1、高数论文一阶微分方程解法的研究研究课题：一阶微分方程的解法 小组成员：张鹏 窦文博 孙洪毅 余雷学院班级：商学院工商管理（2）班1第一节 微分方程的基本概念【考研大纲要求解读】了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念。【重点及常考点突破】1.一阶微分方程初值问题的几何意义：F(x，y，y ）=0y（x0）=y0寻求过点（X0 ,Y0) 且在该点出的切线斜率为 y的满足方程的那条积分曲线。2.带有未知函数的变上（下）限积分的方程称为积分方程，它通常可以通过一次或多次求导化为微分方程求解。3.验证函数是否是微分方程解的方法，可以由相应微分方程的阶数，求至 n 阶导数，代入方程看是否恒等，
2、若恒等，再进一步验证初始条件。【典型例题解析】基本题型一：验证所给函数是相应微分方程的通解或解.【例 1】 判断 y=x（ex/xdx+C）是方程 xy- y=xex 的通解。解：由 y=x（ex/xdx+C） ，两边对 x 求导得；y=ex/xdx+C+x*ex/x，即y=ex/xdx+C+ex，两边同乘以 x，得xy=x（ex/xdx+C）+xex=y+xex，即 xy- y=xex.故 y=x（ex/xdx+C）是原方程的通解.基本类型二：化积分方程为微分方程.【例 2】 设 f(x)=sinx- （x-t）f（t）dt，其中 f 为连续函数，求 f（x）x0所满足的微分方程.【 思路探
3、索】如遇到积分方程，其求解问题可化为相应的微分方程初值问题求解方法是对变上（下)线积分求导来确定微分方程，再利用原积分方程进一步确定初始条件解：对原积分方程关于 x 求导，得F（x）=cosx- f（t）dt， x0对式关于 x 求导得 f“（x）=-sinx-f(x),即 f“（x）+f（x）=-sinx又有 f（0）=0，f （0）=1，记 y=f（x） ，则 f（x）满足的微分方程为 y”+ y=-sinxY|x=0，y|x=0=1基本类型三：求初值问题的解【例 3】求以下初值问题的解y”=xy（0）=a0，y （0）=a1，y” （0）=a2.解：由 y”=x，得将原式代入即得2y”=
4、1/2x2+C1，y=1/6x3+C1x+C2，y=1/24x4+1/2C1x2+C2x+C3,其中 C1，C2,C3 为待定的常数，将初值 y”（0）=a2，y （0）=a1，y（0）=a0代入以上三式得 C1=a2，C2=a1，C3=a0，故初值问题的解为 y=1/24 x4+1/2 a2x2+a1x+a0.基本类型四：由微分方程通解求微分方程【例 4】 求以 y=C1ex+C2e-x-X (C1，C2 为任意常数)为通解的微分方程.解：由 y=C1ex+C2e-x-X ， 两边关于 x 求导得y=C1ex- C2e-x -1 上式两边再关于 x 求导得Y”=C1ex+C2e-x 由式与式
5、得 y=y”-x,即所求微分方程为 y”-y-x=0第二节 可分离变量的微分方程【考研大纲要求解读】掌握可分离变量的微分方程【重点及常考点突破】1. 可分离变量方程的通解形式为：1/g(y)dy=f(x)dx，由于将 g(y)作为分母，故若 g(y)=0有解 y1,y2,y3,ym,则变量可分离方程还有特解 y=yi(i=1,2,.,m). 故注意在分离变量的同时，经常在两边要同除以某一函数，此时往往会遗漏该函数的某些特解，而这些特解通常并不能由通解得到，因此要及时补全。2. 在解微分方程时变量代换是重点也是难点，应根据具体问题尽量简化方程，选好代换变量，使得变换后的方程式比较熟悉的方程类型，
6、求解后，应还原为原变量。【典型例题分析】基本类型：求解可直接变量分离型微分方程【例 1】 求解下列微分方程（1）ydy+(x 2-4x)dy=0; (2) xyy=(x+a)(x+b); (a,b 为常数) （3）1+y=e y解:(1) 分离变量得 dx/x2-4x + dy/y=0,即 1/4（1/x-4 1/x）dx+dy/y=0,积分得1/4（ln|x-4|- ln|x|）+ln|y|=C 1故原方程通解为（x-4）y 2=Cx(C 为任意常数)，特解 y=0 包含在通解之中。（2）用 x（y+b）去除方程，则有 y/y+b dy=x+a/a dx.积分得 y-bln|y+b|=x+a
7、ln|x|+C1故通解为 xa(y+b)b=Cey-x(C 为任意常数)，特解 y=-b 包含在通解之中。（3）由原方程可得 dy/dx=ey -1分离变量得 dy/e y-1=dx, 积分得dy/e y-1=dx，3（1/e y -1 1/ey）dey =dx,ln|e y -1/ey|=x+lnC1则通解为 ln|1-e-y|=x+ lnC1 即 1-e-y=Cex(C 为任意常数)。方法点击:变量分离的同时，有时会漏掉一些解，最后要补上，这一点一定要注意！基本类型:求初值问题的解【例 2】 微分方程 xy+y(lnx-lny)=0 满足条件 y(1)=e3 的解为 y=_解：xy+y（l
8、nx-lny）=0，y+y/xlnx/y=0,u=y/x 则 y=ux+u.所以 ux+u=ulnu,u/ulnu-u=1/x, u/ulnu-u=1/x dx,ln|lnu-1|=ln|x|+C1,lnu-1=cx即 y=xecx+1. 又 y(1)=e3, 所以 e3=ex+1 所以 c=2 所以 y=xe2x+1.【例 3】 若可导函数 f（x）满足关系式 f（x）=（0,2x）f（2/t）dt+ln2,则 f(x)=_解：由题设条件求导得 f(x)=2f(x),解方程得 f(x)=Ce2x. 又当 x=0时，f(0)=ln2,所以 C=ln2;故 f(x)=ln2.e2x,故应填：ln
9、2.e 2x方法点击:对于这类问题，一般是对积分方程两边求导将其化为微分方程，再求解；这时应注意关系式中隐含的初始条件。基本题型：求解经变量代换后可化为变量可分离型方程的微分方程【例 4】 求下列微分方程的通解：(1)xdy-ydx=xx2+y2dx; (2)dy/dx=(x+y-1/x+y+1)2 解：（1） 设 y=xv,则 dy=x=vdx+xdv,则原方程变为 x(vdx+xdv)-xvdx=xx2+x2v2)dx,即 dv=1+v2dx. 当上式取正号即 x0 时，有dv/1+v2=dx 积分得 ln（v+ 1+v 2）=x+C 1,即 v+ 1+v2=Cex. 由于 v=y/x ,
10、故原方程的解为 y+ x2+y2=Cxex.当 x0 时 即dv=- 1+v2dx 时 可得到 y- x2+y2= Cxe-x（2）设 u=x+y,则 du/dx=1+dy/dx,故 du/dx=1+(u-1/u+1),即（1+2u/u 2+1）du=2dx积分得 u+ln(u2+1)=2x+C 变量还原得原方程通解为（x+y） 2=Cex-y -1基本题型：应用题【例 5】 已知函数 y=y(x)在任意点处的增量 y=yx/1+x 2 +a,且当0 时，a 是 x 的高阶无穷小，y（0）=，则 y（1）等于（）【思路探索】 如果能够获得 y（x）的表达式，则 y（1）显然可求，由于x0 时，
11、a=0（x） ，这说明 y 在 x 处可微，且 dy=y/1+x2dx，于是本问题转化为微分方程的特解问题。解：由于 y=yx/1+x 2 +a,又当 x0 时，a 是 x 的高阶无穷小，故由微分方程的定义知 dy =y/1+x2 dx【例 6】线通过点（2,3） ，它在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分，求这曲线方程。解：设曲线方程 y=y（x） ，曲线上点（x，y）的切线方程 。yx-XY由假设，当 Y=0 时，X=2x，代入上式，得曲线所满足的微分方程初值问题4分离变量后积分得 xy=C，由 y（2）=3 知 c=6，故所求曲线方程为32yxd）（xy=6【例 7】海中放某种探测仪器
12、，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y（从海平面算起）与下沉速度 v 之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k（k0） 试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y（v） 从船上向海中放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y（从海平面算起）与下沉速度 v 之间的函数关系，设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为m，体积为 B，海水比重为 ，仪器所受的阻力与下沉速度成
13、正比，比例系数为k（k0） 试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系式 y=y（v） 解：以沉放点为原点，垂直向下为 y 轴正方向，则有 mg-kv-bp=m dt2由 ，则 ，vdtydyvt*ty则由上式化为 v 与 y 之间的微分方程 mv =mg-kv-bp，分离变量得 dy=，dk-bpmg积分得 dv= kv-bpmg1k-y）（ ，）（）（ c-lnk2bp-g-v由 知 c= 故所求关系式为，0|y ） ，（）（ 2k-mgY= bp-kvlnbp-vk2）（【例 8】某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染物 A 的污水量为某湖泊的水量为 V，每年排入湖泊内含污染
14、物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量6v为，流出湖泊的水量为 已知 1999 年年底湖中 A 的含量为 5m0，超过国家6v3v规定指标为了治理污水，从 2000 年年初起，限定排入湖泊中含 A 污水的浓度5不超过 问至多需经过多少年，湖泊中污染物 A 的含量降至 m0 以内？（注：vm0设湖水中 A 的浓度时均匀的 ）解：设从 2000 年初（令此时 t=0）开始，第 t 年湖中 A 的含量为 ，则在时间vm间隔t，t+dt内，排入湖中 a 的量为 * *dt= ，流出湖泊的水中 a 的vm06dt0含量为 ，因在此时间间隔内湖中 a 的该变量为 dm=（ ）dt3m*v 3-6
15、0dt，分离变量解得 m= 初始条件 m| =5m ，得 c=- 于是 m=3t0ce-20t0m29，令 m=m 得 t=6ln3，所以至多 6ln3 年，a 含量降至 m 以内。）（3t0e9120 0第三节 齐次方程【基本题型：求解齐次方程或可化为齐次方程的方程】【例 1】 求解下列方程的通解（1） （2）0dyx-2dy23）（ 0xyd3-y24）（(3)tanx解（1）令 x= ，dx=2udu，原方程化为齐次方程 ，即2u yu-243）（令 y=zu dy=zdu+udz，原方程化为0dy-dy23）（）（，分离变量得 ，积分得uzz1u23） （ udz12，即 ，代入 y=
16、zu x= ，得原方程通解12C|ln|-122czuln）（ 2为）（ clyx26（2）令 x= ，dx=2udu 方程化为齐次方程2u令 ，则0duy23-uy0yd3y434 ）（， 即）（ zuy， 即dy=zdu+udz 积分得再由26431414 cz1|ln|z|lnC|l|z-n|1|l2 ， 故， 即 UZCy=zu 得到原方程为xu2624ucxy（3）设 ，原方程变为 ，分duy， xtanudtanudx， 即离变量得 cotudu= ，积分得 sinu=cx，故方程通解为 sinxcy第四节 一阶线性微分方程【考研大纲要求解读】掌握一阶线性微分方程的解法，会解伯努利
17、方程。【重点及常考点突破】1.在求解一阶线性微分方程时，一定要化为标准形式（即 y的系数为 1）+P(x)y=Q()否则用公式求解时容易出错。2.一阶线性方程的解题程序：1 标准化，即将方程化为（*）的形式。2 求方程 y+P(x)y=0 的通解，dxPeCydxPydxP)(1)(ln)(-(x)=-P(), ，3 用常数变易法求方程（*）的通解。令 为方程（*）的解，将其代入方程并整理得dxPeuy)(，CdxeQxuP)()( )(故原方程通解为 。dPey)(3.伯努利方程 是可以化为一阶线性方程的一种， 10()( nyx形式，只需令 并以 乘方程两边，得，nyz1dz7即化为线性方
18、程，)(1)(xQnxPdxz实际解题时也可由 观察得到，)( xayPay 。)1(nayz【典型例题解析】基本题型：一阶线性方程求解（1） )1(lnl xayx解：化为标准方程 xayln)1(l 相应齐次方程 分离变量得,0lnxy ，dxyln积分得齐次方程通解为 即，1lnlCxyl1令原方程通解为 ，则xCln1 ， )(n)l(l) xaa从而 即 故原方程通解为，）（ dax)( ，xn)(.ayln【方法点击】：求解一阶线性方程可用常数变易法或直接由公式求解。（2） 022ydxyx）（解：把 x 看作未知函数，把 y 看作自变量，原方程变为关于函数 x 的线性方程 其解为
19、12xydx)()( 2121)()( CeCdeyQex yyyPdyP d 即原方程的通解为 yx（3） ydxy2sin解：引进变换 ，则方程变为vxvdxsin故由一阶线性方程的通解公式得 ，)i(221Cdexx8故原方程通解为 )sin(221Cxdeyx【我们的反思】转眼之间大一已经快要过去，高数的学习也有了两个学期。仔细一想，高数也不是传说那么可怕，当然也没有那么容易，前提是自己真的用心了。人戏称高数是一棵高树，很多人就挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上那棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至是老师说高数非常难学，有很
20、多人挂科了，这基本上是事实，但是或多或少有些夸张了吧。事实上，当我们抛掉那些畏难的情绪，心无旁骛地去学习高数时，它并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以，我们要有信心去学好它时，就走好了第一步。其次，课前预习很重要。每个人的学习习惯可能不同，有些人习惯预习，有些人觉得预习不适合自己。每次上新课前，把课本上的内容仔细地预习一下，或者说先自学一下，把知识点先过一遍，能理解的先自己理解好，到课堂上时就会觉得有方向感，不会觉得茫然，并且自己预习时没有理解的地方在课堂上听老师讲后就能解决了，比较有针对性。然后，要把握课堂。课堂上老师讲的每一句话都有可能是很有用的，如果错过了就可能会使自己以后做某
21、些题时要走很多弯路，甚至是死路。我们主要应该在课堂上认真听讲，解解题方法，我们现在所需要的是方法，是思维，而不仅仅是例题本身的答案，我们学数不是为了将来能计算算术，而是为了获得一种思想，为了提高我们的思维能力，为了能够用于解决现实问题。此外，要以教材为中心。虽然说“尽信书不如无书” ，但是，就算教材不是完美的，但是教材上包含了我们所要掌握的知识点，而那些知识点是便是我们解题的基础。书上的一些基本公式、定理，是我们必须掌握的。最后，坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。做好教材上的课后题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话做好一道题就能解决很多同类型的题了。（以上内容皆为手输）
