1、1.1 题（宗传玉）从1，2，50中找两个数a，b，使其满足（1）|a-b|=5；（2）|a-b| 5；解：（1）：由|a-b|=5 a-b=5或者 a-b=-5，由列举法得出，当 a-b=5时，两数的序列为（6，1） （7，2）（50，45） ，共有 45对。当 a-b=-5时，两数的序列为（1，6） ， （2，7）（45，50）也有 45对。所以这样的序列有 90对。（2）：由题意知，|a-b| 5 |a-b|=1或|a-b|=2 或|a-b|=3 或|a-b|=4 或|a-b|=5 或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5 时 有 90对序列。当|a-b|=1 时，两数的序列有（1，2
2、） ， （3，4） ， （2，1） （1，2）（49，50） ，（50，49）这样的序列有 49*2=98对。当此类推当|a-b|=2，序列有 48*2=96对，当|a-b|=3 时，序列有 47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有 46*2=92对，当|a-b|=0 时有 50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题（王星）解：（a）可将 5个女生看作一个单位，共八个单位进行全排列得到排列数为：8！5！，（b）用 x表示男生，y 表示空缺，先将男生放置好，共有 8个空缺，Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y在其中任取 5个得到女生两两不相
3、邻的排列数：C（8，5）7！5！（c）先取两个男生和 3个女生做排列，情况如下：6. 若 A，B 之间存在 0个男生， A，B 之间共有 3个人，所有的排列应为P6=C(5,3)*3!*8!*21若 A，B 之间存在 1个男生， A，B 之间共有 4个人，所有的排列应为P1= C(5,1)*C(5,3)*4!*7!*22若 A，B 之间存在 2个男生，A，B 之间共有 5个人，所有的排列应为P2=C(5,2)*C(5,3)*5!*6!*232若 A，B 之间存在 3个男生，A，B 之间共有 6个人，所有的排列应为P3=C(5,3)*C(5,3)*6!*5!*24若 A，B 之间存在 4个男生，
4、A，B 之间共有 7个人，所有的排列应为P4=C(5,4)*C(5,3)*7!*4!*25若 A，B 之间存在 5个男生，A，B 之间共有 8个人，所有的排列应为P5=C(5,5)*C(5,3)*8!*3!*2所以总的排列数为上述 6种情况之和。1.3题（王丹竹）m个男生，n 个女生，排成一行，其中 m,n都是正整数，若(a)男生不相邻 ;)1(n(b)n个女生形成一个整体；(c)男生 A和女生 B排在一起；分别讨论有多少种方案。解：(a) 可以考虑插空的方法。n个女生先排成一排，形成 n+1个空。因为 正好 m个男生可以插在 n+1个空中，1n形成不相邻的关系。则男生不相邻的排列个数为 p(
5、b) n个女生形成一个整体有 n！种可能，把它看作一个整体和 m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。因此，共有 种可能。)!1(m(c)男生 A和女生 B排在一起，因为男生和女生可以交换位置，因此有 2！种可能，A、B 组合在一起和剩下的学生组成排列有(m+n-1)！(这里实际上是 m+n-2个学生和 AB的组合形成的)种可能。共有组合数为 )!(!2n14 题（孔令琦）26 个英文字母进行排列，求 x 和 y 之间有 5 个字母的排列数解 C（24，5）*13！1.5题（周英华）求 3000到 8000之间的奇整数的数目，而且没有相同的数字。解：根据题意，千位可以从 3，4，5，7
6、，6 中选取，个位可以从 1，3，5，7，9 中选取；因此 2*5*8*7+3*4*8*7=12321.6 题（翟聪）计算，11！+22！+33！+。 。 。+nn！解：由序数法公式可知1!+1=2!22!+11!+1=3!33！+22！+11！+1=4！nn!+(n-1)(n-1)!+。 。 。+22!+11!+1= (n+1)!所以 11！+22！+33！+。 。 。+nn！=(n+1)!1.7题（王卓）试证：被 2n除尽。)()(1n证明：因 !)1(!)(n !)12(!)2!()(21 nnn 因为(2n-1)!是整数所以 能被 2n除尽。)(2)(1n18 题（王振华）求 和 的公
7、因数数目。4032解：因为 10340405*25*13263它们最大公因子为 转化为求 最大公因子 能除尽的整数个数，能除尽它304的整数是,0,5*2baba根据乘法法则，能除尽它的数个数为41*31=12711.9题（王居柱）试证 的正除数的数目是奇数。2n证明：设有 , , 则一定有表达式 ，0an2bn2nab则 可知符合范围的 和 必成对出现，所以为偶数。又当 a=b=n时，表达式 =a b仍然成立。2所以 的正除数的数目是“偶数 ”为奇数。2n11.10 题（王健）证任一正整数 n 可唯一地表成如下形式: ,0a ii,i 1,2,。证：对 n 用归纳法。先证可表示性：当 n=0
8、,1 时，命题成立。假设对小于 n 的非负整数，命题成立。 对于 n,设 k!n(k+1)!, 即 0 n-k!kk! 由假设对 n-k!,命题成立，设 ，其中 ak k-1, ，命题成立。再证表示的唯一性： 设 , 不妨设 ajb j,令 j=maxi|aib iajj!+aj-1(j-1)!+a11! =bjj!+bj-1(j-1)!+b11!, !)(!)(!)( iabiabijiabja iiij矛盾，命题成立。1.11 题（孙明柱）证明 nC(n-1,r)= (r+1)C(n,r+1),并给予组合解释.证： )1,()1(!)()(!1!1)(,rnCrrrnnC所以左边等于右边组
9、合意义：等式左边：n 个不同的球，先任取出 1 个，再从余下的 n-1 个中取 r 个；等式右边：n 个不同球中任意取出 r+1 个，并指定其中任意一个为第一个。所以两种方案数相同。 1.12 题（李拂晓）证明等式： 112),(nnkC证明： 右 边等 式 左 边 1 1012),(),()0,(n nsnknk CC1.13 题（高亮）有 N个不同的整数，从中间取出两组来，要求第 1组的最小数大于另一组的最大数。解题思路：（取法由大到小）第 1 步：从 N 个数由大到小取一个数做为第一组，其它 N-1 个数为第二组，组合数为：c（n,1）*c(n-1,1)+c(n-1,2)-+c(n-1,
10、n-1)第 2 步：从 N 个数由大到小取两个数做为第一组，其它 N-2 个数为第二组，组合数为：c（n,2）*c(n-2,1)+c(n-2,2)-+c(n-2,n-2)第 n-2 步：从 N 个数由大到小取 n-2 个数做为第一组，其它 2 个数为第二组，组合数为：c（n,n-2 ）*c(2,1)第 n-1 步：从 N 个数由大到小取 n-1 个数做为第一组，其它 1 个数为第二组，组合数为：c（n,n-1 ）*c(1,1总的组合数为： )1,(,()1,2,( )2,2,(), ()()1( CnCn n 1.14 题（顿绍坤）6 个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从特定
11、一引擎开始有多少种方案？解：第 1 步从特定引擎对面的 3 个中取 1 个有 C(3,1)种取法，第 2 步从特定引擎一边的 2个中取 1 个有 C(2,1)种取法，第 3 步从特定引擎对面的 2 个中取 1 个有 C(2,1)中取法，剩下的每边 1 个取法固定。所以共有 C(3,1)C(2,1)C(2,1)=12 种方案。1.15 题（陈兴）求 1 至 1000000 中 0 出现的次数。解：当第一位为 0 时，后面 6 位组成的数可以从 1-100000，共 100000 个 0；当第二位为 0 时，当第一位取 0-9时，后面 5 位可以取 1-9999，此外当第一位取 0时，后面 5位还
12、可以取为 10000，这样共有 9999*10+1=99991个 0；同理第三位为 0时，共有 99901个 0； 第四位为 0时，共有 99001个 0；第五位为0时，共有 90001个 0；第六位为 0时，只有 1个 0；这样总共的 0数为：100000+99991+99901+99001+90001+1=488895。1.16题（陈兴）n个相同的球放到 r个不同的盒子里，且每个盒子里不空的放法。解：如果用“O”表示球，用“|”表示分界线，就相当于用 r-1个“|”把 n个“O”分成r份，要求是每份至少有一个球。如下图所示： 00|00000000|00000000|00000|00000
13、0对于第一个分界线，它有 n-1种选择，对于第二个分界线只有 n-2个选择，(因为分界线不能相临，如果相临它们之间就没有了球，这不合要求)，依次第 r-1个分界线只有 n-(r-1)种选择。但是这样的分法中存在重复，重复度为(r-1)!,所以总得放法为：(n-1)*(n-2)*(n-r+1)/(r-1)!=C(n-1,r-1)。1.17 题（顿绍坤）和 都是正整数，而且 ，试证下列等式：nrnr)(!)(,)()1()( 111 ppprnrrnrnrnrrrnredcba解：(a) 等式成立。nrnrr)!()!(1(b) 等式成立。ppnrnrn )!()!1()(1(c) 等式成立。nr
14、nrr)!()!(d) pnrnrr rnrnrnr11)!( )!1()!1()!1(!)1(! (e)利用(d)的结论可证明本题。ppnr nrnrrrr rrnrnrr r1 11211111)(! 1.18 题（高亮）8 个盒子排成一列，5 个有标志的球放到盒子中，每盒最多放一个球，要求空盒不相邻，问有多少种排列方案？解：要求空盒不相邻，这样球的位置共有 8 种而不同标志的球的排列有 !5p所以共有 8*5！种排列。8 种排列如下两类因为要求空盒不相邻，途中 1 代表球a) 1 1 1 1b) 1 1 1 1在 a)中 剩下的一个球有四种位置b)中剩下的一个球也有四种位置两者合起来一共
15、有 8 种1.19 题（李拂晓）n+m 位由 m 个 0，n 个 1 组成的符号串，其中 nm+1,试问不存在两个 1相邻的符号串的数目。解：m个 0进行排列，留出 m+1个空挡，任选 n 个空挡放 1，共有 C(m+1,n)种方案. 1.20 题（孙明柱）甲单位有 10 个男同志，4 个女同志，乙单位有 15 个男同志，10 个女同志，由他们产生一个 7 人的代表团，要求其中甲单位占 4 人，而且 7 人中男同志占 5 人，试问有多少中方案？解：1.甲单位出 4 个男同志，乙单位出 1 个男同志，从乙单位出 2 个女同志C(10,4)*C(15,1)*C(10,2)=1417502. .甲单
16、位出 3 个男同志，乙单位出 2 个男同志，从甲单位出 1 个女同志,从乙单位出 1 个女同志。C(10,3)*C(15,2)*C(4.1)*C(10,1)=5040003. .甲单位出 2 个男同志，乙单位出 3 个男同志，从甲单位出 2 个女同志.C(10,2)*C(15,3)*C(4,2)=1228501+2+3 即为所求，总的方案数为 7686001.21 题（王健）一个盒子里有 7 个无区别的白球，5 个无区别的黑球，每次从中随机取走一个球，已知前面取走 6 个，其中 3 个是白的，试问取第 6 个球是白球的概率。解：C（6,2）*C(5,2)*C(5,3)/C(5,3)C(7,3)
17、C(6,3)=3/141.22题 （王居柱）求图 1-22中从 O到 P的路经数:P(a)路径必须经过 A点; (b)路径必须过道路 AB;(c)路径必须过 A和 C(d)道路 AB封锁(但A,B两点开放)解: (a)分两步走 O(0,0)A(3,2)A(3,2)P(8,5)，根据乘法法则: 56032N(b)分两步走 O(0,0)A(3,2),B(4,2)P(8,5)，根据乘法法则:4（C）分三步走 O(0,0)A(3,2), A(3,2)C(6,3)，C(6,3)P(8,5)，根据乘法法则:240132N（d）AB 封锁路径数加必经 AB路径数即 O(0,0)P(8,5)的所有路径数有加法
18、法则可得：93750128342581.23 题（王振华）令 s=1,2,n+1,n2,T=(x,y,z)|x,y,zs, x=r 得：C(m,0)C(m,n)=C(m,n)C(n,0)同理：C(m,1)C(m-1,n-1)=C(m,n)C(n,1)C(m,n)C(m-n,0)=C(m,n)C(n,n)由上知：左边=C(n,0)+C(n,1)+ +C(n,n)C(m,n)由 =C(n,0) +C(n,1) +C(n,2) +C(n,n) ()nxynx1ny2nxyny令 x=y=1 可得 C(n,0) +C(n,1) +C(n,2) +C(n,n)= n左边=2 nC(m,n)=右边命题得证
19、。1.40 题（王健） 从 n 个人中选 r 个围成一圆圈，问有多少种不同的方案？解：圆排列:共有 P(n,r)/r 种不同的方案。1.41 题（孙明柱） 分别写出按照字典序，有给定排列计算其对应序号的算法及有给定序号计算其对应排列的算法。解：利用“字典序法” 生成下一排列的算法 ，计算该排列的对应序号，生成已知排列序号算法：设 int M 为每一排列的对应序号初始时： P1_P2_.Pi-1_Pi_Pi+1_.Pn_ (其中 P1_ 1当 n 为奇数,k=(n-1)/2 时（N-K+1）/K=(n+3)/2) * (2/(n-1)=1+4/(n-1) 1当 n 为奇数, k=(n+1)/2
20、时（N-K+1）/K=(n+1)2) * (2/(n+1) =1综上所述,当 n 取以上三种情况, C（N，K）取最大值1.44 题（顿绍坤）（a）用组合方法证明 和 都是整数。n2)!(n3（b）证明 是整数。12)!(n解：(a)方法一：因为： !)12(!)2(nn所以 !)12(!2)(!)( nnn是整数，因此 是整数。!)1(! n方法二：设有 2n 个不同球放入 n 个不同的盒子里，每盒两个，这个方案数应该是整数。对 2n 个球进行排列得到方案数为(2n)!。而把 2 个球放入同一个盒子里不计顺序，应该把全排列数除掉这些重复计算的次数，n 个盒子内部的排列共重复计算了 2 次。得
21、到 2n 个不同球放入 n个不同的盒子里，每盒两个的方案数 n)!(若有 3n 个不同的球,放入 n 个不同盒子,每个盒子放三个，这个方案应该是整数。对这 3n个球进行排列得到方案数为(3n)!。而把 3 个球放入同一个盒子里不计顺序，应该把全排列数除掉这些重复计算的次数，n 个盒子内部的排列共重复计算了 3！次。得到 3n 个不同的球放入 n 个不同的盒子里，每盒三个的方案数 nn2)!(!(b) 有 个不同的球，放入 n 个相同的盒子里，每盒 n 个，求方案数，方案数应该是一个2整数。按前面(a)的方法，应该得到 (n2)!/(n!)n是整数。另外由于 n 个盒子相同，放入不同的盒子是没有
22、区别的，应该把 n 个盒子的排列数 n!除去。因此得到(n 2)!/(n!)n+1 是整数。1.45题（陈兴）a）在 2n 个球中，有 n 个相同。求从这 2n 个球中选取 n 个的方案数解：有 n 个相同就有 n 个不相同取 n 个不相同和 0 个相同的为 C(n,n), 取 n-1 个不相同的球和 1 个相同的球为 C(n,n-1)，等等。所以总的方案数为 nCnCn 2,1,0, (b) 在 3n+1 个球中，有 n 个相同。求从这 3n+1 个球中选取 n 个的方案数方法同上，方案数为nC ,12,2,12由于 C(2n+1,0)=C(2n+1,2n+1), ,C(2n+1,n)=C(
23、2n+1,n+1)122,11,20,12 nnCnCn则nnC 212, 1.46题（陈兴）证明在由字母表0,1,2生成的长度为 n 的字符串中.(a)0 出现偶数次的字符串有 个；(b) ，其中 . 证：(a)归纳法：当 n=1 时,0 出现偶数次的字符串有 (31+1)/2=2 个(即 1,2),成立。假设当 n=k 时,0 出现偶数次的字符串有(3 k+1)/2 种。总的字符串有 3 种。0 出现奇数次的字符串有(3 k-1)/2 种。当 n=k+1 时，0 出现偶数次的字符串包括两部分：n=k 时,0 出现偶数次再增加一位不是 0 的，共有 2(3k+1)/2 种，0 出现奇数次再增
24、加一位 0,共有(3 k-1)/2 种。所以共有 2(3k+1)/2+(3k-1)/2=(3k+1+1)/2 种，证毕。(b) 等式左边第 m 项是 0 出现 m 次的字符串数，总和就是 0 出现偶数次的字符串数，右边由(a)得是 0 出现偶数次的字符串数，两边显然相等。1.47 题（顿绍坤）5 台教学机器 m 个学生使用，使用第一台和第二台的人数相等，有多少种分配方案？解：当使用第 1 台机器的学生为 n 个时，使用第 2 台机器的学生也为 n,从 m 个学生中选出2n 个使用这两台机器，剩余的学生可以任意使用剩下的机器的组合数为 C(m,2n)C(2n,n)3(m-2n)。所以总的方案数为
25、 23),2(,0)2(qCmqn nm1.48 题（高亮）在由 n 个 0 及 n 个 1 构成的字符串中，在任意前 k 个字符中，0 的个数不少于 1 的个数的字符串有多少？解：转化为格路问题(弱领先条件 ),即从(0,0)到(n,n),只能从对角线上方走 ,可以碰到对角线,故方案数为 C(2n,n)-C(2n,n-1。1.49 题（李拂晓）在 1 到 n 的自然数中选取不同且互不相邻的 k 个数,有多少种选取方案？解:设从 1-n 中选取互不相邻的 k 个数的方案为 g(n,k)。若选 n，则方案为 g(n-2,k-1),若不选 n,则方案数位 g(n-1,k).显然 g(n,k)=g(
26、n-2,k-1)+g(n-1,k)，且只有当 n2k-1 时,g(n,k)0,否则 g(n,k)=0,可给定初始值 g(2k-1,k)=1,g(2k-2,k)=0.1.50 题（孙明柱）(1)在有 5 个 0，4 个 1 组成的字符串中，出现 01 或 10 的总次数为 4 的字符串，有多少个？(2)在有 m 个 0，n 个 1 组成的字符串中，出现 01 或 10 的总次数为 k 的字符串，有多少个？解：(1)、先将 5 个 00000 排成一排，1 若插在两个 0 中间，即： “010”则出现 2 个“01”或“10”；若插在两端，则出现 1 个“01”或“10”；要使出现“01”， “1
27、0”总次数为 4，有两种办法：1、把两个 1 插入 0 的空当内，剩下的 1 插入 1 的后面（类似 010111000） 。2、把 1 个 1 插入 0 的空当，再取两个 1 分别插入两端，剩下的 1 插入 1 的前面。 （类似 10100011） 。由 1 和 2 得： 3*31424C(2)、m 个 0 产生 m-1 个空当。若 k 为偶数时：要得到出现“01”与“10”总次数为 k，可以先按上题中 1 的情况讨论，则在 m-1 个空当中分别插入 个 1 即可，也就是 。剩下的 1 如何插入的问题与书 P20 页的定理 1.2 类221mC似(在 n 个不同元素中取 r 个允许重复的组合
28、，其组合数为（ C（n+r-1,r)） ，在这里无区别的球的个数也就是剩下的 1 的个数（即 n- ） ，盒子的个数也就是插入到 m-1 个空当中的 12k的个数( 即 )，则得出剩下的 1 的插入方法有 。即第一种情况的总的插入方法为：2k 21kn。212*knkmC同理可得，按 2 的情况讨论后的第二种情况的总的插入方法为： 。212*knkmC1 和 2 得总的插入方法为： 。21212*knkmnkmCC若 k 为奇数时：则必有且只有一个 1 插入字符串的头或尾，剩下的 1 按照 1 的方法插入，只有这样才能使 k 为奇数。所以插入的总方法为： 。2121*knkmC1.51 题（王
29、健）从 N=1,2,20中选出 3个数，使得没有两个数相邻，问有多少种方案？解：相当于从 N=1,2,20个数中取 3个作不相邻的组合，故方案数为 C(20-3+1,3)=C(18,3)种152 题（王居柱）从 s=1,2, n中连取 k个数，使之没有两个数相邻，求不同方案数。解：在 n个数中选 k个数，使之没有两个数相邻，相当于在 n-k+1位置中插入 k个数，k个数中没有俩个数相邻。有 种方案。!)1(1knCk有定理 1.4直接可得。1.53 题（王振华）把 n 个无区别的球放进有标志 1，2，n 的 n 个盒子中，每个盒子可放多于一个球，求有多少种方案？解：把 n 个无标志的球放进 n
30、 个有标志的盒子中，每个盒子允许多于一个球是允许重复的组合所以是 =121.54 题（王卓）.m 个 1，n 个 0 进行排列，求 1 不相邻的排列数.设 nm.解：相当于 n 个 0 排列后,使 m 个 1 做不相邻的插入，共产生 n+1 个位置.第一个 1 插入有n+1 种情况，第二个是 n 种情况第 m 个 1 插入就有 n-m+1 种情况。所以是（n+1） （n） （n-1）（n-m+1） ，即此题解为 pn+1 m。1.55 题（翟聪）偶数位的对称数，即从左向右读法与从优向左的读法相同，如 3223。试证这样的数可被11 整除。证明：根据所有偶数位置上的数字及所有奇数位置上的数字分别
31、相加，再求出两个和的差，如果所得的差能被 11 整除，那么这个整数必能被 11 整除。例如 12344321，偶数位上是：2，4，3，1。奇数位上是：1，3，4，2因为对称数是偶数个，所以偶数为相加与奇数为相加的和是相等的，他们的差是零，而零能能被任何数整除，所以原题成立。证毕。1.56 题（周英华）n 个男人与 n 个女人沿一圆桌坐下，问两个女人之间坐 1 个男人的方案数。又 m 个女人 n个男人，且 mn，沿一圆桌坐下，求无两个女人并坐的方案数。解：根据题意，两个女人之间坐 1 个男人的方案数 Q (n,n)* P(n,n)无两个女人并坐的方案数 Q (n,n)* P (n,m)157 题（孔令琦）n 个人分别沿着两张圆坐下，一张 r 人，另一张个 n-r 人，试问有多少种不同的方案数？解：C（n,r）*(r-1)!(n-r-1)!1.58 题（王丹竹）一圆周上 n 个点标以 。每一点与其它 n-1 个点连以直线，试问这些直线交于圆内n,21有多少点？这些直线交于圆内有 C（n,4）个点因为四个点连在一起构成一个四边形，这个四边形的对角线相交于一个点，求这些直线交于圆内多少点就是求这些点能构成几个四边形，即转化为从 n 个点取出四个进行组合
