1、1习题一（排列与组合）1在 1 到 9999 之间，有多少个每位上数字全不相同而且由奇数构成的整数？2比 5400 小并具有下列性质的正整数有多少个？（1）每位的数字全不同；（2）每位数字不同且不出现数字 2 与 7；3一教室有两排，每排 8 个座位，今有 14 名学生，问按下列不同的方式入座，各有多少种做法？（1）规定某 5 人总坐在前排，某 4 人总坐在后排，但每人具体座位不指定；（2）要求前排至少坐 5 人，后排至少坐 4 人。4一位学者要在一周内安排 50 个小时的工作时间，而且每天至少工作 5 小时，问共有多少种安排方案？5若某两人拒绝相邻而坐，问 12 个人围圆周就坐有多少种方式？
2、6有 15 名选手，其中 5 名只能打后卫，8 名只能打前锋，2 名只能打前锋或后卫，今欲选出11 人组成一支球队，而且需要 7 人打前锋，4 人打后卫，试问有多少种选法？7求 展开式中 项的8()xyzw2xyzw系数。8求 的展开式。49求 展开式中 的101235()xx3624x系数。10试证任一整数 n 可唯一表示成如下形式：1!,0,1,iia11证明 ，并给(,)(,)CrCr出组合意义。12证明 。11(,)2nnk13有 n 个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组数里的最小数大于第二组的最大数，问有多少种方案？14六个引擎分列两排，要求引擎的点火次序两排交错开来，试求从某一
3、特定引擎开始点火有多少种方案？15试求从 1 到 1 000 000 的整数中，0 出现了几次？16n 个男 n 个女排成一男女相间的队伍，试问有多少种不同的方案？17n 个完全一样的球，放到 r 个有标志的盒子，要求无一空盒，r试证其方案数为 。1nr18设 ， 是 k 个12kp 12,p素数，试求能整除尽数 n 的正整数数目。19试求 n 个完全一样的骰子能掷出多少种不同的方案？20凸十边形的任意三个对角线不共点，试求这凸十边形的对角线交于多少个点？又把所有的对角线分割成多少段？21试证一整数 n 是另一整数的平方的充要条件是除尽 n 的正整数的数目为奇数。22统计力学需要计算 r 个质
4、点放到 n 个盒子里去，并分别服从下列假定之一，问有多少种不同的图像？假设盒子始终是不同的。（1）Maxwell-Boltzmann 假定：r 个质点是不同的，任何盒子可以放任意个；（2）Bose-Einstein 假定：r 个质点完全相同，每一个盒子可以放任意个。（3）Fermi-Dirac 假定： r 个质点都完全相同，每盒不得超过一个。23从 26 个英文字母中取出 6 个字母组成一字，若其中有 2 或 3 个母音，问分别可构成多少个字（不允许重复）？24给出 1200nrnrnmrm2的组合意义。25给出 121rrnr的组合意义。26证明 1200nmmnn。27对于给定的正整数 n
5、，证明在所有中，当(,)1,2)Cr时，,2knn为 奇 数， 为 偶 数取得最大值。(,)Cr28 （1）用组合方法证明 和 都(2)!n(3)!nA是整数。（2）证明 是整数。21()!n29 （1）在 2n 个球中，有 n 个相同，求从这 2n个球中选取 n 个的方案数。（2）在 个球中，有 n 个相同，求从这3个球中选取 n 个的方案数。30证明在由字母表 生成的长度为 n 的0,12字符串中，（1）0 出现偶数次的字符串有 个；31n（2），202nnnq其中 。q315 台教学仪器供 m 个学生使用，要求使用第1 台和第 2 台的人数相等，有多少种分配方案？32由 n 个 0 及
6、n 个 1 组成的字符串，其任意前k 个字符中，0 的个数不少于 1 的个数的字符串有多少？习题二（母函数及其应用）1求下列数列的母函数 (0,12)n（1） ；()na（2） ；5（3） ；()（4） n2证明序列的母函数为 (,)1,)(2,)CCn。1()nx3设 ，求序234,SeeAA列 的母函数。na其中， 是 S 的满足下列条件的 n 组合数。（1）S 的每个元素都出现奇数次；（2）S 的每个元素都出现 3 的倍数次；（3） 不出现， 至多出现一次；1e2（4） 只出现 1、3 或 11 次， 只出现 2、42e或 5 次；（5）S 的每个元素至少出现 10 次。4投掷两个骰子，
7、点数之和为 r ，(1)其组合数是多少？5投掷 4 个骰子，其点数之和为 12 的组合数是多少？6红、黄、蓝三色的球各 8 个，从中取出 9 个，要求每种颜色的球至少一个，问有多少种不同的取法？7将币值为 2 角的人民币，兑换成硬币（壹分、贰分和伍分）可有多少种兑换方法？38有 1 克重砝码 2 枚，2 克重砝码 3 枚，5 克重砝码 3 枚，要求这 8 个砝码只许放在天平的一端，能称几种重量的物品？有多少种不同的称法？9证明不定方程 的正整数解12nxxr组的个数为 。(,)Cr10求方程 的大于 1 的整数解的个4yz数。11设 ，0(,2)nkak，其中 ，0(,1)nkbC01a。试证
8、：（1） ， ；11nnabnab（2）求出 、 的母函数 ，()Ax。()Bx12设 ，求序列12,kSeeA的母函数，np其中 是 S 的满足下列条件的 n 排列数：（1）S 的每个元素都出现奇数次；（2）S 的每个元素至少出现 4 次；（3） 至少出现 i 次 ；ie(1,2)k（4） 至多出现 i 次 ；13把 23 本书分给甲乙丙丁四人，要求这四个人得到的书的数量分别不超过 9 本、8 本、7 本、6 本，问：（1）若 23 本书相同，有多少种不同的分法？（2）若 23 本书都不相同，又有多少种不同的分法？148 台计算机分给 3 个单位，第一个单位的分配量不超过 3 台，第二个单位
9、不超过 4 台，第三个单位不超过 5 台，问共有几种分配方案？15用母函数证明下列等式成立：（1） ；2201nn（2） 1mnn。16证明自然数 n 分拆为互异的正整数之和的分拆数等于 n 分拆为奇数之和的分拆数。17求自然数 50 的分拆总数，要求分拆的每个分项不超过 3。习题三（递推关系）1解下列递推关系：（1） 12070,nnaa（2） 12069,nna（3） 201,n（4） 201nna（5） 23019,nnaa2求由 A，B，C，D 组成的允许重复的排列中AB 至少出现一次的排列数。3求 n 位二进制数中相邻两位不出现 11 的数的个数。4利用递推关系求下列和：（1） 20
10、nkS（2） 0(1)nk（3） 0(2)nkS4（4） 0(1)2nkS5求 n 位四进制数中 2 和 3 必须出现偶数次的数目。6试求由 a，b，c 三个字母组成的 n 位符号串中不出现 aa 图像的符号串的数目。7利用递推关系解行列式： 00101abab8在 方格的棋盘上，放有 k 枚相同的车，nm设任意两枚不能相互吃掉的放法数为，证明 满足递推关系：(,)kF(,)kn11(,)k kFnm9在 方格的棋盘中，令 表示棋盘里正n()g方形的个数（不同的正方形可以叠交） ，试建立 满足的递推关系。()g10过一个球的中心做 n 个平面，其中无 3 个平面过同一直径，问这些平面可把球的内
11、部分成多少个两两无公共部分的区域？11设空间的 n 个平面两两相交，每 3 个平面有且仅有一个公共点，任意 4 个平面都不共点，这样的 n 个平面把空间分割成多少个不重叠的区域？12相邻位不同为 0 的 n 位二进制数中一共出现了多少个 0？13平面上有两两相交，无 3 线共点的 n 条直线，试求这 n 条直线把平面分成多少个区域？14证明 Fibonacci 数列的性质，当 时，1（1） 212()nnnF（2） 2321nF（3） 12 1n（4）1214() (3)nnnFF15证明：（1）当 时，221nnFF A（2）当 时，4113()()nnF16有 2n 个人在戏院售票处排队，
12、每张戏票票价为 5 角，其中 n 个人各有一张 5 角钱，另外 n 个人各有一张 1 元钱，售票处无零钱可换。现将这 2n 个人看成一个序列，从第一个人开始，任何部分子序列内，都保证有 5角钱的人不比有 1 元钱的人少，则售票工作能依次序进行，否则，只能中断，而请后面有 5 角钱的人先上来买票。前一种情况，售票工作能顺利进行，对应的序列称为依次可进行的。问有多少种这样的序列？17用 表示具有整数边长且周长为 n 的三角形na的个数，证明312()4nna当 是 偶 数当 是 奇 数18 （1）证明边长为整数且最大边长为 r 的三角形的个数是21()4rr当 是 偶 数当 是 奇 数（2）设 为
13、边长不超过 的三角形的个数，nfn为边长不超过 的三角形的个数，g1求 和 的解析表达式。nf19从 1 到 n 的自然数中选取 k 个不同且不相邻的整数，设此选取的方案数为 。(,)fn（1）求 的递推关系及其解析表达式；(,)fk5（2）将 1 与 n 也算作相邻的数，对应的选取方案数记作 ，利用 求(,)gk(,)fnk。(,)20球面上有 n 个大圆，其中任何两个圆都相交于两点，但没有三个大圆通过同一点，用表示这些大圆所形成的区域数，例如，na，试证明：01,2（1） ；n（2） 21 （1）试计算从平面坐标点 到(0,)O点在对角线 OA 之上但可以经过(,)AOA 上的点的递增路径
14、的条数。（2）试证明从平面坐标上 点到(,)点在对角线 OA 之上且不触及(,)nOA 的递增路径的条数是 。21()22有多少个长度为 n 的 0 与 1 串，在这些串中，既不包含子串 010，也不包含子串 101？第二版新增的部分习题7求由 0，1，2，3 作成的含有偶数个 2 的 n 可重排列的个数。24设把 2n 个人分成 n 个组且每组恰好有 2 个人的不同分组方法有 种，请给出 满足的递ana推关系并求解。习题四（容斥原理）1试求不超过 200 的正整数中素数的个数。2问由 1 到 2000 的整数中：（1）至少能被 2，3，5 之一整除的数有多少个？（2）至少能被 2，3，5 中
15、 2 个数同时整除的数有多少个？（3）能且只能被 2，3，5 中 1 个数整除的数有多少个？3求从 1 到 500 的整数中能被 3 和 5 整除但不能被 7 整除的数的个数。4某人参加一种会议，会上有 6 位朋友，他和其中每一人在会上各相遇 12 次，每二人各相遇 6 次，每三人各相遇 4 次，每四人各相遇3 次，每五人各相遇 2 次，与六人都相遇 1 次，一人也没遇见的有 5 次。问该人共参加几次会议？5n 位的四进制数中，数字 1，2，3 各自至少出现一次的数有多少个？6某照相馆给 n 个人分别照相后，装入每人的纸袋里，问出现以下情况有多少种可能？（1）没有任何一个人得到自己的照片；（2
16、）至少有一人得到自己的相片；（3）至少有两人得到自己的照片；7把 排成相同字母互不相,abc邻的排列，有多少种排法？8把 排成一圈，令 表示没有相邻1,2n ()fn数字恰好是自然顺序的排列数。（1）求 ；()f（2）证明 。(1)nfD9n 个单位各派两名代表出席一个会议，2n 位代表围圆桌而坐，试问：（1）同一单位的代表相邻而坐的方案数是多少？（2）同一单位的代表互不相邻的方案数又是多少？10一书架有 m 层，分别放置 m 类不同种类的书，每层 n 册，现将书架上的图书全部取出整理，整理过程中要求同一类的书仍然放在同一层，但可以打乱顺序，试问：（1）m 类书全不在各自原来层次上的方案数是多
17、少？6（2）每层的 n 本书都不在原来位置上的方案数是多少？（3）m 层书都不在原来层次，每层 n 本书也不在原来位置上的方案数又是多少？11证明错排数的下列性质（ ）：2（1） 1()nnD（2） 112n 个人参加一晚会，每人寄存一顶帽子和一把雨伞，会后各人也是任取一顶帽子和一把雨伞，问：（1）有多少种可能使得没有人能拿到他原来的任一件物品？（2）有多少种可能使得没有人能同时拿到他原来的两件物品？习题五（抽屉原理）1证明：在边长为 2 的等边三角形中任取 5 点，至少有两个点相距不超过 1。2在一个边长为 1 的正方形内任取 9 个点，证明以这些点为顶点的各个三角形中，至少有一个三角形的面
18、积不大于 。83把从 1 到 326 的 326 个正整数任意分成 5 组，试证明其中必有 1 组，该组中至少有一个数是同组中某两个数之和，或是同组中某个数的两倍。4任意一个由数字 1，2，3 组成的 30 位数，从中任意截取相邻的三位，证明在各种不同位置的截取中，至少有两个三位数是相同的。数的位数 30 还可以再减少吗？为什么？5任取 11 个整数，求证其中至少有两个数的差是 10 的倍数。6一次考试采用百分制，所有考生的总分为10101，证明如果考生人数不少于 202，则必有三人得分相同。7将 n 个球放入 m 个盒子中， ，(1)2nm试证其中必有两个盒子有相同的球数。8设有三个 7 位
19、二进制数： 、1234567()a和 ，试证存123456()b7c在整数 i 和 j， ，使得下列等式中ij至少有一个成立：， ，ijijabijijcijijc9证明：把 110 这 10 个数随机地写成一个圆圈，则必有某 3 个相邻数之和大于或等于 17。若改为 126，则相邻数之和应大于或等于 41。10某学生准备恰好用 11 个星期时间做完数学复习题，每天至少做一题，一个星期最多做12 题，试证必有连续几天内该学生共做了21 道题。11 行 列的格子用 m 种颜色(1)m21()mC着色，每格着一种色，证明其中必有一个 4角的格子同色的矩形。12证明：（1）平面上任取 5 个整点（坐
20、标为整数的点） ，其中至少有两个点，由它们所连线段的中点也是整点。（2）从三维空间任取 9 个整点中至少有两个点，其连线的中点为整点。13在平面直角坐标系中至少任取多少个整点，才能保证其中存在 3 个点构成的三角形的重心是整点。第二版新增部分习题：11求证在任意给的 11 个整数中，一定存在 6个整数，它们的和是 6 的倍数。12证明任意给定的 52 个整数中，总存在两个数它们的和或差能被 100 整除。13证明：（1）每年至少有一个 13 日是星期五。（2）每年至多有三个 13 日是星期五。14设 是整数 的任意一个12,na 1,2n7排列，证明：当 n 是奇数时，乘积肯定是偶数。12()
21、()aa17在平面直角坐标系中任取 5 个整点（两个坐标都是整数） ，证明其中一定存在 3 个点，由其构成的三角形（包含 3 点在一条直线上）的面积是整数（可以为 0） 。18用 4 种颜色给平面上的完全图 （66 个顶6K点，每个顶点间都有边连接）的边染色，每个边选一种颜色。证明，染色后必存在一个同色的（即三角形） 。3K习题六（Polya 定理）1 一张卡片分成 个方格，每格用红蓝两色42涂染，可有多少种方法？2一根木棍等分成 n 段，用 m 种颜色涂染，问有多少种染法？3正五角星的五个顶点各镶嵌一个宝石，若有m 种颜色的宝石可供选择，问可以有多少种方案？4有一个正方形木筐，用漆刷 4 边
22、。现有三种不同颜色的漆，可有多少种不同的涂法？5一个圆分成 6 个相同的扇形，分别涂以三色之一，可有多少种涂法？6两个变量的布尔函数 的全体关于变量(,)fxy下标可以进行置换时，其等价类的个数为多少？写出其布尔表达式。7红、蓝、绿三种颜色的珠子，每种充分多，取出 4 颗摆成一个圆环，可有多少种不同的摆法？8某物质分子由 5 个 A 原子和 3 个 B 原子组成，8 个原子构成一个正立方体，问最多可能有几类分子？9验证下列函数对于运算 是一()fgfx个群：， ， ，1()fx21()fx3()fx， ，456110用 四种颜色涂染正方体的六个面，,grby求其中两个面用色 g，两个面用色 y
23、，其余一面用 b，一面用 r 的方案数。11对一正六面体的八个顶点，用 y 和 r 两种颜色染色，使其中 6 个顶点用色 y，其余 2 个顶点用色 r，求其方案数。12由 三种颜色的 5 颗珠子镶成圆环，共,bg有几种不同的方案？13一个圆圈上有 n 个珠子，用 n 种颜色对这 n个珠子着色，问所用颜色数目不少于 n 的着色方案数是多少？14若已给两个 r 色的球，两个 b 色的球，用它装在正六面体的顶点，试问有多少种不同的方案？15试说明群 的不同格式及其个数。5S16将一正方形均分为 4 个格子，用两种颜色对4 个格子着色，问能得到多少种不同的图像？其中认为两种颜色互换后使之一致的方案属同一类。17在正四面体的每个面上都任意引一条高，有多少种方案？18一幅正方形的肖像与立方体的一个面一样大，6 幅相同的肖像贴在正立方体的 6 个面上有多少种贴法？19 （1）本质上有多少种确实是 2 个输入端的布尔代数？写出其布尔表达式；（2）本质上有多少种确实是 3 个输入端的布尔电路？20用 8 个相同的骰子垛成一个正六面体，有多少种方案？21正六面体的 6 个面和 8 个顶点分别用红、蓝两种颜色的珠子嵌入。8
