1、1. 题目 解：,比较n次方系数即可证。,2. 题目 解：,分析 的结构可知仅当 时有 项,三个系数相加即为所求,3. 题目 解：,用指数型母函数，可得母函数,系数即为所求。,4. 题目 解：,A、B、C、D组成的全排列数为,出现A后，其后续字母必为A、B、C、D中的一个，其概率相等。,AB至少出现一次的排列为,排列数为,5. 题目 解：,对符合题设要求的排列如果0可以出现在最高位，则可得母函数：,但是对n位四进制数来说最高位不能为0。,6. 题目 解：,参见第四题解答前半部分。,7. 题目 解：,题设中序列的母函数为：,由$4性质3得，上式,8. 题目 解：,等式的右端相当于从n+m+1个球
2、中取n+1个球的组合。把这n+m+1个球编号，如果取出的n+1个球中最小编号是一，则得到如果最小编号是二则得到如果最小编号是m则得到 。可证,9. 题目 解：,由推导过程知,令,求导得,令,即,解得,将 代入 得,10. 题目 解：,把单位看成元素，共12个元素 其中 第1单位有3个第2单位有4个第3单位有5个 则命题可看成从12个元素中取8个的组合。母函数为：,其中 项系数为所求,11. 题目 解：,用归纳法可证明： 1）当k=1时命题成立 2）设当k=N时命题成立即N可唯一表示成不同且不相邻的F数之和。 则当k=N+1时，明显可以分成N的序列再加上1（ ），但这可能会不能满足“不同且不相邻
3、”的条件。 下面予以讨论,先讨论相邻的 ，明显若有 ，则可用 代替。以此类推可解决相邻问题。再讨论相同 ，可把超过1个的 分解为 再用结决相邻问题的方法即可解决命题得证,12. 题目 解：,设n个满足条件的平面把空间分成 个域n-1个满足条件的平面把空间分成 个域 则第n个平面与这n-1个平面有n-1条交线，且这些两两相交，任三线不共点。第n个平面被这n-1条线分成 个域增加了 个域。可得,设,解得,13. 题目 解：,设符合条件的n位二进制数的个数为 这些数中一共有 个0当n位二进制数最高位为1时,符合条件 的n位二进制数的个数为,最高位为0时，次高位必为1符合条件 的n位二进制数的个数为,
4、即 是F数列,特征方程为：,设,解得 、 为重根。,分析上式结构可得：,把n=2代入可解得：,代入,可得方程组,解得,14. 题目 解：,设n为偶数 1）先把n-1个盘通过C移到B 2）把第n个盘移到C 3）把n-3个盘通过C移到A 4）把第n-2个盘移到B 对n为奇数时上述四步仍然成立，但是B、C对调。,其中,为Hanota数列。,可得特征方程：,解得,设,代入初值可解得,15. 题目 解：,设m层中有k层不在原来的层上，m-k层在原有层上，但是每册都不在原来的位置。,16. 题目 解：,把AD看成1则AB为,同理可得其他矩形相似,满足条件的n条直线把平面分成 个域，其中n-1条直线分割成的
5、域数为 ，第n条直线与这n条直线均相交。 被分成n-1+1=n段。增加的域数为n。,17. 题目 解：,设,解得,18. 题目 解：,n-1个点把圆分为 部分，加上第n个点则增加了n-1条弦 增加第1条弦，被其他弦分成0段 增加第2条弦，被其他弦分成1x(n-2-1)段 增加第n-2条弦，被其他弦分成(n-3)(n-2-n+3)段 增加第n-1条弦，被其他弦分成0段,19. 题目 解：,设n-1位不出现11的个数为 n-2位不出现11的个数为 n位不出现11的个数为 则,即特征方程为,设代入得,20. 题目 解：,设所求为则,21. 题目 解：,是n的4次方,满足第推关系,设,代入可解得,22
6、. 题目 解：,由矩阵的结构知,只要求出K即可,24. 题目 解：,当r是奇数（1）时,当r是偶数时,25. 题目 解：,I 当n是偶数时对所有符合条件的 来说，每边增加1各单位，则可构成符合条件的 。,设短边为a、b，长边为c，则(a+b)-c=2即a+b-2c-1，对所有符合条件的 来说，每边减少1各单位，则可构成符合条件的 。,II 当n为奇数时由I的讨论知， 比 多了a+b-c=1的三角形。而这种三角形可知,当 能被2整除时，这种三角形有 个,当 不能被2整除时，这种三角形有个,(2),27. 题目,1）证明,同理可证,3）解,28. 题目 1）证明,用数学归纳法 I k=2时成立，即
7、 II 设k=m时成立则k=m+1时，,用归纳假设,由I、II知题设成立。,2）证明,作了k次后,若,则上式,当n是偶数时，最后一次会出现 项,3）证明,当n是奇数时，最后一次会出现 项,4）证明,用2）的结论,下面证明是最大公约数 设 不是最大公约数， 是 则 则 与 矛盾 是最大公约数,30. 题目 证明,设与第n+1号球同盒的球有n-k个，这样，其他k个球就放入另外m-1个盒子， k=m-1,m,n。 即从n个不同的球中取k个放入m-1个相同的盒子的方案有,31. 题目 解：,特征方程为,解得,代入得,32. 题目 解：,设所求的串的个数为 ，相邻不同为0的串的个数为,母函数为,的系数即为所求。,33. 题目 证明：,用数学归纳法 I n=2时成立 II 设n=k时成立即,由I、II知题设成立,当n=k+1时,
