1、题目：一阶常微分方程的初等解法摘 要一阶常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学中占有重要的地位。主要从三个方面讲述：一、微分方程的基本概念，二、一阶常微分方程的初等解法（其中包括变量分离微分方程、伯努利微分方程、恰当微分方程与积分因子、一阶隐式微分方程） ，三、一阶常微分方程初等解法的应用举例。一阶常微分方程的求解因其方法灵活，技巧性强，历来是学生学习中的一大难点，因此，针对不同的题型，应采取不同的方法。关键词：变量分离方程 伯努利方程 恰当微分方程 积分因子 应用举例AbstractFirst order ordinary differential equation is
2、a mathematical analysis or a part of basic math, occupies an important position in the mathematics. Mainly from three aspects: first, the basic concept of differential equation; Second ,the elementary solution of first order ordinary differential equations (including differential equation of separat
3、ion of variables, differential equation of Bernoulli, exact differential equation and integral factor, first-order hidden decay equation);Third,the application of elementary first-order ordinary differential equation solution.Because solution of the first-order ordinary differential equation is flex
4、ible and technique, it has always been a big difficulty in students learning. Therefore, according to different types, different methods should be taken.Keywords: Variable separable equation Bernoulli equation Appropriate differential equation Integrating factor Applications 引言数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与
5、积分。如函数未知，但已知变量与函数的代数关系，便组成代数方程，通过求解代数方程就可解出未知函数。一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，他们在实际问题中有着广泛的应用，值得我们好好学习和1.微分的基本概念1.1 常微分方程微分方程：一般地，表示未知函数以及未知函数的导数（或微分）与自变量之间的关系的方程。常微分方程：自变量只有一个的微分方程。微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数。一般的 阶微分方程具有的形式n0),.(ndxyxF这里 是 的已知函数，而且一定含有 ； 是未0),.(ndxyxFndxy、 . ndxy知函
6、数， 是自变量。1.2 线性和非线性方程如果微分方程对于未知函数以及它的各阶导数的有理整式而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程。如 是非线性微分方程。一般的2dytt阶线性微分方程形式n111()()()()nnnndydyaxaxaxfd这里 是 的已知函数。 12()()()()naxf、 、 、 、1.3 解和隐式解微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解。即若函数 代入式中，)(xy使其 成为恒等式，称 为方程的解。0),.(ndxyxF)(xy如果关系式 决定的隐函数 为方程的解，称 是方程, 0),(yx的隐式解。0),.(ndxyx1.4 通解和特解通解：
7、含有 个独立的任意常数 的解 称为 阶方程的通解。nnc,.21 ),.(21ncxy特解：方程满足初值条件的解。定解问题：求方程满足定解条件的求解问题，定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题。2.一阶微分方程的初等解法微分方程的一个主要的问题就是“求解”，即把微分方程的解通过初等函数或它们的积分表达出来。但一般的微分方程无法求解，只能是对某些类型通过相应的方法求解。这里详细介绍几种方法。2.1 变量分离微分方程形如（1）()dyfxy的方程，称为变量分离方程， ， 分别是 ， 的连续函数，这是一类最简单()f的一阶函数。如果 ，我们可将（1）改写成 ，这样，变量
8、就“分离”开来()0y()dyfx了。两边积分，得到（2）()()yfxdc这里我们把积分常数 明确写出来，而把 ， 分别理解为 ，c()y()fx1()y的原函数。常数 的取值必须保证（2）有意义。()fx例 1 求解方程 dxy解 将变量分离，得到xdy两边积分，即得 22c因而，通解为 cyx2这里 是任意正常数，或者解出 ，写出显函数形式的解 cy2xc2.1.1 可化为变量分离方程的类型：一阶线性微分方程， （1）dyPxQ其中 ， 在考虑的区间上是 的连续函数，若 ， （1）变为PxQ()0x， （2）dyPx称为一阶齐次线性微分方程。若 ， （1）称为一阶非齐次线性微分方程。变量
9、分()0Q离方程，易求得它的通解为，Pxdyce这里 是任意常数。c齐次微分方程 ，)a)(xgd令 ，方程可化为分离变量的方程， 。xyu xugd)(分式线性方程 )b 2211cybxady下面分三种情形来讨论：） ，这时 为齐次方程。021cybxad21） 及 ，这时可作变换 ，其中 是线性21ba021c kyhx, kh,代数方程 的唯一解，可将方程化为齐次方程 。2211kh 21bad） 及 ，这时可设 ，方程可化为 021ba021c 21，221)(cybxady再令 ，则方程可进一步化为 ，这是一个变量可u2 212cubadx分离方程。其它类型的方程)c利用整体代换的
10、思想，可将其他类型的方程化为变量可分离方程。例如，令 ；)(cbyaxfdycbyaxu，令 ；0)dg，令 ；(2xyfxy，令 。)2d2u例 2 求方程 的通解。22yx解 方程可化为 ，令 ，将 代入上式，2()dyxyuxdux可得 ，2ud易知 是上式的一个解，0从而 为原方程的一个解。当 时，分离变量得y0u，2dx两边积分得，1lnuxc故可得原方程的通解为 ly例 3 求方程 的通解。1dyx解 令 ，则有 ，代入所求方程u1yux，1dx整理可得 ，udx由变量分离得 ，2xc故所求方程的通解为 21yxc2.2 伯努利微分方程形如 nyxQPdxy的方程，称为伯努利微分方
11、程，这里 ， 为 的连续函数， 是常数。()0,1n利用变量变换可将伯努利微分方程化为线性微分方程。事实上，对于 ，用y乘两边，得到ny，1nndyPxQ引入变量变换，1nzy从而 nddyxx将代入得到，11znPznQxdx这是线性微分方程，可按常数变易法求得它的通解，然后代回原来的变量，便得到的通解。此外，当 时，方程还有解。0n例 4 求微分方程 的通解。2dyxy解 这是一个伯努利微分方程,两边同乘以 ，得2y，2dyx令 ，则有2u，2dx上式是一个一阶非齐次线形微分方程，由常数变易法可求得上式的解为 ，312ucx从而原方程的通解为 23y2.3 恰当微分方程与积分因子2.3.1
12、 恰当微分方程我们可以将一阶方程 写成微分的形式 ，或把 ，(,)dyfx(,)0fxydx平等看待，写成下面具有对称形式的一阶微分方程 y， （1）(,)(,)0MxydNxy这里假设 ， 在某矩形域内是 ， 的连续函数，且具有连续的一阶偏导(,)Mxy(,)N数。这样的形式有时候便于探求方程的通解。如果方程的左端恰好是某个二元函数 的全微分，即(,)uxy，则称（1）为恰当微分方程。(,)(,)(,)xydxyduxyd例 5 求微分方程 的通解。220dyxx解 这里 ， ，从而 ，可知所求的微分方程为 2M2N2MNxy恰当微分方程，则有，2uyx对 积分得x，21uxy再对 求导，则
13、得y，2dxy又有，2uxy则可得，将 代入得2y，21uxy所以原方程的通解为 2xyc2.3.2 积分因子的定义与充要条件恰当微分方程可以通过积分求出它的通解。因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义。积分因子就是为了解决这个问题引进的概念。如果存在连续可微函数 ，使得,0xy，,xyMdNd为一恰当微分方程，即存在函数 ，使 ，则称 为方程vMdxNydv,xy的积分因子。,0MxydNxyd函数 为 积分因子的充要条件是,0xNy，()()x即 ()MNNxyx假设原方程存在只与 有关的积分因子 ，则 ，则 为原方程的积分x0因子的充要条件是，()xyx即 仅是关于
14、的函数。此时可求得原方程的一个积分因子为()MNyxxxde同样有只与 有关的积分因子的充要条件是 是仅为 的函数，y ()MNyxy此时可求得方程的一个积分因子为 yde例 6 求方程 的通解。30ydx解 在此式中 ， ，因 ,MNxy13MNx所以该方程不是恰当方程，因()23MNyxy不是 的函数，但 x()2NxMy是 的函数，所以 为方程的积分因子，y2dye方程乘以积分因子，得 ，32230xxyd该式为恰当微分方程，通过以上介绍的求恰当微分方程的方法得原方程的通解 为 341xyyc2.4 一阶隐式微分方程2.4.1 可以解出 或 的方程yx一阶隐方程的一般形式为 (,)0Fy
15、（1）形如 的方程的解法，这里假设 有连续的偏导数。引,dyfx ,dyfx进参数 ，则变为 将两边对 求导数，并以 代入，得到dpx,fpxpfp方程是关于 ， 的一阶微分方程，但它的导数已解出，于是可按前面介绍的方法求出xp它的解。若已求得的通解的形式为 将它代入，得到,pxc,yfxc这就是得通解。若求得的通解的形式为 ，则得到的参数形式的通解为,xcyfp其中是 参数， 使任意常数。pc若求得的通解的形式为 ，则得到的参数形式的通解,0xc,0xpcyf其中 是参数， 为任意常数。pc（2）形如 的方程，假定函数有连续的偏导数。引进参数 ，,dxfx dypx则变为 ，将两边对 求导数
16、，然后以 代入，得到,fypy1dxyp1fpyd方程是关于 ， 的一阶微分方程，但它的导数 已解出，于是可按前面介绍的方法yppy求解，设求得通解为 ，,0yc则得的通解为 ,pxf例 7 求方程 的通解.3()20dyy解 令 ，得到 ，px32px两边对 求导数，得到 2dpx即 230ddx当 时，上式乘以 得到0pp320dpd积分得，42xc解出 ，得到x423p把它代入 ，即得32ypx432()cpy因此，得到方程的参数形式的通解第 3 章 一阶微分方程解法的应用举例2341cxpy0p当 时，由 直接推出 也是方程的解.0p32yxy2.4.2 不显含 或 的方程x（1）形如
17、 的方程的解法。,0Fy记 ，令 ， 这里 为参数，因为dpxtptt，dyx以代入上式得 tdt两边积分，得到 yttc于是，得到方程的参数形式的通解为 xtytdc这里 为任意常数。c（2）形如 的方程，其解法同方程的求解方法类似。,0Fy记 ，引入参数 ，将方程表示为适当的数形式ptytp由关系式 ，得 ，由此得dypxtdtx，tdtxc于是txdcyt为方程的参数形式的通解，其中 为任意常数。c例 8 求微分方程 的通解。yxe解 令 ，则 ，pp将上式两边对 求导y，1pdey整理并积分可得，21pepc所以方程的通解为 21pxyec3.一阶微分方程解法的应用举例常微分方程的产生
18、和发展源于实际问题的需要，同时它也成为解决实际问题的有力工具。我们有能力用常微分方程去解决某些实际问题。一般来说，分三个步骤：建立方程、求解方程和分析问题。通过已求得的解的性质，分析实际问题。实 际 问 题 的 信 息 数学模型抽象、简化数学模型解答答求解实际问题验证解释3.1 等角轨线我们求曲线或曲线族，使得它与某已知曲线族的每一条曲线相交成给定的角度。这样的曲线称为已知曲线的等角轨线。当所给定的角为直角时，等角轨线就称为正交轨线。等角轨线在很多学科中都有应用。例 1 求直线束 的等角轨线和正交轨线。yCx解 首先求直线族 的微分方程。将 对 求导，得 ，由yxyCxy消去 ，就得到 的微分
19、方程Cxdy当 时，等角轨线的微分方程为21dykx或 xdyxdk及 221xyxdyk即 22()1ydxdyxk积分后得到 211ln()arctnlyxyCkx或 1arctn2 ykxxyCe如果写成极坐标形式，不难看出等角轨线为对数螺线 ， Cek如图:如果 ，可知正交轨线的微分方程为21ydx即 或dyx0xdy故正交轨线为同心圆族 ，如图:22C3.2 动力学问题动力学是微分方程最早期的源泉之一，动力学的基本定律是牛顿第二定律 ，fma这也是用微分方程来解决动力学的基本关系式。它的右端明显地含有加速度 ， 是位移对时间的二阶导数。列出微分方程的关键在于找到外力 和位移及其对时间
20、的导数f速度的关系。只要找到这个关系，就可以由 列出微分方程了。fma例 2 物体由高空下落，除受重力作用外，还受到空气阻力的作用，在速度不太大的情况下（低于音速的 4/5） ，空气阻力可看做与速度的平方成正比。试证明在这种情况下，落体存在极限速度 。1v解 设物体质量为 ，空气阻力系数为 ，又设在时刻 物体的下落速度为 ，于mktv是在时刻 物体所受的合外力为 ，这里建立的坐标系，使得重力 方向t 2fgvmg向下，与运动方向一致，空气阻力向上，与运动方向相反。从而，根据牛顿第二定律可列出微分方程 2dvmgkvt因为是自由落体，所以有 (0)v得 200vtmdgk积分后得 1ln2kvt
21、kgm或 ln2vkgtg解出 ，得v 2(1)kgtmktev当 时，有t1limt gvvk据测定， ，其中 为与物体形状有关的常数， 为介质密度， 为物体ks s在地面上的投影面积。人们正是根据 ，来为跳伞者设计安全的降落1litgvvk伞的直径大小。3.3 电学问题与力学问题相仿，在有些电路中电荷和电流也会有变化，此问题主要出现在电学中的振荡现象，应用微分方程也能类似的实际问题。例 3 设有如图的电路，其中 为交流电源的电动势； 为电阻，当0sineEtR电流为 时，它产生的电压降为 ； 为电感，它产生电压降 ， 为一常数。今设i RiLdiLt时刻 时，电路的电流为 ，求电流 与时间
22、 的关系。0t0iit解 根据基尔霍夫定律，有如下关系 0sindiEtRiLt整理后，得到关于 的线性方程式i0sindittL即要求解初值问题 00sin()EdiRittLi 由线性微分方程求解公式有 000() sinRRttLLEitieeds积分后得到 0 002222()(sincos)RtLEEitieRtLtR因为 ， ，故当时间 充分大时，第一项趋于零，只剩下第二项。t第二项经化简后，成为 022()sin()Eit tRL其中 22arcsinLR3.4 光学问题光线微分方程是现代几何光学中的一个重要方程式。一般来说，只要给出初始条件，就可根据光线微分方程求出光在媒质中传
23、播的实际路径。例 4 抛物线的光学性质解 由于对称性，考虑在过旋转轴的一个平面上的轮廓线 ，如图。以旋转轴为l轴，光源放在原点 。设 的方程为 。由 点发出的光线经镜面发射后xO(0,)Ol()yxO平行于 轴。设 为 上任一点，光线 经反射后为 。 为 在 点的切x,MxyMRMTl线， 为 在点 的法线，根据光线的反射定律，有Nl ON从而， tantanOMNR因为 的斜率为 ， 的斜率为 。所以由正切公式，有MTyN1y，tan1xOMy1tanNMRy从而1xyy即得到微分方程 20xy由这方程中解出 ，得到齐次方程y 2()1xyy令 ，即 ，有yuxxdyux代入上式得到 22(
24、1)1duux分离变量后得 22(1)uddx令 上式变为 。积分后得21utdtxln1lCtx或 。两端平方得21Cux221()Cux化简后得 2ux以 代入，得 。这是一族以原点为焦点的抛物线。yux22yCx3.5 流体混合问题某容器中装有浓度为 的含某种物质 的液体 升，从其中取出 升后，加入浓度1cAV1V为 的液体 升，要求混合后的液体的浓度以及物质 的含量。这类问题用初等代数2c2V就可以解决了。例 5 如图，容器内装有含物质 的流体。设时刻 时，流体的体积为 ，物质A0t0V的质量为 ，以速度 放出流体，而同时又以速度 注入浓度为 的流体。试求时刻A0x2v1v1c时容器中
25、物质的质量 及流体的浓度。t解 用微元法来列方程，设在时刻，容器内物质的质量为，浓度为，经过时间后，容器内物质的质量增加了。于是有关系式 1212()dxcvtdtcvdt因为 2012()xcVvt代入上式有 2101()xdxcvdtv或2101()xvdxcvtVt这是一个线性方程。求物质 在 时刻的质量的问题就归结为求方程A满足初值条件 的解的问题。2101()xvdxcvtVt0()x4.总 结一阶常微分方程的初等解法是把微分方程的求解问题转化为积分问题，其解的表达式由初等函数或超越函数表示，是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果。对于一个给定的常微分方程,不仅要准确判断它属于何种类型
26、,还要注意学习的解题技巧,从中总结经验,对各种方法的推导进行分析归纳,并根据方程特点,引进适当的变换,将方程换为能求解的类型。参考文献1 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松，常微分方程（第三版）M北京：高等教育出版社；2007 30-702 文武，一些特殊类型的一阶微分方程的解法探讨J，四川：四川文理学院学报，2010 年第 20 卷第 5 期 3 杨宗永，用积分因子法试解一阶微分方程J，四川：成都纺织高等专科学校学报，1994 年第 11 卷 4 期4 罗志敏，莫照发，一阶微分方程积分因子存在性及运用J，广西：玉林师范学院学报，2011 年第 32 卷第 5 期5 杨继明，常系数线性微分方程组的解法J，宝鸡文理学院学报（自然科学版），2001 年第 3 期
