1、组合数学试卷 共 5 页，第 1 页一、(每题 5 分，共 15 分) 1、在 1 到 9999 之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？解：该题相当于从“1，3，5，7，9”五个数字中分别选出 1，2，3，4 作排列的方案数；（1）选 1 个，即构成 1 位数，共有 个；15P（2）选 2 个，即构成两位数，共有 个；2（3）选 3 个，即构成 3 位数，共有 个；35（4）选 4 个，即构成 4 位数，共有 个；4由加法法则可知，所求的整数共有： 个。12345520P2、若某两人拒绝相邻而坐，问 12 个人围圆周就坐有多少种方式？解：12 个人围圆周就坐的方式有： 种，(,
2、)!C设不愿坐在一起的两人为甲和乙，将这两个人相邻而坐，可看为 1 人，则这样的就坐方式有： 种；由于甲乙相邻而坐，可能是“甲乙”也可(1,)0!P能是“乙甲” ；所以则满足条件的就坐方式有： 种。1!203659203、 对夫妻围圆桌而坐，求夫妻不相邻的方案数。n0(2)1)!hnNC4、求小于 10000 的正整数中含有数字 9 的数的个数。49()395、设 ，求除尽 的整数个数。2471nn606、求在 1000 和 9999 之间各位数字都不相同的奇数个数。87、6 男 6 女围圆桌交替就坐有多少种就坐方式？5!408、4 对夫妻围圆桌而坐，求夫妻不相邻的方案数。二、 （每题 5分，
3、共 10分）1、写出容斥原理的两个公式。及证明 211112()nnniij ijkijijikjnnAAA 12111() nnniij ijkijijikjnNA 2、叙述鸽巢原理并举一个例子加以说明。所谓鸽巢原理，即 只鸽子，只有 个巢，则至少有一个鸽巢内至少有两只鸽子。1nn如：366 个人中必然至少存在两人有相同的生日。三、解下列递推关系：（每题 5分，共 15分）1、 12070,nnaa对应的特征方程为： ，解得 。271x12,5x所以齐次递推方程的通解为： ，nnnaAB代入初始条件，得： ， ，011解得： ， 故 。,3AB3nnn2、 120690,nna组合数学试卷
4、共 5 页，第 2 页对应的特征方程为： ，解得： ，2690x123x所以，齐次递推方程的通解为： ，()(nnaAB代入初始条件， ， ，0aA1解得： ，故 。,3B()3n3、 201,na对应的特征方程为： ，解得： ，20x12,xii所以，齐次递推方程的通解为： ，()()nnnaABi代入初始条件， ， ，0aAB1i解得： ，故 ,i。11()nnaii4、 12309,nna对应的特征方程为： ，解得： ，3290x123,xx所以，齐次递推方程的通解为： ，()nnnaABCA代入初始条件， ， ，0aABC13，2解得， ，故 1,431(3)42nnn四、求下列数列的
5、母函数 （每题 5分，共 10分）(0,12)n（1） ；()na母函数为： 00(1)()1)nnanaGxxx（2） ；5n母函数为： 2200054()5)5(1)(1)nnnn xxGxx （3） ；4母函数为： 2200043()4)4(1)(1)nnnn xxxx 五、 （15 分）1、红、黄、蓝三色的球各 8 个，从中取出 9 个，要求每种颜色的球至少一个，问有多少种不同的取法？解：对应的母函数为： 234567833234567891011234567() )( )Gxxxxxxx从中取 9 个对应的组合数为 的系数，即9（种） 234561782、试求由 a，b，c 三个字母
6、组成的 n 位符号串中不出现 aa 图像的符号串的数目。解：假设符合条件的符合串的数目为 ，考虑第 1 位数的数值，有两种情况：a（1）第 1 位为 a，则第 2 位只能是 b 或 c，余下的 位满足条件的有 个；2n2na根据乘法法则，这类情况总共有 个；2n（2）第 1 位为 b 或 c，则余下的 满足条件的有 个；11na根据加法法则，可得递推关系 ，且 ；2nna23,8对应的特征方程为： ，解得： ，20xx组合数学试卷 共 5 页，第 3 页因此，通解为 ，代入初始条件，13nnnaAB， ，13aB222138aAB解得 ，2,66故 332113nnna3、试求由 0，1，2
7、三个数字组成的 n 位三进制数中不出现 00 的三进制数的数目。六、 （15 分）1、求从 1 到 500 的整数中能被 3 和 5 整除但不能被 7 整除的数的个数。解：设 为 1 到 500 的整数中能被 i 整除的数的集合， ，iA 3,5i则 ， ， ，3506501A701A， ， ，353723574，35704A满足条件的整数个数为： ，根据容斥原理有：357A357353574292、由 这四个字符取 5 个作允许重复的排列，要求 出现次数不超过 2 次，,abcd a但不能不出现； 不超过 1 个； 不超过 3 个； 出现的次数为偶数。求满足以上cd条件的排列数。 22324
8、111()()()6eGxxxx必须将上式转化成指数型母函数得 2345()581!e由此可见满足上述条件取 5 个进行排列的排列数为 215.七、 （10 分）1、某人参加一种会议，会上有 6 位朋友，他和其中每一人在会上各相遇 12 次，每二人各相遇 6 次，每三人各相遇 4 次，每四人各相遇 3 次，每五人各相遇 2次，与六人都相遇 1 次，一人也没遇见的有 5 次。问该人共参加几次会议？解：设 S 为该人参加的所有会议组成的集合，设 表示该人与第 i 个朋友相遇的所有会议构成的子集， ，则iA 1,26i，12R,6， ， ， ，2ij34ijkRA3ijklRA5ijklmRA，61
9、4561则， 234564566130218CC则该人共参加会议次数为： （次） 。83S2、有 1 克砝码 2 枚，2 克砝码 3 枚，5 克砝码 3 枚，问能称出哪些重量，又各有几种称法。解：组合数学试卷 共 5 页，第 4 页2465105378910121341561123()()()23Gxxxxxx所以能称 123 克等 23 种重量的物品。总共的称法为母函数的各项系数之和，再减去常数项，即总共有（种）不同的称法。()347G其中，称 1、3、20、22、23 克重量各有 1 种称法；称2、4、5、8、9、10、13、14、15、18、19、21 克重量各有 2 种称法；称6、7、
10、11、12、16、17 克重量各有 3 种乘法；3、8 台计算机分给 3 个单位，第一个单位的分配量不超过 3 台，第二个单位不超过4 台，第三个单位不超过 5 台，问共有几种分配方案？解：对应的母函数为：2323423454567()1)(1)(1)Gxxxxx所求的分配方案数即 的系数，即分配方案数为：8（种）41321AA八、 （10 分）在格路问题中，从 点到 点的路径中，求不通过 AB,CD,EF,GH 的路径数，0,(,5)已知 , .(2,)3,(42)ABC,62,(3),72,(3)DEFGH解：设 : 从 点到 点的路径经 AB， 11: 从 点到 点的路径经 CD，20,
11、(,5): 从 点到 点的路径经 EF，3A: 从 点到 点的路径经 GH， 则4A0,(1,5), ,1723268403A, 38640A4951234|17例 13 某校有 12 个教师，已知教数学的有 8 位，教物理的有 6 位，教化学的 5 位；数理 5 位，数化 4 位，理、化 3 位；数理化 3 位。问教其他课的有几位？只教一门的有几位？只教两门的有几位？令 A1, A2, A3 分别表示教数学物理化学的教师的集合。则有：a(0)12，a(1)|A1|+|A2|+|A3|8+6+519;a(2)|A1A2|+ |A1A3|+|A2A3|12；a(3)|A1A2A3|3； 因此教其
12、他课，只教一门，只教两门的分别为：b(0)=a(0)-a(1)+a(2)-a(3)=2；b(1)=a(1)-2a(2)+3a(3)=4；b(2)=a(2)-3a(3)=3。例 4 求由 abcdef 这六个字符组成的全排列中不允许出现 ace 和 df 图象的排列数。令 A、B 分别表示出现 ace、df 图象的排列的集合。A 中是出现 ace 图象的排列，即 ace 作为一个元素参加排列，因此有|A|=4!。类似有|B|=5!，|AB|=3！。而全集的元素个数为|U|=6!，因此满足条件的排列数为：UB!.645382组合数学试卷 共 5 页，第 5 页例 5 求 4 个 x，3 个 y，2
13、 个 z 组成的全排列中不允许出现xxxx，yyy 和 zz 图象的排列数。令 ABC 表示出现 xxxx、yyy、zz 图象的排列的集合。A 中的排列是把 xxxx 作为一个元素参加排列，注意有 3 个 y和 2 个 z，因此|A|=6!/(3!2!)=60。类似有|B|=7!/(4!2!)=105， |C|=8!/(4!3!)=280， |AB|=4!/2!=12，|BC|=6!/4!=30，|AC|=5!/3!=20, |AB C |=3!=6，|U|=9!/(4!3!2!)=1260。因此满足条件的排列数为：例 7 用 26 个英文字母作不允许重复的全排列，要求排除dog，god，gu
14、m，depth，thing 字样的出现，求满足这些条件的排列数。令 Ai (i=1,2,3,4,5)分别表示出现以上五个单词之一的排列的集合。A1 中的集合是把 dog 作为一个元素参加排列，因此有 |A1|=24!。类似有：|A2|=|A3|=24!， |A4|=|A5|=22! 。由于 dog 和 god 不能同时出现，所以|A1A2|=0 。由于 dog 和 gum 可以以 dogum 的方式出现，所以有|A1A3|=22!。类似有：|A1A4|=0， |A1A5|=0。类似有：|A2A3|=0，|A2A4|=20!， |A2A5|=20! ， |A3A4|=20!， |A3A5|=20!， |A4A5|=19!。BCUABC, , , !,AAAA1231245313145242354500001712345!.62420197
