1、 “离散数学”课程教学大纲课程英文名称：Discrete Methemetics课程编号：05141201 课程类型：专业核心课总学时：64 学 分：4使用对象：信息与系统工程学院计算机专业(民、汉本)选修课程：高等数学、线形代数、C 语言使用教材及参考书教 材：离散数学 ，耿素云、屈婉玲编著，高等教育出版社，2004 年 1 月，面向 21 世纪教材。参考书：离散数学 ，左孝凌，刘永才编著，上海科学技术出版社，1988 年 2 月 课程性质、目的和任务离散数学是计算机科学的理论基础，对于培养学生的逻辑思维和分析问题、解决问题的能力起着重要作用。通过离散数学的教学，不仅能为学生的专业课学习及将
2、来从事的软、硬件开发和应用研究打下坚实的基础，同时也能培养他们抽象思维和严格逻辑推理能力。二、教学基本要求离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。它以研究离散量的结构和相互之间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。本课程包括数理逻辑、集合论、代数结构，图论等四个内容。考虑到教学时数，要求学生掌握只选数理逻辑、集合论、图论等内容。三、教学内容及要求第一部分：数理逻辑第一章 命题逻辑基本概念1分清简单命题(既原子命题 )与复合命题。2深刻理解 5 种常用联结词的涵义，并能准确地应用它们将基本复合命题及复合命题符号化
3、。3分清“相容或”与“排斥或” 。4深刻理解命题公式的赋值、成真赋值、成假赋值，从而准确地判断出公式的类型。第二章 命题逻辑等值演算1深刻理解等值式的定义，知道公式之间的等值关系具有自反性、对称性、传递性。2牢记基本等值式的名称及它们的内容。3熟练地应用基本等值式及置换规则进行等值演算。4了解文字、简单析取式、简单合取式、析取范式，合取范式等概念。5深刻理解极小项、极大项的定义，名称、下角标与成真赋值的关系，主析取范式与主合取范式。6熟练掌握求主析取(主合取 )范式的方法。7会用主析取范式求公式的成真赋值、成假赋值、判断公式的类型、判断两个公式是否等值。8会将任何命题公式等值地化成某联结词完备
4、集中的公式。第三章 命题逻辑的推理理论1 理解并记住推理形式结构的以下两种形式(1)(A1 A2A k) B(2)前提：A 1A2 A k 结论：B2熟练掌握判断推理是否正确的不同方法，如真值表法、等值演算法、主析取范式法等。3牢记 P 系统中各条推理规则的内容及名称。4熟练掌握在 P 系统中构造证明的直接证明法、附加前提证明法、归谬法。5会将日常生活中、社会活动中、科学领域中的某些推理形式化，即写出符号化形式的前提、结论，并能判断推理是否正确，对于正确的推理能在 P 系统中给出证明。第四章：一阶逻辑基本概念1准确地将给定命题符号化：分清在 41 节中给出(1)一(7) 或更多种的符号化形式，
5、特别注意两个基本公式中量词与联结词的搭配情况，其实(5)、 (6)、(7)等都是两个基本公式(3) 与(4)的应用。2深刻理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及其判别方法：准确写出公式的真值表。3深刻理解闭式的概念及闭式的性质(闭式在任何解释下都是命题) 。4对于给定的解释会判断给定公式是否成为命题，对是命题的能判断出是真命题，还是假命题。第五章 一阶逻辑等值演算与推理1深刻理解并牢记一阶逻辑中的重要的等值式，并能准确而熟练地应用他们2熟练又正确地使用置换规则、换名规则、代替规则3准确地求出给定公式的前束范式4深刻理解自然推理系统 F 的定义，牢记 F 中的各条推理规则，特别是要正确使用UI、U
6、G 、EG 、EI 4 条推理规则，使用中应注意以下几点：(1)一定对前束范式才能使用 UI、UG、EG、EI 规则对不是前束范式的公式要使用它们，一定先求出公式的前束范式；(2)记住 UI、UG、EG、EI 各自使用的条件；(3)在同一个推理的证明中，如果既要使用 UI 规则，又要使用 EI 规则，一定先使用 EI 规则，后使用 UI 规则，而且 UI 规则使用的个体常项一定是 EI 规则中使用过的。(4)对 A(c)不能使用 UG 规则，其中 c 为特定的个体常项。5对于给定的推理，要求正确地给出它的证明。第二部分：集合论第六章：集合代数1熟练掌握集合的两种表示法。2能够判别元素是否属于给
7、定的集合。3能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系。4熟练掌握集合的基本运算(幂集运算，普通运算和广义运算) 并能化简集合表达式。5掌握有穷集合的计数方法。6掌握证明集合等式或者包含关系的基本方法。第七章：二元关系1理解有序对、二元关系、集合 A 到 B 的关系、集合 A 上的关系( 包含空关系、全域关系、小于等于关系、整除关系、包含关系等)的定义，掌握笛卡儿积的运算和性质。2熟练掌握关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法。3熟练掌握关系的定义域、值域、逆、右复合、限制、像、幂的计算方法。4熟练计算集合 A 上关系 R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包。5能够证明含有上述关系运算的集
8、合恒等式或者包含式。6熟练掌握判断关系五种性质的方法，并能对关系的自反、对称、反对称、传递性给出证明。7熟练掌握等价关系、等价类、商集、划分的概念，以及等价关系与划分的对应性质。8熟练掌握偏序关系、偏序集、哈斯图、偏序集中的特定元素等概念。9能够利用上述关系模型处理简单的实际问题。第八章：函数1掌握函数的基本概念，会判断给定集合是否为函数、是否为从 A 到 B 的函数2熟练计算函数的值、像、完全原像。3会判断和证明函数的单射、满射、双射的性质。4给定集合 A 和 B，会构造从 A 到 B 的双射函数。 5会计算复合函数、双射函数的反函数。第四部分：图论第十四章：图的基本概念1理解与图的定义有关
9、的诸多概念，以及它们之间的相互关系2深刻理解握手定理及其推论的内容，并能熟练地应用它们3深刻理解图同构，简单图，完全图，正则图，子图，补图，二部图等概念及其它们的性质和相互关系，并能熟练地应用这些性质和关系。4深刻理解通路与回路的定义，相互关系及其分类，掌握通路与回路的各种不同的表示方法。5理解无向图的连通性，连通分支等概念。6深刻理解无向图的点连通度、边连通度等概念及其之间的关系，并能熟练地求出给定的较为简单的图的点连通度与边连通度。7理解有向图连通性的概念及其分类，掌握判断有向连通图类型的方法。8熟练掌握用有向图的邻接矩阵及各次幂求图中通路与回路数的方法。9会求有向图的可达矩阵。第十五章：
10、欧拉图与哈密尔顿图1深刻理解欧拉图与半欧拉图的定义及判别定理，对于给定的图(无向的或有向的) ，应用定理 15.5 准确地判断出它是否为欧拉图。2会用 Fleury 算法求出欧拉图中的欧拉回路。3深刻理解哈密顿图及半哈密顿图的定义。4会用破坏哈密顿图应满足的某些必要条件(如定理 15.6)的方法判断某些图不是哈密顿图。5会用满足哈密顿图的充分条件(如定理 15.7)的方法判断某些图是哈密顿图。6严格地分清哈密顿图的必要条件和充分条件，千万不能将必要条件当充分条件，同样地，也不能将充分条件当成必要条件。7对于完全带权图 K4 和 K5 能准确地求出最短的哈密顿回路。第十六章：树1深刻理解无向树的
11、定义，熟练掌握无向树的主要性质，并能灵活应用它们。2熟练地求解无向树，准确地画出阶数 n 较小的所有非同构的无向树。3深刻理解基本回路，基本回路系统，基本割集，基本割集系统，并对给定的生成树能准确地求出它们。4熟练地应用 Kruskal 算法求最小生成树。5理解根树及其分类等概念。6会画出阶数 n 较小(如 1 n5) 所有非同构的根树。7熟练掌握 Huffman 算法，并用它求最佳前缀码。8掌握波兰符号法及逆波兰符号法的算法。第十七章：平面图及图的着色1深刻理解平面图的基本概念，并能灵活应用它们。2熟练应用欧拉(Euler)公式3深刻理解平面图的判断基本定理。4 熟练地应用平面图的对偶图基本
12、转换方法及对图中顶点的着色。5 理解地图的着色与平面图的着色及边着色等概念。四、教学重点与难点第一部分 数理逻辑第一章 命题逻辑基本概念教学重点：简单命题(既原子命题 )与复合命题5 种常用联结词，复合命题的符号化“相容或”与“排斥或”命题公式的赋值、成真赋值、成假赋值。教学难点：“相容或”与“排斥或”的区别。第二章 命题逻辑等值演算教学重点：等值式的定义基本等值式及置换规则进行等值演算文字、简单析取式、简单合取式、析取范式，合取范式极小项、极大项的定义，名称、下角标与成真赋值的关系，主析取范式与主合取范式求主析取(主合取) 范式的方法 主析取范式求公式的成真赋值、成假赋值、判断公式的类型、判
13、断两个公式是否等值将任何命题公式等值地化成某联结词完备集中的公式。教学难点：求主析取(主合取 )范式第三章 命题逻辑的推理理论教学重点：推理的不同方法，如真值表法、等值演算法、主析取范式法等。各条推理规则的内容及名称。在 P 系统中构造证明的直接证明法、附加前提证明法、归谬法。教学难点：基本推理方法：等值演算法、主析取范式法等。基本证明方法：直接证明法、附加前提证明法、归谬法。第四章 一阶逻辑基本概念教学重点：一阶逻辑公式，永真式、矛盾式、可满足式的概念及其判别方法。闭式的概念及闭式的性质。给定的解释会判断给定公式的类型教学难点：给定的解释会判断给定公式的类型第五章 一阶逻辑等值演算与推理教学
14、重点：一阶逻辑中的重要的等值式。置换规则、换名规则、代替规则。求出给定公式的前束范式。自然推理系统 F 中的各条推理规则。对于给定的推理，要求正确地给出它的证明。教学难点：自然推理系统 F 中的各条推理规则；求正确地给出它的证明。第二部分 集合论第六章 集合代数教学重点：集合的两种表示法。集合之间的包含、相等、真包含等关系。集合的基本运算(幂集运算，普通运算和广义运算 )。有穷集合的计数方法。 证明集合等式或者包含关系的基本方法。教学难点：有穷集合的计数方法；证明集合等式或者包含关系的基本方法。第七章 二元关系教学重点：有序对、二元关系、集合 A 到 B 的关系、集合 A 上的关系( 包含空关
15、系、全域关系、小于等于关系、整除关系、包含关系等)的定义掌握笛卡儿积的运算和性质。关系表达式、关系矩阵、关系图的表示法。关系的定义域、值域、逆、右复合、限制、像、幂的计算方法。集合 A 上关系 R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包。关系运算的集合恒等式或者包含式。判断关系五种性质的方法，并能对关系的自反、对称、反对称、传递性给出证明。等价关系、等价类、商集、划分的概念，以及等价关系与划分的对应性质。偏序关系、偏序集、哈斯图、偏序集中的特定元素等概念。教学难点：关系的闭包运算；等价关系、等价类；偏序关系、偏序集、哈斯图。第八章 函数教学重点：函数的概念，会判断给定集合是否为函数、是否为从 A 到
16、B 的函数。计算函数的值、像、完全原像以及 BA。单射、满射、双射的性质、构造从 A 到 B 的双射函数。复合函数、双射函数的反函数。 教学难点：复合函数、双射函数的反函数。第四部分：图论第十四章 图的基本概念教学重点：图的定义。握手定理。同构，简单图，完全图，正则图，子图，补图，二部图等概念及其它们的性质和相互关系。通路与回路的定义，相互关系及其分类，掌握通 路与回路的各种不同的表示方法。无向图的连通性，连通分支等概念。无向图的点连通度、边连通度等概念及其之间的关系。用有向图的邻接矩阵及各次幂求图中通路与回路数的方法。有向图的关联矩阵、距离矩阵、可达矩阵。教学难点：无向图的连通性，连通分支；
17、无向图的点连通度、边连通度。第十五章 欧拉图与哈密尔顿图教学重点：欧拉图与半欧拉图的定义及判别定理哈密顿图及半哈密顿图的定义分清哈密顿图的必要条件和充分条件对于完全带权图 K4 和 K5 能准确地求出最短的哈密顿回路教学难点：欧拉图与半欧拉图的判别定理； 哈密顿图及半哈密顿图的判别定理第十六章 树教学重点：无向树的定义及性质。画出阶数 n 较小的所有非同构的无向树。基本回路，基本回路系统，基本割集，基本割集系统。Kruskal 算法求最小生成树。根树及其分类，阶数 n 较小(如 1n 5)所有非同构的根树。Huffman 算法，并用它求最佳前缀码。波兰符号法及逆波兰符号法的算法。波兰符号法及逆
18、波兰符号法的算法。教学难点：n 阶树的所有非同构的无向树；Kruskal 算法求最小生成树； Huffman 算法，并用它求最佳前缀码。第十七章 平面图及图的着色教学重点：平面图的基本概念。欧拉(Euler)公式。 平面图的判断。平面图的对偶图。图中顶点的着色。教学难点：欧拉(Euler)公式的应用及地图的着色。五、学时分配内 容 参考学时第一章：命题逻辑基本概念 6第二章：命题逻辑等值演算 6第三章：命题逻辑的推理理论4第一部分；数理逻辑第四章：一阶逻辑基本概念 4第五章：一阶逻辑等值演算与推理4第六章：集合代数 6第七章：二元关系 10第二部分：集合论第八章：函数 3第十四章：图的基本概念 4第十五章：欧拉图与哈密尔顿图4第十六章：树 4第十七章：平面图及图的着色7第四部分：图论总复习 2六、考核方式考试，闭卷，期末试卷占 70(80) ，平时成绩占 30(20 引。
