1、1-23.(a)在 2n个球中，有 n个相同。求从这 2n个球中选取 n个的方案数。(b)在 3n+1个球中，有 n个相同。求从这 3n+1个球中选取 n个的方案数。解.(a)相当于从 n个不同的小球中取出 m个小球(0mn),再从 n个相同的小球中取出 n-m个小球，m=0,1,2,n 的方案数。根据加法原理，这个方案数应该是： C(n,0)+ C(n,1)+ C(n,n)=2n。同理，考虑 3n个不同的球放入 n个不同的合子里，每合 3个的方案数。这个方案数应该是整数。(b)相当于从 2n+1个不同的小球中取出 m个小球(0mn),再从 n个相同的小球中取出 n-m个小球，m=0,1,2,
2、n 的方案数。根据加法原理，这个方案数应该是： C(2n+1,0)+ C(2n+1,1)+ C(2n+1,n)。1-24.证明在由字母表0,1,2生成的长度为 n的字符串中(a)0出现偶数次的字符串有 个；213n(b) ,其中20nqnn 2q证.(a)方法一：采用（串值）数学归纳法基始当 n=1时，0 出现偶数次，长度为 1的字符串有 =2个（即 1和 213两个长度为 1的字符串） 。所证结论成立；归纳假设当 n=m(1mk)时，假设所证结论成立。即，0 出现偶数次，长度为 m的字符串有 个；23归纳当 n=k+1时，0 出现偶数次，长度为 k+1的字符串包括两部分：(1)给 0出现偶数
3、次，长度为 k的字符串后面再增加一位不是 0的数（只能是 1或 2） ，因此，按乘法原理，由归纳假设，此种字符串有 2=3k+1个；213k(2)给 0出现奇数次，长度为 k的字符串后面再增加一位是 0的数，因此，按乘法原理，由归纳假设，此种字符串有 1= 个；213kk所以，按加法原理，0 出现偶数次，长度为 k+1的字符串共有(3k+1)+ = 个。所证结论成立；213kk归纳完毕。方法二：采用指数型母函数方法设：a n0出现偶数次，长度为 n的字符串的个数，则a n的指数型母函数!)(0xaAn)!32!1)(!64!21( xxxxe23 )!32!1()!3()!1(2 xxx)23
4、2所以， （规定 a0=1） 。3na(b)利用组合意义法来证考虑 0出现偶数次，长度为 n的字符串的个数。根据上面(a)，已证其个数为 ；213n另一方面，相当于先从 n个位置中选取 2m(02mn)个（有 种选择）mn2放置上数 0,再在剩下的 n-2m个位置上放置数 1或 2（有 2n-2m种放法） ，按乘法原理，是 个，m=0,1,2,q ( )的方案数。mn2 nq按加法原理，此方案数为 。因此，我们有qnnn220。1320nqnn1-26.在由 n个 0及 n个 1构成的字符串中，任意前 k个字符中，0 的个数不少于 1的个数的字符串有多少？解.转化为格路问题（弱领先条件参见P3
5、6例 4该例是强领先条件） 。即从(0,0)到(n,n)，只能从对角线上方走，但可以碰到对角线。它可看作是从(0,1)到(n,n+1)的强领先条件（只能从对角线上方走，但不可以碰到对角线）的格路问题。更进一步的，它可看作是从(0,0)到(n,n+1)的强领先条件的格路问题(因为此种格路第一步必到(0,1)格点)。故这样的字符串有- =C(2n,n)-C(2n,n-1)个。n1)010)(n(n+1,n+1)(0,1)(1,0)(n,n+1)(n,n)(0,0)第 26 题图 11-27.在 1到 n的自然数中选取不同且互不相邻的 k个数，有多少种选取方案？解.设： g(n,k)为从 1n中选取
6、不同且互不相邻的 k个数的方案数。于是，按这 k个数中有无数 n而分为两种情况：(1)若选 n，则必不能选 n-1，故此种方案数为 g(n-2,k-1)；(2)若不选 n，则可以选 n-1，故此种方案数为 g(n-1,k)；所以，按加法原理，总的方案数 g(n,k)=g(n-2,k-1)+g(n-1,k)。且只有当 n2k-1 时， g(n,k)0；否则 g(n,k)=0。因此，可给定初始值：g(2k-1,k)=1， g(2k-2,k)=0。2-18.在一圆周上取 n个点，每一对顶点可做一弦。不存在三弦共点的现象，求弦把圆分割成几部分？解.(参见 P 98例 6)设 an为过 n个点的每两点作
7、一条弦，且不存在三弦共点的现象，弦把圆分割成部分的个数。其中过 n-1个点所作弦把圆分割成的部分为 an-1，第 n个点可以引出 n-1条弦，第一条弦增加一个部分，第二条弦增加 1(n-3)+1个部分，第三条弦增加 2(n-4)+1个部分，第 k条弦增加(k-1)(n-k-1)+1个部分，第n-1条弦增加(n-1-1)(n-(n-1)-1)+1=1个部分。故 1)(121 nknkann= )()()(221kkn= 1)(3121naknn= 1)52()(621 nn= 13)(61 nnan v5v6v1第 14 题图v4v3v2v7且 ， ， ， ，2a438a1653a从而有 nnn
8、 )2(611于是 同理可得 )1()1(12an故有 2n同理可得 )(123n故有 aan同理可得 1234n故有 46n同理可得 12345 nn aaa故有 0501nn对应的特征方程为 15234rrr即 r=1是 5重根0)1(所以 )5(4)3(2!41 )4(3)2(!31! nnEnDCBAann=2时， a2=A=2n=3时， a3=A+B=4， B=2n=4时， a4=A+2B+C=8， C=2n=5时， a5=A+3B+3C+D=16， D=2n=6时， a6=A+4B+6C+4D+E=31， E=1故 4232)2( nnn或 )5(4)3(2!41)4(3)(!1!
9、nn nan或 。)241836(2412nnan2-19.求 n位二进制数中相邻两位不出现 11的数的个数。解.设： ann位二进制数种相邻两位不出现 11的数的个数；n位二进制数种相邻两位不出现 11的数的个数，可分为两个部分：(1)第 n位是 0，这时第 n-1位既可以是 0又可以是 1，故从第 1位到第 n-1位形成 n-1位二进制数中相邻两位不出现 11的数，相应的数的个数为 an-1；(2)第 n位是 1，这时第 n-1位只能是 0，第 n-2位既可以是 0又可以是1，故从第 1位到第 n-2位形成 n-2位二进制数中相邻两位不出现 11的数，相应的数的个数为 an-2；因此，按加
10、法原理，n 位二进制数中相邻两位不出现 11的数的个数an= an-1+an-2 。初始条件 a1=2， a2=3因此，显然有 an=Fn+2所以，n 位二进制数中相邻两位不出现 11的数的个数是。)251()25(nn2-20.从 n个文字中取 k个文字作允许重复的排列，但不允许一个文字连续出现三次，求这样的排列的数目。解.设： ak从 n个文字中取 k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目；从 n个文字中取 k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目，可分为两个部分：(1)第 k位与第 k-1位不相同，因此，在前 k-1位已形成满足条件
11、的 k-1位排列时，第 k位只能有 n-1种选择，相应的排列个数为(n-1) ak-1；(2)第 k位与第 k-1位相同，因此，在前 k-2位已形成满足条件的 k-2位排列时，第 k位与第 k-1位一起只有 n-1种选择，相应的排列个数为(n-1) ak-2；因此，按加法原理，从 n个文字中取 k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目ak=(n-1)ak-1+(n-1)ak-2 。初始条件： a1=n， a2=n2， a3=n3-n方程为：r 2-(n-1)r-(n-1)=0根为： ，)()(1nn 2)3(1)(2nnr故递归方程的通解为： ak=Ak+Bk利用方
12、程组： A+B=nA2+B2=n2利用根，满足方程，可得方程组： nB1解之，得 213)(1)(nnBnA所以，从 n个文字中取 k个文字作允许重复的排列，没有一个文字连续出现三次，这样的排列的数目 )23(1)(213)23(1)(213)(1 kkk nnnnna 。2.42. 设 an满足 an an1 an2 = 0， bn满足 bn 2bn1 bn2 = 0， cn = an + bn， n =0, 1, 2, 3, ，试证序列 cn满足一个四阶线性常系数齐次递推关系。解方法一：(特征系数法)由于序列 an满足递推关系： an an1 an2 = 0 故显然也满足递推关系：(an
13、an1 an2) + A1(an1 an2 an3) + A2(an2 an3 an4) = 0这里 A1， A2为任意常数整理为： an + (A1 1)an1+ (A2 A1 1)an2 (A1 + A2)an3 A2an4 = 0 由于序列 bn满足递推关系： bn 2bn1 bn2 = 0故显然也满足递推关系：(bn 2bn1 bn2) + B1(bn1 2bn2 bn3) + B2(bn2 2bn3 bn4) = 0这里 B1， B1为任意常数整理为： bn + (B1 2)bn1+ (B2 2B1 1)bn2 (B1 + 2B2)bn3 B2bn4 = 0 令： 2211 1211
14、BA解之得： ，2112将此解代入和 ，有： an 3an1 + 3an3 + an4 = 0 bn 3bn1 + 3bn3 + bn4 = 0 将 +，并注意到 cn = an + bn，我们有：cn 3cn1 + 3cn3 + cn4 = 0 这就是序列 cn所满足的四阶线性常系数齐次递推关系。方法二：(特征根法)序列 an的递推关系： an an1 an2 = 0 特征方程： 2 1 = 0特征根： 1 = ， 2 =55故其通解为： bn = A( )n + B( )n1251序列 bn的递推关系： bn 2bn1 bn2 = 0特征方程： 2 2 1 = 0特征根： 1 = ， 2
15、=故其通解为： bn = C( )n + D( )n 121于是有： cn = an + bn = A( )n + B( )n + C( )n + D( )n552121因此序列 cn所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为：( )( ) ( ) ( ) = 02512512121整理为：( 2 1)( 2 2 1) = 0再整理为： 4 3 3 + 3 + 1 = 0因此，对应的四阶线性常系数齐次递推关系为： cn 3cn1 + 3cn3 + cn4 = 0 。2.43.在习题 2.42中，若 cn = anbn，试讨论之。解(特征根法)序列 an的递推关系： an an1 an2 =
16、0 特征方程： 2 1 = 0特征根： 1 = ， 2 =55故其通解为： bn = A( )n + B( )n1251序列 bn的递推关系： bn 2bn1 bn2 = 0特征方程： 2 2 1 = 0特征根： 1 = ， 2 =故其通解为： bn = C( )n + D( )n 121于是有： cn = anbn = A( )n + B( )n C( )n + D( )n2552121= AC( )n( )n + AD( )n( )n 121+ BC( )n( )n + BD( )n( )n 2521521因此序列 cn所满足的线性常系数齐次递推关系的特征多项式为： ( ) ( )2512
17、51 ( ) ( ) = 011整理为： 2 ( ) ( )2 2 ( ) ( )2 = 055551再整理为： 4 2 3 7 2 2 + 1 = 0因此，对应的四阶线性常系数齐次递推关系为： cn 2cn1 7cn2 2cn3 + cn4 = 0 。2.44. 设 an和 bn均满足递推关系 xn + b1xn1+ b2xn2 = 0，试证：(a) anbn满足一个三阶齐次线性常系数递推关系；(b) a0, a2, a4, 满足一个二阶线性常系数齐次递推关系。证(a)(特征根法)二阶齐次线性常系数递推关系 xn + b1xn1+ b2xn2 = 0的特征方程为：x2 + b1x + b2
18、= 0设其特征根为 1， 2(1)如果 1 2 ，则有： an = A + B ， bn = C + Dn1n2n1n2于是： cn = anbn = (A + B )(C + D )1n2n12= AC( )n + (AD + BC)(12)n + BD( )n21 2这说明 cn满足一个三阶齐次线性常系数递推关系。其特征方程为：( x )(x 12)(x ) = 0 21 2整理为： x3 ( + 12 + )x2 + ( + + )x (12)3 = 02 23121321由于 1 + 2 = b1， 12 = b2，故 + 12 + = b21因此有： x3 ( b2)x2 + b2(
19、 b2)x = 01 132故此 cn满足如下的三阶齐次线性常系数递推关系：cn ( b2)cn1 + b2( b2)cn2 cn3 = 0 。1 1(2)如果 1 = 2 = ，是一个二重根，则有： an = (A + Bn) n ， bn = (C + Dn) n于是： cn = anbn = (A + Bn) n(C + Dn) n = AC + (AD + BC)n + BDn2( 2)n这说明 cn满足一个三阶齐次线性常系数递推关系。其特征方程为：( x3 2)3 = 0整理为： x3 3 2x2 + 3 4x 6 = 0 由于 2 = b1， 2 = b2因此有： x3 3b2x2
20、 + 3 x = 032故此 cn满足如下的三阶齐次线性常系数递推关系：cn 3b2cn1 + 3 cn2 cn3= 0 。b(b) (特征根法)二阶齐次线性常系数递推关系 xn+b1xn1+b2xn2 = 0 的特征方程为x2+ b1x+b2 = 0设其特征根为 1， 2(1)如果 1 2 ，则有： an = A +Bn1n2于是 a2n = A +Bn)(1n)(2因此，这说明 a2n满足一个二阶齐次线性常系数递推关系其特征方程为 ( x )(x ) = 0212整理为： x2( + )x+ = 01221由于 1+2 = b1， 12 = b2 ，故有 + = 2b2211于是 x2(
21、2b2)x+ = 012故此序列 a2n满足一个二阶齐次线性常系数递推关系为：cn ( 2b2)cn1 + cn2= 0 。1(2)如果 1 = 2 = ，是一个二重根，则有： an = (A+Bn)n于是 a2n = (A+Bn)( 2)n 因此，这说明 a2n满足一个二阶齐次线性常系数递推关系其特征方程为 ( x 2)2 = 0整理为： x22 2x+ 4= 0由于 2 = b1， 2= b2，于是 x22b2x+ = 02故此序列 a2n满足一个二阶齐次线性常系数递推关系为：cn 2b2cn1 + cn2= 0 。3.22.求满足条件： x1+x2+x3=203 x19，0 x28，7
22、x317的整数解的数目。解.方法一：利用容斥原理二不定方程与如下的不定方程 等价：x1+x2+x3=100 x16，0 x28，0 x310 (这可通过作变换 来实现)。73321x对应于不定方程的不受限的不定方程为：x1+x2+x3=10x10， x20， x30设：X= x|x=(x1,x2 ,x3)是不定方程的解;A1= x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程的解且 x16+1=7;A2= x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程的解且 x28+1=9;A3= x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程的解且 x310+1=11;因此,根据定理 3.6.4.可知，不定方程的解的数目
23、：p0=|X|= = = = =661021A1对应的不定方程是：x1+x2+x3=10x17， x20， x30令： (10, 20, 30)。利用我们得到：3211+2+ 3=( x1-7)+ x2+ x3=( x1+x2+x3)-7=10-7=3所以不定方程的解与下列不定方程：1+2+ 3=310, 20, 30的解一一对应。故根据定理 3.6.4.可知，不定方程的解的数目为：|A1|= = = = =103514同理可得：|A2|= = =3910)(3 A3对应的不定方程是：x1+x2+x3=10x10， x20， x311由于解若满足条件 x10， x20， x311，则有 x1+
24、x2+x30+0+11=1110故不定方程没有解，即|A2|=0因此 p1=|A1|+|A2|+|A3|=10+3+0=13A1A2对应的不定方程是：x1+x2+x3=10x17， x29， x30由于解若满足条件 x17， x29， x30，则有 x1+x2+x37+9+0=1610故不定方程没有解，即|A1A2|=0同理可得：|A 1A3|=0，| A2A3|=0因此 p2=|A1A2|+|A1A3|+|A2A3|=0+0+0=0A1A2A3对应的不定方程是：x1+x2+x3=10x17， x29， x311由于解若满足条件 x17， x29， x311，则有 x1+x2+x37+9+11
25、=2710故不定方程没有解，即p3=| A1A2A3|=0所以，不定方程、也即不定方程 的解的数目为：q0=| |= p0-p1+ p2- p3=66-13+0-0=53 。321方法二：利用母函数方法不定方程对应的 母函数是：(1+x+x2+x3+x4+x5+x6)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8)(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10) =(1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5+7x6+7x7+7x8+6x9+5x10+4x11+3x12+2x13+x14) (1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)不定方程的解的数目
26、为上述母函数中 x10的系数：11+21+31+41+51+61+71+71+71+61+51=1+2+3+4+5+6+7+7+7+6+5=53 。3.23.求满足下列条件：x1+x2+x3=406 x115，5 x220，10 x325的整数解的数目。解.(仿 3.22题)方法一.利用容斥原理二，不定方程与如下的不定方程等价：x1+x2+x3=190 x1 9，0 x2 15，0 x3 15(这可通过作变换 来实现)。105632x对应于不定方程的不受限的不定方程为：x1+x2+x3=19x10， x20， x30设：X= x|x=(x1,x2 ,x3)是不定方程的解;A1= x|x=(x1
27、,x2 ,x3) 是不定方程的解且 x19+1=10;A2= x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程的解且 x215+1=16;A3= x|x=(x1,x2 ,x3) 是不定方程的解且 x315+1=16;因此,根据定理 3.6.4.可知，不定方程的解的数目：p0=|X|= = = = =21091210A1对应的不定方程是： x1+x2+x3=19x110， x20， x30令： (10, 20, 30)。利用我们得到：3211+2+ 3=( x1-10)+ x2+ x3=( x1+x2+x3)-10=19-10=9所以不定方程的解与下列不定方程：1+2+ 3=910, 20, 30的解
28、一一对应。故根据定理 3.6.4.可知，不定方程的解的数目为：|A1|= = = = =55912同理可得：|A2|= = = = =10163)(3514|A3|= = = = =10因此9)(2p1=|A1|+|A2|+|A3|=55+10+10=75A1A2对应的不定方程是：x1+x2+x3=19x110， x216， x30由于解若满足条件 x110， x216， x30，则有x1+x2+x310+16+0=2619故不定方程没有解，即|A1A2|=0同理可得：|A 1A3|=0，| A2A3|=0因此 p2=|A1A2|+|A1A3|+|A2A3|=0+0+0=0A1A2A3对应的不
29、定方程是：x1+x2+x3=19x110， x216， x316由于解若满足条件 x110， x216， x316，则有 x1+x2+x310+16+16=4219故不定方程没有解，即p3=| A1A2A3|=0所以，不定方程、也即不定方程 的解的数目为：q0=| |= p0-p1+ p2- p3=210-75+0-0=135 。321方法二：利用母函数方法不定方程对应的 母函数是：(1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9) (1+x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11+x12+x13+x14+x15)2110321610)(=(1-x10-2x16
30、+2x26+x32-x42) nxx224(参见第三版习题 2.16(P199)或第二版第二章习题 7(P131)不定方程的解的数目为上述母函数中 x19的系数：1 -1 -22125= - -204=210-55-20=135 。3.24.求满足下列条件的整数解的数目：x1+x2+x3+x4=201 x15，0 x27，4 x38，2 x46。解.(仿题 3.22)方法一：利用容斥原理二，不定方程与如下的不定方程等价：x1+x2+x3+x4=130 x14，0 x27，0 x34，0 x44 (这可通过作变换 来实现)。24143x对应于不定方程的不受限的不定方程为：x1+x2+x3+x4=
31、13x10， x20， x30， x40设：X= x|x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程的解;A1= x| x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程的解且 x14+1=5;A2= x| x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程的解且 x27+1=8;A3= x| x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程的解且 x34+1=5;A4= x| x=(x1,x2 ,x3,x4)是不定方程的解且 x44+1=5;因此,根据定理 3.6.4.可知，不定方程的解的数目：p0=|X|= = = = =56013631125A1对应的不定方程是：x1+x2+x3+x4=13x15， x20， x
32、30， x40令： (10, 20, 30, 40)。利用我们得到：43215x1+2+ 3+4=( x1-5)+ x2+ x3+x4=( x1+x2+x3+x4)-5=13-5=8所以不定方程的解与下列不定方程：1+2+3+4=810, 20, 30, 40的解一一对应。故根据定理 3.6.4.可知，不定方程的解的数目为： |A1|= = = = =16584131290同理可得：|A2|= = = = =5613)(5867|A3|= = = = =165)(48131290|A4|= = = = =16551)(因此 p1=|A1|+|A2|+|A3|+|A4|=165+56+165+1
33、65=551A1A 2对应的不定方程是：x1+x2+x3+x4=13x15， x28， x30， x40令： (10, 20, 30, 40)。利用我们得到：43218x1+2+3+4=(x1-5)+(x2-8)+ x3+x4=( x1+x2+x3+x4)-(5+8)=13-13=0所以不定方程的解与下列不定方程：1+2+3+4=010, 20, 30, 40的解一一对应。故根据定理 3.6.4.可知，不定方程的解的数目为：|A1A 2| = = =1同理可得：|A 1A 3| = = = =2051)(4361245|A1A 4| = = = =20)(|A2A 3| = = =1581)(
34、03 |A2A 4| = = =15813)(03|A3A 4| = = = =20因此 513)(4361245p2=|A1A 2|+|A1A 3|+|A1A 4|+|A2A 3|+|A2A 4|+|A3A 4|=1+20+20+1+1+20=63A1A 2A 3对应的不定方程是：x1+x2+x3+x4=13x15， x28， x35， x40由于解若满足条件 x15， x28， x35， x40，则有 x1+x2+x3+x45+8+5+0=1813故不定方程没有解，即 |A 1A 2A 3| = 0同理可得：|A 1A 2A 4| = 0，|A 1A 3A 4| = 0，|A 2A 3A
35、4| = 0p3=|A1A 2A 3|+|A1A 2A 4|+|A1A 3A 4|+|A2A 3A 4| = 0+0+0+0 = 0A1A 2A 3A 4对应的不定方程是：x1+x2+x3+x4=13x15， x28， x35， x45由于解若满足条件 x15， x28， x35， x40，则有 x1+x2+x3+x45+8+5+5=2313故不定方程没有解，即p4=| A1A 2A 3A 4|=0所以，不定方程、也即不定方程 的解的数目为：q0=| | = p0 p1+p2 p3+p4=560551+630+0=72。1234方法二.利用母函数方法,不定方程对应的母函数是：(1+x+x2+x
36、3+x4+x5+x6+x7)(1+x+x2+x3+x4)381150581()(=(1-3x5-x8+3x10+3x13-x15-3x18+x23) n3342 (参见第三版习题 2.16(P199)或第二版第二章习题 7(P131)不定方程的解的数目为上述母函数中 x13的系数：1 -3 -1 +3 +33613863= -3 - +3 +3124529017245=560-495-56+60+3=72 。3.58.n 个人的集体，试证存在两个人，在余下的 n-2个人中，至少有 -1个2n人要么与二人互相认识，要么与这两人均不相识。证. 证法一. 如果一个人在晚会上认识 k个人，那么有 k(
37、n-k-1)对，他只认识其中一个人而不认识另一个人，所以有 对，他都认识或都)1(2n不认识。由 AM-GM不等式 4)3()(1)(212 nkn引入 个盒子，一个盒子对应晚会上的一对人，对晚会上的三个人 。2n ,abc如果 c认识 a和 b或既不认识 a也不认识 b，则就将 c放入盒子 ，所以我,们至少有 个物品放入 个盒子。由鸽巢原理，一个盒子至少4)3(1n2)1(n有 123/)1(4nn个物品。证法二. 将问题转换为图论问题： n个人看作 n个结点，相互认识的两人的一对结点间连一条边，这样就构成一 n阶简单图 G=(V,E) 。于是问题是要证存在着两个结点，在余下的 n-2个结点
38、中，至少有 -1个结点要么与这二结2/点都相邻，要么与这两结点均不相邻。考虑偶对(X, Y, Z)的数目，这里 X, Y, Z是互不相同的这样的三个结点，使得 X正好只与 Y, Z中的一个相邻。如果 X只与 k个结点相邻，那么只有 k(n - 1 - k) k(n - k) (n - 1)2/4个(X, Y, Z)这样的偶对。因此整个地至多有 n(n - 1)2/4个这样的偶对。而可能的Y, Z有 n(n - 1)/2 个。所以我们一定能够找到这样一个A, B，使得它至多属于 个这样的偶对。因此2/)1(n至少有 (n - 2)- = -1个结点，它们或者与 A和 B都相邻，或者2/)1(/n
39、与 A和 B都不相邻。(如果符号 引起困惑，那么请分别考虑 n = 2m 与 n = 2m+1！)证法三. 将 n个人看作 n个结点，若两个人互相认识，则在表示他们的两个结点间连一条边，从而我们得到一个简单无向图 G=(V,E)，并且|V|= n。并设|E|=m。另外，我们设图 G的补图为 =(V, )。并设| |= 。于是 m+ = n(n-E211)。问题变为要证：在图 G中，至少存在着一对结点 v0和 w0，在余下的 n-2个结点中至少有 -1个结点，每个结点 u与 v0、 w0二结点或者都有边相连，或2n者都无边相连。(1)在图 G中考虑由三个结点 u,v,wV 构成的如下形式的向量(
40、 u,(v,w)，其中( u,v)E ,(u,w)E，于是这种向量在 G中的个数为 。根据图VG2)(degu论基本定理：各结点度数的总和是边数的二倍，有 =2m。在边数 m固)(定的条件下，将 degG(u)看成连续变量，根据条件极值的 Lagrange乘子法，求条件极值，易知当所有的 degG(u)= 时， 达到极小值，故有nm2VG2)(degu m( -1)。VG2)degun(2)同理，在补图 中，也有向量( u,(v,w) 的个数 (VG2)(degum-1)。n2因此，由 AM-GM不等式+ = m( -1) + ( -1) = -( m+ )VG2)(deguVG2)degun
41、n2n2m -( m+ )=( m+ ) -1。nm所以，在图 G中，与任一对结点 v和 w都有边相连或都无边相连的结点 u的平均个数为( + ) / n(n-1) = -1= (n-1)-1( -1)-VG2)(deguVG2(degu1nm212n1。因而，根据鸽巢原理二的推论 3.8.3可知，在图 G中，至少存在着一对结点 v0和 w0，在余下的 n-2个结点中至少有 -1个结点，每个结点 u与 v0、 w0二结2点或者都有边相连，或者都无边相连。注.来源于 USA MO 1985/4，计算机 56班 王绍鹏同学提供搜索，作者翻译并整理。AM-GM不等式：几何平均值（GM）小于算术平均值
42、（AM） 。证法一由一个不知名的中国人给出；证法二由一个不知名的外国人给出；证法三由作者给出。3.60.下列 mn矩阵的元素是实数 mnmnaa 212112每行的最大元素与最小元素之差不超过 d0。对每列元素进行重新排列成递减序列，即最大元素在第 1行，最小元素在第 m行。试证经过重排后的矩阵，每行最大元素与最小元素之差仍然不超过 d。证. 假设相反的，在重排的矩阵(其元素我们表示为 bij , 1 i m, 1 j n)中，第 i行的最大元素与最小元素之差超过 d。设这些元素分别是 bij 和 bik。那么考虑 n+1个元素b1j b2j bij bik bi+1 k bm k它们在重排的矩阵中处于位置 mkkiijjbb1121根据鸽巢原理，这 n+1个元素必有两个元素在原矩阵中是在同一行中。它们之一应该是 bpj，对某一 p i，而另一个应该是 bq k，对某一 q i。无论如何bpj - bq k bij - bik d 。因此，在原矩阵中那 一 行的最大元素与最小元素之差也超过 d。这是一个矛盾。3.61.n 个单位各派两名代表出席一会议，2n 位代表围一圆桌坐下
