1、第 7 章习题：1. 设 A=0,1，试给出半群 的运算表，其中为函数的复合运算。2. S=a,b,c， *是 S 上的二元运算，且 x,y S, x *y = x(1) 证明 S 关于*运算构成半群；(2) 试通过增加最少的元素使得 S 扩张成一个独异点。3. 给定 代数 结 构 , ，其中 是 实 数集合， 对 中任意元 和 ， 定 义 如下：=+试证： , 是独异点。4. 给定半群 , , , 对 于 中的任意元 和 , 定 义 二元运算如下：=试证： , 是半群。5. 指出下述各代数系统哪些是半群，并说明理由。（1） 。;（2） ;。（3） ,();+。（4） ;， 为 同余 类 的加
2、法运算。6. 设 V=是半群，且 a*a=b，证明：(1) a*b=b*a(2) b*b=b7. S=a,b,c, 是 上的二元运算，且 , =.（1） 证明 S 关于 运算构成半群。（2） 试通过增加最少的元素使得 S 扩张成一个独异点。8. 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算 如下： x,y Z，x y=x+y-2问 Z 关于 运算能否构成群？为什么？9. 设 A=x|xRx0,1 ，在 A 上定义 6 个函数如下：f1(x)=x; f2(x)=x-1; f3(x)=1-x;f4(x)=(1-x)-1; f5(x)=(x-1)x-1; f6(x)=x(x-1)-1令 F 为这 6
3、个函数构成的集合，运算为函数的复合运算，(1) 给出运算的运算表(2) 验证是一个群10. 判断下列集合关于指定的运算是否构成半群，独异点和群。（1） 是正 实 数， =|，运算是普通乘法。（2） +为 正有理数，运算是普通乘法。（3） +为 正有理数，运算是普通加法。（4） 一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。（5） 一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。11. 指出下列代数系统中哪些是群，哪些是可交换群，并说明理由。（1） 1 的 n 次根（包含复根与实根） ，关于乘法的运算。（2） ;，其中 定 义 如下：任意 , =22, =0。（3） ;+，其中 ()=0+|, =1,;， +
4、为 多 项 式加法运算。（4） +2|,;+。12. 已知 , 为 不可交 换 群， 证 明必存在 , , , , 但 =。13. 设 =0,1,2,3, 为 模 4乘法，即： , =() 4问 , 构成什么代数系 统 （ 半群，独异点，群 ） ？并 说 明理由。14. 设 H1,H2 分别是群 G 的 r, s 阶子群，若(r,s) = 1，证明 H1 H2 = e.15. 设 G 为群，a 是 G 中的 2 阶元，证明 G 中与 a 可交换的元素构成 G 的子群.16. 给定群 , , 且 =|, =, 试证 , 是 , 的子群。17. 设 G 为群，a 是 G 中给定元素， a 的正规化
5、子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合，即： ()=|=证明 N(a)是 G 的子群。18. 设 G=(a)， |=， 证 明：它的任意子群是循 环 群。19. 设 =是 15阶 循 环 群：（1） 求出 G 的所有生成元。（2） 求出 G 的所有子群。20. 下面集合关于数的加法+，与乘法是否成环？（1） +5|,（2） +2+ 3|,（3） 非负整数集 D21. 下列系统是否是环，并说明理由。（1） n 阶方阵，关于矩阵的加法与乘法。（2） 区间-1,1上所有实连续函数，关于函数的加法与乘法。（3） ; +, ， 为实 数集， +为实 数加法， 定 义为 , =|。22. 给定环 ; +, 且 ,. 试证 ：（1） （ +） (+)=+.（2） 若 =0, 则 (+)=+.23. 设 a 和 b 是含幺环 R 中的两个可逆元，证明：（1） -a 也是可逆元，且 .()1=1（2） 也是可逆元，且 ()1=11.24. 设 R 是环，令： =|(=)C 称作 R 的中心，证明 C 是 R 的子环。25. 给定域 , +, ，且 ， 定 义为 ：=+2|,其中 R，Q 分别为实数集合和有理数集合。试证： 为 的子域。, +, , +,
