1、 第 4 题 在 1.1 节例 4 中，证明存在连续的一些天，棋手恰好下了 k 盘棋（k=1,2,.,21)。问是否可能存在连续的一些天，棋手恰好下了 22 盘棋。略第 6 题 证明：从 1，2，200 个数中取 100 个整数，其中之一小于 16，那么必有两个数，一个能被另一个整除假设命题成立.首先将 1-200 按照连续除以 2,直到不能被 2 整除的结果分为 100 组,即:1,1*2,1*4,.3,3*2,3*4,.197199每一组中的数都能互相整除.所以如果想取 100 个不能互相整除的数,只能每个组取一个.设取的数为a1 = 1*2k1a3 = 3*2k3a5 = 5*2k5.a
2、199 = 199*2k199设那个小于 16 的数为 ai=i*2ki,i=1.则 a3i=3i*2k3i,于是 k3i=81 故矛盾,所以假设不成立.命题得证明.第 9 题 在坐标平面上任意给定 13 个整点（两个坐标均为整数的点）则必有一个以他们中的三个为顶点的三角形其重心也是整点三角形重心坐标为（(x1+x2+x3)/3,(y1+y2+y3)/3);这道题的关键就是适当地分类。 对 13 个点的 x,y 分别考虑，对于所有的 x（共 13 个）来说，按照除以 3 以后的余数来划分， 可以分为 0,1,2 三类，其中必有一类为 5 个或以上(抽屉原理). 对于这一类的 5 个点，任意取三个的话，它们的重心的 x 坐标为整数。 考虑它们的 y 值，也可以分为余数为 0,1,2 三类, 假如某一类有超过 3 个元素的话，取得 这三个点的 y 值，他们的重心的 y 坐标为整数。 如果没有任何一个类有超过 3 个元素的话，从这三个类中各取一个元素，即可得到 重心 y 坐标为整数的三角形。 综上所述，13 个整点中必然存在重心为整点的三角形
