1、第二章、一阶微分方程的初等解法教学目标1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。教学重难点 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 教学方法 讲授，实践。教学时间 14 学时教学内容 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。考核
2、目标 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。2.会建立一阶微分方程并能求解。1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程1) 变量分离方程形如(或 ) （2.1）()dyfxg12)()0MxNydxyd的方程，称为变量分离方程，其中函数 和 分别是 的连续函数.fg,2) 求解方法如果 ，方程(2.1)可化为，()0gy()dyfxg这样变量就分离开了,两边积分,得到（2.2）()()dyfxcg把 分别理解为 的某一个原函数.,()dyfxg1,()fy容易验证由（2.2）所确定的隐函数 满足方程（2.1）.因而（
3、2.2）是,xc（2.1）的通解 .如果存在 使 ，可知 也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通0y()g0y解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例 1 求解方程 dyx解 将变量分离，得到ydx两边积分，即得2yxc因而，通解为这里的 是任意的正常数.2xycc或解出显式形式 2ycx例 2 解方程2cosdyx并求满足初始条件：当 时. 的特解.01解 将变量分离，得到2cosdyx两边积分，即得1sinxcy因而，通解为1sinyxc这里的 是任意的常数.此外，方程还有解 .c 0y为确定所求的特解，以 . 代入通解中确定常数 ，得到 01c1因而，所求的特解为1sinyx例 3
4、 求方程（2.3）()dyPx的通解，其中 是 的连续函数.解 将变量分离，得到()dyPx两边积分，即得ln()yxdc这里的 是任意常数.由对数的定义，即有c()Pxdcye即()PxdcyeA令 ，得到ce（2.4 ）()Pxdyce此外， 也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许 ，则 也就包括在0 0cy（2.4）中，因而，（2.3 ）的通解为（2.4 ），其中 是任意常数 .注: 1.常数 的选取保证(2.2)式有意义.c2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上.3.微
5、分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件 的0()yx一个解，表示的是一条过点 的曲线.0(,)xy2、可化为变量分离方程的类型1） .形如（2.5）dygx的方程，称为齐次方程，这里的 是 的连续函数.()gu另外,)对于方程 ,()dyMxN其中函数 和 都是 和 的 次齐次函数，即对 有(,)Mxy(,)m0t(,)txytxy(,)(,)mtNxy事实上，取 ，则方程可改写成形如(2.5)的方程.1t(1,)(,)myxMdyxN)对方程 (,)fxyd其中右端函数 是 和 的零次齐次函数，即对 有(,)fxy 0t(,)(,)ftxyf则方程也可改写成形如(2.5)的
6、方程(1,)dyfx对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解.令 （2.6 ）yux即 ，于是yx（2.7）dyxu将（2.6）、（2.7 ）代入（2.5 ），则原方程变为()dxug整理后，得到（2.8）()dx方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例 4 求解方程 dytgx解 这是齐次方程，以 代入，则原方程变为,dyuxduxtg即（2.9）dutx分离变量，即有dxctgu两边积分，得到lnsiluxc这里的 是任意的常数，整理后，得到c（2.10）sinucx此外，方程（2.9）还有解 ,
7、即 . 如果（ 2.10）中允许 ，则0tgsinu0c就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.sin0u代回原来的变量，得到原方程的通解为sinycx例 5 求解方程 2(0).dx解 将方程改写为2(0)dyxx这是齐次方程，以 代入，则原方程变为,du（2.11）2dux分离变量，得到2dux两边积分，得到（2.11）的通解ln()uxc即(2.12)2l()(l)0xcxc这里的 是任意常数.此外，（2.11）还有解c u注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解及解 .2ln()(ln)0yxcxcy原方程的通解还可表为2ln
8、(),ln()0,0,xcxcy它定义于整个负半轴上.注：1 .对于齐次方程 的求解方法关键的一步是令 后，解出dygx yux，再对两边求关于 的导数得 ，再将其代入齐次方程使方程变为yux dux关于 的可分离方程.,2.齐次方程也可以通过变换 而化为变量分离方程 .这时 ，再对两边vyxvy求关于 的导数得 ，将其代入齐次方程 使方程变为 的可ydxydxfy,分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，dygx一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如（2.13）1122axbycd的方程经变量
9、变换化为变量分离方程，这里的 均为常数.1212,abc分三种情况来讨论（1 ） 情形.20c这时方程（2.13）属齐次方程，有12axbydgx此时，令 ，即可化为变量可分离方程.yux（2 ） ，即 的情形.120ab12ab设 ，则方程可写成12abk2122()()xycdyfaxby令 ，则方程化为2axbu2()dabfux这是一变量分离方程.（3 ） 不全为零的情形.11220,cab及这时方程（2.13）右端的分子、分母都是 的一次式，因此,xy（2.14）11220xycab代表 平面上两条相交的直线，设交点为 .xy (,)显然， 或 ，否则必有 ，这正是情形（1）（只需进
10、行坐标平0120c移，将坐标原点 移至 就行了，若令(,)(,)（2.15）XxYy则（2.14）化为120abXy从而（2.13）变为（2.16）12abYdgX因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14），设其解为 ；,xy(2)作变换（ 2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；(3)再经变换 将（2.16）化为变量分离方程；YuX(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型1122axbycdyf此外，诸如()dyfaxbc)0gyd2()xf2dyf以及(,)(,)0Mx
11、ydNxydx（其中 为 的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例 6 求解方程（2.17）13dyx解 解方程组 得0yx1,2.xy令 12XyY代入方程（2.17），则有（2.18）dXY再令即 YuXu则（2.18）化为21ddu两边积分，得22lnl1Xuc因此 2()ce记 并代回原变量，就得1,ce221YXc21()()()yxyx此外，易验证 210u即22YX也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为226yxyxc其中 为任意的常数.c3、 应用举例例 7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的 电路，开始时电容 上
12、没有RCC电荷，电容两端的电压为零.把开关 合上“1”后，电池 就对电容 充电，电容KE两端的电压 逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关 合上“2”，CCu K这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容 两端的电压 随时Cu间 的变化规律. t解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理，（2.19）cuRIE对于电容 充电时，电容上的电量 逐渐增多，根据 ，得到CQCu（2.20）()CdudQItt将（2.20）代入（2.19），得到 满足的微分方程c（2.21）cduRCEt这里 、 、 都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程. 将（2.21）分离变量，得
13、到CdutER两边积分，得到1lnCutc即112ttcRCCuEe这里 为任意常数.12ce将初始条件： 时， 代入，得到 .0tC2cE所以 （2.22）1()tRuEe这就是 电路充电过程中电容 两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压R从零开始逐渐增大，且当 时， ，在电工学中，通常称 为时CutCuERC间常数，当 时， ，就是说，经过 的时间后，电容 上的电压已达3t0.95Cu3到外加电压的 95%.实用上，通常认为这时电容 的充电过程已基本结束.易见充电结果 .CE对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例 8 探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射
14、出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解 取光源所在处为坐标原点，而 轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线x（2.23）()0yfz绕 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求 平面上的曲线 的问题,仅考x xy()yfx虑 的部分,过曲线 上任一点 作切线 ，则由光的反射定律：入0y()yfx(,)MNT射角等于反射角，容易推知12从而 ON注意到2dyMPtgx及 ,OPx就得到函数 所应满足的微分方程式()yf（2.24）2dyx这是齐次方程.由 2.12 知引入新变量 可将它化为变量分离方程. 再经直接积分即xuy可求得方程的解.对于方齐次方程（2.2
15、4）也可以通过变换 而化为变量分离方程也可由xvy得 代入（2.24）得到xyvdvy2sgn1yv于是（2.25）2sgn1dydv积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得（2.26）2()ycx其中 为任意常数. c（2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面（2.27）2(2)yzcx小结: 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题. 将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论.2 线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程()()0dyaxbcx在 的区间上可以写成()0ax（2.28）()dyPxQ对于 有零点的情形分
16、别在 的相应区间上讨论.这里假设 在考虑()ax0a(),PxQ的区间上是 的连续函数.若 ，（2.28）变为()0Q（2.3）()dyPx称为一阶齐线性方程.若 ，（2.28）称为一阶非齐线性方程.()0Qx2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例 3 中求得它的通解为（2.4 ）()Pxdyce这里 是任意的常数.c下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法.方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中 恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, 不再c c是常数,将是 的待定函数 ,为此令
17、x()cx（2.29）()Pdxye两边微分，得到（2.30）() ()PxdPxddcecex将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到() () ()PxdPxdPxdcececeQ即()()PxddcxQe积分后得到（2.31）()()Pxdcxec这里 是任意的常数将（2.31）代入（2.29），得到c（2.32）()()()()() =PxdPxdxdyeQecc这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28 ）化为变量分离方程.注: 非齐线性方程的通解是它对应的
18、齐线性方程的通解与它的某个特解之和.例 1 求方程 的通解，这里的 为常数.1(1)()xndyxen解 将方程改写为（2.33）(1)xnynedx先求对应的齐次方程01dynx的通解，得()nyc令 （2.34）1x微分之，得到（2.35）()()ndycxcx以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得()xce将其代入公式（2.34），即得原方程的通解(1)nxyec这里 是任意的常数.c例 2 求方程 的通解.2dxy解 原方程改写为（2.36）dxy把 看作未知函数， 看作自变量，这样，对于 及 来说，方程（2.36）就是一个xyxdy线性方程了.先求齐线性方程2dxy
19、的通解为（2.37）2xc令 ,于是2()xcy2()()dxcyy代入（2.36），得到()lncyc从而，原方程的通解为2(l)xyc这里 是任意的常数,另外 也是方程的解.c0特别的，初值问题 0()dyPxQ的解为 0000()()()=xx sxPdPdPdxycee例 3 试证（1 ）一阶非齐线性方程（2.28 ）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2 ）若 是（2.3）的非零解，而 是（2.28）的解，则（2.28）()yx()yx的通解可表为 ，其中 为任意常数.cyc（3 ）方程（ 2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证 （1）设 是
20、非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使12,y12()12dypQxx（1）（2 ）有1212()()dypyx说明非齐线性方程任意两个解的差 是对应的齐次线性方程的解.12y（2 ）因为 ()()()()(dcyxdyxcpcyQxpcyx故结论成立.（3 ）因为 12121212()()(),(),()dydydcypppyxxx故结论成立.3、 Bernoulli 方程形如（ ） （2.38）()ndyPxQy0,1的方程，称为伯努利（ ）方程，这里 为 连续函数.利用变量变Berouli(),PxQ换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于 ，用 乘（2.38）两边，yn得到
21、（2.39）1()nndyPxQ引入变量变换（2.40）1nzy从而（2.41）(1)ndzdyxx将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到（2.42）(1)(1)dznPxznQxx这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当 时，方程还有解 .00y例 4 求方程 的通解26dyx解 这是 时的伯努利方程，令 ,得2n1zy2dzyx代入原方程得到6dzx这是线性方程，求得它的通解为268cxz代回原来的变量 ，得到y2618cx或者68xcy这是原方程的通解. 此外，方程还有解 .0y例 5 求方程 的解31dxy解 将方程
22、改写为3dyx这是一个自变量为 ，因变量为 的伯努利方程.解法同上 .例 6 求方程 的通解23ydex这个方程只要做一个变换，令 ，原方程改写为,yyduex2231dux便是伯努利方程.小结;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法. 其核心思想是常数变易法. 即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数 ，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，()cx求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解.3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义将一阶微分方程(,)dyfx写成微分的形式(,)0fxyd把 平等看待，对称形式的
23、一阶微分方程的一般式为,xy（2.43）(,)(,)MxyNxy假设 在某区域 内是 的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数.(,),xyNG如果存在可微函数 ,使得()uxy(2.44)(,)dxyd即 (2.45)(,) ,uMxyN则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成 ,于是(,)0duxy(,)xyC就是方程(2.43)的隐式通解,这里 是任意常数(应使函数有意义 ).2、 恰当方程的判定准则定理 1 设 在某区域 内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要(,),MxyNG条件是(2.46), (,)MNxyGy而且当(2.46)成立时
24、,相应的原函数可取为(2.47)000(,)(,)(,)xyuysdNxtd或者也可取为(2.48)00(,)(,)(,)yxuxtdMsyd其中 是任意取定的一点.0(,)xyG证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数 满足(2.45),(,)uxy又知 是连续可微的,从而有()MxyN2MuNyxyx下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数 ,使其适合方程(2.45).从(2.47)可()知(,)uNxy000(,)(,) =(,)(,)(,)yxyMtdxtMxy即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45).例 1. 解方程21()0xydy(
25、2.49)解 这里 ,则 ,所以(2.49)是恰当方程.因为 于21, =()xMyNyyxMNN处无意义,所以应分别在 和 区域上应用定理 2.3,可按任意一条途径去0y0求相应的原函数 .(,)u先选取 ,代入公式(2.47)有0(,)(1xy2201()lnxyxuddy再选取 ,代入公式(2.47)有0(,)(xy2201)()ln()xyxxuddy可见不论 和 ,都有y2ln|xuy故方程的通解为 .2l|C3、恰当方程的解法上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法.解法 1. 已经验证方程为恰当方程,从 出发,有()xuMy2(,)(,)(uxyyd(2.5
26、0)其中 为待定函数,再利用 ,有()y()yNx从而221)x1()y于是有 (ln|y只需要求出一个 ,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为()ux2ln|yC解法 2. 分项组合的方法对(2.49)式重新组合变为21()0xyddy于是 2()ln|0xdy从而得到方程的通解为 2l|C4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程（2.43）(,)(,)0MxydNxy如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数 ，使得(,)0xy(2.51)(,)(,)为一恰当方程，即存在函数 ，使vxy(,)(,)MdNdyv则称 是方程（2.43）的积分因子.此时
27、是(2.51)的通解，因而也就是(,)xy,xC（2.43）的通解.如果函数 和 都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知(,),xy()道, 为 (2.43)积分因子的充要条件是(,)xyMNyx即 (2.52)()y5、积分因子的求法方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以 为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子.定理 2 设 和 在某区域内都是连续可微的，(,)(,)MxyNxy(,)xy则方程（2.43）有形如 的积分因子的充要条件是：函数(,)（2.53）(,)(,), ,yxxyN仅是 的函数，此外，如果（2.53）仅是 的函数 ，(,)
28、xy (,)xy(,)fxy而 ，则函数 Gufd（2.54）(,)Gxye就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子 ，则由（2.52）进一步知()( )dMNNxyx即 yxdd由 可知左端是 的函数，可见右端 也是 的函数，即()yxMN，yxMNf于是，有， 从而 ()df()()fdGe反之，如果（2.53）仅是 的函数，即 ，则函数（2.54）是方程()yxMNf（2.52）的解.事实上，因为 ()()GxyyxNfeNxy因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子. 为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下：类型 条件 积分因子(
29、)x()yxMNf()fxdey()yxfy()fyd例 2. 解 22(31)()0yxdxyd解 这里 ,注意,MNyxM所以方程不是恰当的,但是 1yxN它仅是依赖与 ，因此有积分因子x1dxe给方程两边乘以因子 得到x223(3)()0yxdyxd从而可得到隐式通解 23211uxyxC例 3. 解方程 2()()0xydd解 这里 方程不是恰当的. 但是,1MNy1yxMN它有仅依赖于 的积分因子 y1dye方程两边乘以积分因子 得到 y1()()0xdy()xy11()yxMNfxy()|fudxye,yxxyf()(,)|fu从而可得到隐式通解 21ln|uxyC另外，还有特解
30、.它是用积分因子乘方程时丢失的解 .0y例 4. 解方程 23()()0xdyxd解 这里 ，不是恰当方程. 设想方程有积分因子,MyN，其中 ， 是待定实数.于是()x 211 21()()yx yxyxy 只须取 .由上述简表知原方程有积分因子3,232xy从而容易求得其通解为： 4631uxyC六、积分因子的其他求法以例 4 为例，方程的积分因子也可以这样来求：把原方程改写为如下两组和的形式： 223()()0ydxxyd前一组有积分因子 ，并且12()(ydxxy后一组有积分因子 ，并且21x232()()ydxxy设想原方程有积分因子 21()()xy其中 ， 是待定实数.容易看出只
31、须 ，上述函数确实是积分因子，其实3,2就是上面找到一个.例 5. 解方程 1212()()0MxydNxyd其中 ， ， ， 均为连续函数.12N解 这里 ， .写成微商形式就形式上方程是变量可12()xy12()xy分离方程，若有 使得 ，则 是此方程的解；若有 使得 ，00()0 0x10()N则 是此方程的解；若 ，则有积分因子0x2121()MyNx并且通解为 12()()xyudN例 6、试用积分因子法解线性方程（2.28）.解 将（2.28）改写为微分方程（2.55）()0PxyQdxy这里 ，而(),1MN()yxP则线性方程只有与 有关的积分因子()Pxde方程（2.55）两
32、边乘以 ，得()x()() ()0PxdPxdPxdeyeyQe（2.56 ）（2.56）为恰当方程，又分项分组法 ()()0PxdPxdyee因此方程的通解为()()PxdPxdyeQec即()()PxdPxdyeec与前面所求得的结果一样.注：积分因子一般不容易求得可以先从求特殊形状的积分因子开始，或者通过观察法进行“分项分组”法求得积分因子.4 一阶隐方程与参数表示1、一阶隐方程 一阶隐式微分方程的一般形式可表示为:(,)0Fxy如果能解出 ,则可化为显式形式,根据前面的知识求解. ()yfx例如方程,可化为 或2()0yxyyxy但难以从方程中解出 ,或即使解出 ,而其形式比较复杂,则
33、宜采用引进参数的方法求解.一般隐式方程分为以下四种类型:1) 2) 3) 4)(,)yfx(,)fy(,)0Fxy(,)0Fy2、求解方法）可以解出 （或） 的方程yx1) 讨论形如（2.57）(,)yfx的方程的解法，假设函数 有连续的偏导数,引进参数 ,则方程(2.57)变为yp(2.58)()fp将(2.58) 的两边对 求导数,得到x(2.59)fdppyx方程(2.59)是关于 的一阶微分方程,而且属于显式形式.x若求得(2.59)的通解形式为 ,将其代入(2.58), 于是得到(2.57)通解为()pc,yfx若求得(2.59)的通解形式为 ,于是得到(2.57)的参数形式的通解为
34、(),()pcyf其中 为参数, 是任意常数.pc若求得(2.59)的通解形式为 ,于是得到(2.57) 的参数形式的通解为(,)0xpc(,)xcyf其中 为参数, 是任意常数.pc例 1 求方程 的解3()20dxy解 令 ,于是有 (2.60)ypx3p两边对 求导数,得到232dpxp即 0当 时,上式有积分因子 ,从而0p32pdxpd由此可知42xpc得到4223cpx将其代入(2.60),即得433()cpy故参数形式的通解为234 (0) 1cxpy当 时,由(2.60)可知 也是方程的解.0p0例 2 求方程 的解.22()dyxx解 令 ,得到 (2.61) dypxp两边
35、对 求导数,得到或 2dpxp(2)10dpx由 ,解得 ,于是得到方程的通解为 10dxc22ycx(2.62)由 ,解得 ,于是得到方程的一个解为 (2.63)2p2xp24特解(2.63)与通解(2.62)中的每一条积分曲线均相切,因此称为方程的奇解.2) 讨论形如(2.64)(,)dyxf的方程的求解方法,方程(2.64)与方程(2.57)的求解方法完全类似,假定函数 有(,)fy连续偏导数. 引进参数 ,则(2.64) 变为dypx(2.65)(,)fyp将(2.65) 的两边对 求导数,得到(2.66)1fdpyx方程(2.66)是关于 的一阶微分方程,而且属于显式形式 .设其通解为(,)0ypc则(2.64)的通解为(,)0ypcxf）不显含 （或） 的方程3) 讨论形如(2.67)(,)0Fxy的方程的解法.记 ,此时 表示的是 平面上的一条曲线 ,设曲线用参数形式dypx(,)pxp表示为, (2.68) ()t()t由于 ,进而dypx()dytdt两边积分,得到()yttc于是得到方程(2.67)参数形式的解为()xtydtc是任意常数.c
