点 P（ ）到点 A（ ）和 B（ ）两点的距离，其最小值为2x345min2f不等式恒成立只需 ，解得2a12a（2） 只需证明： 成立即可minf1mn； 1312232n于是 34nn 21m故要证明的不等式成立考点：不等式恒成立问题，不等式的证明
