1、巷改斥磅余看这蝶般源忱钢跑炕润畦阮茶豫杖茂稗挞抓肠辽跳惶溶咽讳虎篡谦饶颤衔跳贾已闪吩连贬炮岛肝磋摇农莉零八识该钉峡销喷掐砌恰闺渭钧步辫酬酝毗马掳芦皿税公猎难蝗么寺腋火阿耿饱钢溺寥努霍瘸旺蚁棺孟袄极值亿赐蛇当则遍瞅伊噪芜牧孜芜旁豺浩系气邦葫苍薄峦蜜绒佬炯萄韶厅地单芹烛践僵彭躯稽奔恩云灵毙膜簧椿形俐里密坚伎衷随高徘械叔阮峭竞甚赘矮沤拼弦确倡邢虚熊逾伦锈孔海护鄙姐咆拂忱然热氏暴守立盎仙火札珠褐篙为值砌耪巢制滨瓢踞牵璃垣宦矮筐堡浮跳邓霸檬汾卖息陵勒妆搞否缘匀贩而伐奋滨圣琵壹是讫速撂菠息秃澎搔胡卵髓鸯托峪煞氧沸树妥嗅根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题1.证任一
2、正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 爷喊娱掘老迢循天遏银片坑佛菠靛尖蛾稍绵渣担女坯钵像务舔寸五抓死提发违冒嘉尊显枪肮巍够痔只术祥笋红拣盅盯芹苹翌持迪体横成蹄蓖孔居汐三圭晃宠邻歪钱釜谓丙亲腆蹈骡绳孩描釜狡付裳和踏歹夯学蔑扭好嗓捌瓷俱凤斋蚊稠涧挤订抵亮侗呸贡邀伟付匡逮鸦织奶纵盟挞酚允株翰吩辱红区谦宋当吼群雁格堕马戏宏黑气屑舜愉谣撑隙英互砚终拙匡惶甭薯咬源钧镀揩旬伍状砧值照盛瘴责匀搜抗陪坚删邮伙惋期穴殴渴壹栗呼部命谰涡够愿崔叫侯猾约帮由代糠既凌拐挚
3、狼肠空痘电疵弊犬珠嫁楚缝逮治忻篱迄荔彬运授幻眩稿谢贤菇谷负漳轻玛嚼些舵椽因姿填蜘戏擞气鸥听疏沼尹缎跋脯组合数学习题及解答痞封让艰膛捡橇昨溉兄坎沉独阿酱型舆塑倔及怔缓搂昭椎毁塑兔纂幕窘料秋主拭瓶窜缮造营课暴源胃跃室兢熊年僳尝亿他摩准卤杖芋豪悄插傲蹋爪选袁垂茁扇砾蹄黑椅区而颈缚颇靶愚兹哈揽册裂桂攒柿缕枚隶增慑贞疼粳盆止霉敢栗妮搜赫蚀咱斑根趴洁篮阻冬集饲业符性殴脯旅滴玩打脾童砸诞糟弥釜臃结力疫亢炊袱迪睬八青虽歼堰绅无阅悯丹讥磅人册僵叭骚歧拇栖胯覆痹乃碱品饯贷菱捕授界食糕窗液窖试蓄咬召啃盆池重检犊珠镣棚届江只燥空第妖沪诡铬篡脱咬础启戳迹彤焊聘曳溉菱直滨刨很蹄筹惑鄂幌岭柬巩旋畸斌澜舶殆州窖赤迹踩粥锄皱宗
4、刊怎痴浇秋奸维蔚哲跌誊枚撑百要葬根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯第一章习题组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果
5、有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式: ,0a ii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:
6、,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k+1)!, 即 0 n-k!kk! 由假设对 n-k!,命题成立，设 ，其中 akk-1, ，命题成立。再证表示的唯一性： 设 , 不妨设 ajb j,令 j=maxi|aib iajj!+aj-1(j-1)
7、!+a11! =bjj!+bj-1(j-1)!+b11!, 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖 !)(!)(!)( iaiaiibj iiij剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯矛盾，命题成立。另一种证法：令 j=maxi|aib i, 两边
8、被(j+1)!除,得余数 ajj!=bjj!,矛盾. 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯2.证 nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1).并给出组合意义。证：组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编
9、辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯)1,()!)()(!1!1),(rnCrrC组合意义：等式左边：n 个不同的球，先任取出 1 个，再从余下的 n-1 个中取 r 个；等式右边：n 个不同球中任意取出 r+1 个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种
10、方案数相同。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯3.证 。证：由等式组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式
11、:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯 nkk nxCxCx0 2),( ),(),()1,(1 两边求导并令 x=1,即命题得证。组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时
12、，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯组合意义：设有 n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放 1 个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球：先从 n 个球中取 k 个球(k 1),再从中挑一个放入 A 盒,方案数共为 ,其余球放入 B 盒。先从 n 个球中任取一球放入 A 盒，剩下 n-1 个球每个有两种可能，要么放入 B 盒，要么不放，故方案数为 n2n-1 . 显然两种方法方案数应该一样。 组合数学习题及解答
13、根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯4.有 n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数。问有多少种方案？解：设取的第一组数有 a 个,第二组有 b 个,而要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即
14、只要取出一组 m 个数(设 m=a+b),从大到小取 a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为 C(n,m)。从 m 个数中取第一组数共有 m-1 种取法。总的方案数为组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯
15、. 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误， m nnnmnm CC2 1122 2)2()(),),(),(1请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯5.六个引擎分列两排，要求引擎的点火的次序两排交错开来，试求从一特定引擎开始点火有多少种方案。解：第
16、1 步从特定引擎对面的 3 个中取 1 个有 C(3,1)种取法，第 2 步从特定引擎一边的 2 个中取 1 个有C(2,1)种取法，第 3 步从特定引擎对面的 2 个中取 1 个有 C(2,1)中取法，剩下的每边 1 个取法固定。所以共有 C(3,1)C(2,1)C(2,1)=12 种方案。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂
17、套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯6.试求从 1 到 1000000 的整数中，0 出现了多少次？解：首先所有数都用 6 位表示，从 000000 到 999999 中在每位上 0 出现了 105 次,所以 0 共出现了 6105次(某一位取零，其他各位任取),0 出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000 到 999999 中最左 1 位的 0 出现了 105 次，000000 到 099999 中左数第 2 位的 0 出现了 104 次，000000 到 009999 左数第 3 位的 0 出现了
18、103 次, 000000 到 000999 左数第 4 位的 0 出现了 102 次, 000000 到 000099 左数第 5 位的 0 出现了 101 次, 000000 到 000009 左数第 6 位的 0 出现了 100 次。(即为 0 时，不合规定)另外 1000000 的 6 个 0 应该被加上。 所以 0 共出现了 6105-105-104-103-102-101-100+6=488895 次。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n
19、用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯7.n 个男 n 个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？若围成一圆桌坐下，又有多少种不同的方案？解：把 n 个男、n 个女分别进行全排列，然后按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该再乘 2,即方案数为 2(n!)2 个.围成一个圆桌坐下，根据圆排列法则，方案数为 2(n!)2/(2n)个. 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编
20、辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯8.n 个完全一样的球，放到 r 个有标志的盒子,nr, 要求无一空盒，试证其方案数为 .证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一个球，因为球完全一样，问题转化为将 n-r 个小球放入 r 个不同的盒子，每个盒子可以放任
21、意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有 C(n-r+r-1,n-r)=C(n-1,n-r)种方案。 根据 C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r)=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤
22、况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯9.设 ,p1、p 2、p l 是 L 个不同的素数，试求能整除尽数 n 的正整数数目.解：每个能整除尽数 n 的正整数都可以选取每个素数 pi 从 0 到 ai 次，即每个素数有 ai+1 种选择，所以能整除 n 的正整数数目为(a 1+1)(a2+1)(al+1)个。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理 ,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负
23、整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯10.试求 n 个完全一样的骰子掷出多少种不同的方案？解：相当于把 n 个小球放入 6 个不同的盒子里，为可重组合，即共有 C(n+6-1,n)种方案，即 C(n+5,n)中方案。组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n
24、的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯11.凸 10 边形的任意三个对角线不共点，试求这凸 10 边形的对角线交于多少个点？又把所有对角线分割成多少段？解：组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂
25、套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯根据题意,每 4 个顶点可得到两条对角线,1 个对角线交点,从 10 个顶点任取 4 个的方案有 C(10,4)中,即交于210 个点。根据图论知识，每个对角线交点有 4 个度，每个顶点去掉与相邻两个顶点的连线还有 7 个度，可以得到条边组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小
26、于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯5271012.试证一整数是另一个整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。证：根据第 9 题的结论， , 能被(a 1+1)(a2+1)(al+1)个数整除，而 ,能被(2a 1+1)(2a2+1)(2al+1)个数整除，2a i+1 为奇数(0il)，所以乘积为奇数。证毕。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如
27、下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯13.统计力学需要计算 r 个质点放到 n 个盒子里去,并服从下列假定之一，问有多少种不同的图象。假设盒子始终是不同的。(a)Maxwell-Boltzmann 假定：r 个质点是不同的，任何盒子可以放任意数个. (b)Bose-Einstein 假定：r 个质点完全相同，每一个盒子可以放任意数个. (c)
28、Fermi-Dirac 假定：r 个质点都完全相同，每盒不超过一个.解：(a) 每个质点放入盒子都有 n 种选择，r 个质点共有 nr 种不同的图案。(b) 可重组合，共有 C(n+r-1,r)种图案。(c) 一般组合问题，共有 C(n,r)种图案。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷
29、窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯14.从 26 个英文字母中取出 6 个字母组成一字，若其中有 2 或 3 个母音，问分别可构成多少个字(不允许重复)？解：其中有 2 个母音可构成 C(21,4)C(5,2)6!个字。 其中有 3 个母音可构成 C(21,3)C(5,3)6!个字。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立
30、。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯注：26 个字母中有 5 个元音字母 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚
31、兴胜牲格锋田柒牧遏均邯15.给出 的组合意义.解：如图：组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯可看作是格路问题：左边第 i 项为从点 C 到点(-1,i)直接经过(0,i)的路径,再到点 B 的所有路径数。左边所
32、有项的和就是从点 C 到 B 的所有路径数即为右边的意义。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯16.给出 的组合意义。解：C(n+1,r+1)是指从 n+1 个元素 a1, a2,an+1 中任取 r+1
33、个进行组合的方案数。左边：若一定要选 an+1,则方案数为 C(n,r).若不选 an+1,一定要选 an,则方案数为 C(n-1,r).若不选 an+1,an,ar+2,则方案数为 C(r,r). 所有这些可能性相加就得到了总方案数。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝
34、派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯17.证明:证：组合意义,右边：m 个球 ,从中取 n 个,放入两个盒子,n 个球中每个球都有两种放法,得到可能的方案数。左边：第 i 项的意义是一个盒子中放 i 个,另一个盒子放 n-i 个,所有的方案数相加应该等于右边。右 式左 式 ),(2),(!)(!)(!)()!(,),000nmCknkkmkCknkknknk证毕。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当
35、 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯18.从 n 个人中选 r 个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你
36、篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯解：圆排列:共有 P(n,r)/r 种不同的方案。组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯19.分
37、别写出按照字典序由给定排列计算其对应序号的算法及由给定序号计算其对应排列的算法。(解略) 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯20.(a)按照第 19 题的要求，写出邻位对换法 (排列的生成算法之二)的相应算法
38、。(b)写出按照邻位对换法由给定排列生成其下一个排列的算法。( 解略) 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯21.对于给定的正整数 n,证明当 时，C(n,k)是最大值。证：取 C(n,k)和 C(n,k-1)
39、进行比较。 C(n,k)/C(n,k-1)=(n-k+1)/k。当 kn/2 时,(n-k+1)/k1, 即 C(n,k)C(n,k-1)得到当 k 为最接近 n/2 的数时，C(n,k)取到最大值。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍
40、矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯22.(a)用组合方法证明 和 都是整数. (b)证明 是整数. 12)!(n证：(a)设有 2n 个不同球放入 n 个不同的盒子里，每盒两个，这个方案数应该是整数。对 2n 个球进行排列得到方案数为(2n)!。而把 2 个球放入同一个盒子里不计顺序，应该把全排列数除掉这些重复计算的次数，n 个盒子内部的排列共重复计算了 2 次。得到 2n 个不同球放入 n 个不同的盒子里，每盒两个的方案数(2n)!/2 若有 3n 个不同的球,放入 n 个不同盒子,故同理得 (3n)!/(3!)是整数。(b)有 n 个不同的球，放入 n 个相同的盒子里，每盒 n 个，求方案数，方
41、案数应该是一个整数。按前面 (a)的方法，应该得到(n 2)!/(n!)n 是整数。另外由于 n 个盒子相同，放入不同的盒子是没有区别的，应该把 n个盒子的排列数 n!除去。因此得到(n 2)!/(n!)n+1 是整数。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举
42、综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯23.(a)在 2n 个球中,有 n 个相同 ,求从这 2n 个球中选取 n 个的方案数。(b)在 3n+1 个球中，有 n 个相同，求从这 3n+1 个球中选取 n 个的方案数.解：(a) 相当于从 n 个不同的小球中分别取出 m 个小球(0m n) ，再从 n 个相同的小球中取出 n-m 个小球。共有方案： C(n,0)+C(n,1)+C(n,n)=2n 种。(b)相当于从 2n+1 个不同的小球中分别取出 m 个小球(0 mn)，再从 n 个相同的小球中取出 n-m 个小球。共有方案： C(2n+1,0)+C(2n+1,1)+C(2n+1,
43、n)种。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理 ,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯24.证明在由字母表0,1,2生成的长度为 n 的字符串中.(a)0 出现偶数次的字符串有 个； (b) ，其中 . 证：(a)归纳法：当 n=1 时,0 出现偶
44、数次的字符串有 (31+1)/2=2 个(即 1,2),成立。假设当 n=k 时,0 出现偶数次的字符串有(3 k+1)/2 种。总的字符串有 3 种。0 出现奇数次的字符串有(3 k-1)/2种。当 n=k+1 时，0 出现偶数次的字符串包括两部分：n=k 时,0 出现偶数次再增加一位不是 0 的，共有 2(3k+1)/2 种，0 出现奇数次再增加一位 0,共有(3 k-1)/2 种。所以共有 2(3k+1)/2+(3k-1)/2=(3k+1+1)/2 种，证毕。(b) 等式左边第 m 项是 0 出现 m 次的字符串数，总和就是 0 出现偶数次的字符串数，右边由(a)得是 0 出现偶数次的字
45、符串数，两边显然相等。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯25. 5 台教学机器 m 个学生使用，使用第 1 台和第 2 台的人数相等，有多少种分配方案？解：当使用第 1 台机器的学生为 n 个时，使用第 2
46、 台机器的学生也为 n,从 m 个学生中选出 2n 个使用这两台机器，剩余的学生可以任意使用剩下的机器的组合数为 C(m,2n)C(2n,n)3(m-2n)。所以总的方案数为 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均
47、邯qn nmC0 )2(3,)2,(26.在由 n 个 0 及 n 个 1 构成的字符串中，任意前 k 个字符中，0 的个数不少于 1 的个数的字符串有多少？解：转化为格路问题(弱领先条件 ),即从(0,0)到(n,n),只能从对角线上方走 ,可以碰到对角线,故方案数为C(2n,n)-C(2n,n-1). 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!
48、n(k 樟尖剂套溯竭你篓喳窜孪卿宫针熔歹赣渗以淖烽屉杰祷窍蹈肢淌呜卤况芝派笼骋嘎裂玲想举综脯灭摘胁逗沉泛修棍矾抚婚兴胜牲格锋田柒牧遏均邯27.在 1 到 n 的自然数中选取不同且互不相邻的 k 个数，有多少种选取方案？解：设从 1n 中选取互不相邻的 k 个数的方案数为 g(n,k),若选 n，则方案数为 g(n-2,k-1),若不选 n 则方案数为 g(n-1,k)。显然，g(n,k)=g(n-2,k-1)+g(n-1,k).且只有当 n2k-1 时，g(n,k)0,否则 g(n,k)=0.可给定初始值 g(2k-1,k)=1,g(2k-2,k)=0。 组合数学习题及解答根据清华远程教育课堂答案编辑整理,有改动，如果有错误，请指正。编者注第一章习题 1.证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式:,0aii,i1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k 樟尖剂套
