1、第四章 常微分方程与数学模型微积分最主要的应用可能就是微分方程了，在物理学、力学、工程技术、经济学和管理科学等实际问题中具有广泛的应用。一、什么是微分方程例 1：含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，例如 ，其中()dyux为未知函数， 为已知函数。满足上述方程的函数 称为微分方程的()yfx()ux f解。求下列微分方程满足所给条件的解：（1） ， ；2()d0xy（2） ， ， 。23xt1t1t二、分离变量法例 2：求微分方程 的通解。yx解： 变形为： ， 分离变量： （此时漏掉解 ） ，d1dyx0y两边同时积分： ， 得： ，1yx 21lnC，221xCxe从而 ，其中 ，
2、为任意非零常数，221xCy12Ce但 亦是方程的解，统一起来，方程的通解为：0， 为任意常数。21xyCe上述求解过程比较繁琐，由于经常出现，为方便计，从分离变量后开始将求解过程简写为：两边同时积分： ， 得： ，1dyx 21lnlyxC从而 2211lnxxCe这个过程严格说是有问题的，但比较简洁，又能得到正确的结果，所以常被采用。例 3：(1)牛顿冷却定律指出：如果物体和周围环境之间的温度相差不是很大的话，物体冷却速度与温差成正比（同样可用于加热的情况） 。命 表示在时刻 t 物体的温度， 表()Tt cT示周围环境的温度（假定是常数） ，建立微分方程并求解，得出 的变化规律。()(2
3、)清晨，警察局接到报案，街头发现一具死尸，6:30 时测量体温为 18，7:30 时再测一次为 16，室外温度为 10（假定不变） ，人正常体温为 37，请估计被害人何时死亡？（死亡时刻记为 ，则 ，时刻 6:30 计算时看成 ）0t0()37Tt6.5例 4：人口预测记时刻 的人口为 ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时， 是一个很大t()Pt ()Pt的整数，为了利用微积分这一数学工具，将 视为连续、可微函数记初始时刻()Pt的人口为 ，假设人口增长的速度（即增长率）与 时刻的人口数量 成正比，(0)t0 t()t利用下表中数据为 20 世纪世界人口建模，增长率是多少，建立的模型与数据相
4、符合吗？年 1900 1910 1920 1930 1940 1950人口(百万) 1650 1750 1860 2070 2300 2560年 1960 1970 1980 1990 2000人口(百万) 3040 3710 4450 5280 6080解：设比例系数为 （即增长率） ，则 满足的微分方程为：()Pt. 0,dt解出 ， 0()te表明人口将按指数规律随时间无限增长( )上式称为人口指数增长模型，也称为马0尔萨斯人口模型以 1900 年为初始时刻， ，得 ，0()=165P()1650tPte以 1910 年数据估计 ，即 ，解 ，07e1750ln.846即增长率约为 ，增
5、长模型为0.6%0.584()16tPt0 20 40 60 80 10015002000250030003500400045005000550060006500若以 1950 年为初始时刻，为 20 世纪后 50 年建模，则 ，得 ，0=25P()256tte以 1960 年数据估计 ，即 ，解10()25634Pe，1304ln.1785256即增长率约为 ，增长模型为%0.1785()tte0 10 20 30 40 50250030003500400045005000550060006500但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过
6、程，这是因为人口增长率事实上是不断地变化着.排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，其增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小看来，为了使人口预测特别是长期预测能更好地符合实际情况，必须修改人口指数增长模型中关于人口增长率是常数这个基本假设2人口阻滞增长模型（Logistic 模型）分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大所谓人口阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对人口指数增长模型的基本假设进行修改后得到的阻滞作用体现在对人口增长率 的影响上，使得
7、随着人口数量 的增加而下降。若P将 表示为 P 的函数 ，对 的一个最简单的假设是()()P1)K为承载能力（指自然资源和环境长期能支持的最大种群数量） ，当 较小时，K P，即人口近似按指数增长，当 增大时，增长率 开始减小，当 时()PP()K开始负增长。相应的微分方程为：. 0(1),(dPPtK称为人口阻滞增长模型，也称为 Logistic 模型.可用分离变量法解方程得.00()=(1)1)ttePtKPe的增加是先快后慢.当 时， ，拐点在 处.Pt2上面的曲线称为 Logistic 曲线，逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐
8、地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性.除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.作业： 1. 解微分方程：先求出通解，再解出满足
9、初始条件的特解(1) ， ；(2) ， .2(1)xy(0)22cos1dyx(0)1y2. 细菌数量的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长为 400，那么，经过 12h 后细菌总数是多少？3. 从冰箱中取出一杯 5的饮料，放到室温为 20的房间里，25 分钟后饮料温度升高到10，则 50 分钟后饮料温度为多少，需要多长时间饮料温度升高到 15？4. 设子弹以 200m/s 的速度射入厚 0.1m 的木板，受到的阻力大小与子弹的速度平方成正比，如果子弹穿出木板时的速度为 80m/s，求子弹穿过木板的时间（在木板中子弹受力随时间变化，因而不是匀加速运动，不能用中学的知识求解） 。
