1、奥运会场馆人员疏散的数学模型工高班姜 伟 3011141076吴志军 3011211085摘要本文参阅大量具有实际背景的统计数据, 对体育场人员组成、交通工具使用情况做出合理评估. 针对体育场人员疏散各环节, 提出了“ 拥挤状态下的人流模型”、 “运动场通道设计的最大流量原则”、 “车辆停放优化模型” 和 “地铁-公交车疏散模型”四个子模型. 对模型进行了适用范围、边界条件、实测数据拟合等特性的分析, 得到了: “密度-人流通量”曲线、体育场疏散时间和通道设计计算公式、最优停车方式设计、地铁-公交车疏散时间公式等一系列具有实用价值的结果. 上述结果与各种参考文献中提供的实测数据非常吻合.借助所
2、获得的模型和结论, 给出了对运动场疏散全过程的时间、进程模拟, 并利用虚拟现实建模技术给出部分疏散场景的实况. 根据模拟的结果 , 认为 100 000 人规模的体育场可以在 45min 左右的时间内完成人员疏散 . 并在此基础上提出体育场及其周边设施建设的若干优化方案.关键字体育场馆 疏散 调度 人流模型问题重述2008 年奥运会将在北京举行，奥运会期间的交通问题是非常重要的问题。特别是开幕式、闭幕式这样的场合，参与人员多，离开时间集中，对交通设施的建设和车辆的安排调度都是一个值得探讨的问题。根据你所了解的往届奥运会举办城市的有关交通方面的解决方案的信息，考虑到北京市的场馆设施和交通状况，请
3、你分析和设计一套可以保证在奥运会期间的任何仪式或比赛结束后能够在合理的时间内将人员疏散的方案，方案的设计要尽可能的节省投资。假设场馆坐落在市郊，可容纳 10 万人，附近有足够通行能力的高速公路。要求就场馆的出口、通道、停车场的设置、合理的车型、各类参加人员的构成估计、车辆的调度、可以接受的等待时间等问题进行分析和设计，建立适当的数学模型来解决。给出一个模拟疏散实况，计算全部撤离所需的时间。1 1 相关假设1.1 体育场选址和规模根据北京市对奥运会场馆建设的规划 1 承担奥运会开、闭幕式的国家体育场 (The National Stadium)将位于北京市北部奥林匹克公园的中心区域. 这一区域周
4、边公路通行能力较强且处于市郊, 可认为疏散过程不会受到外部交通的影响.题目给出的体育场设计规模为 10 万人, 依照参照2所给出的建筑标准以及往届奥运会场馆的建设先例, 估算体育场的占地面积(不包括停车场等周边设施)约为 12 万 m2.图 1-1. 北京 2008 奥运会比赛地点 图 1-2. 奥林匹克公园平面图1.2 出席人员组成体育场的人员由表演人员、观众、贵宾、工作人员组成, 奥运会在主体育场举行的各种仪式或比赛, 观众都将占人员总数的 95%以上. 可以认为体育场疏散的主体为观众, 因此文中建立的模型除特殊提及外, 均针对普通观众.1.3 交通工具选择分配体育场的选址位于市郊, 绝大
5、部分观众都将乘坐代步工具往返. 届时可以选择的交通工具包括: 通往体育场的地铁和公交车小型私人车辆出租汽车私人团体使用的客运车辆.这里认为所占比例不大, 可以忽略. 下文将着重讨论和的调度方案和疏散能力.2 2 拥挤状态的人流模型2.1 个体生理尺寸个体的占地面积由其各方向上的最大生理尺寸决定, 通常使用肩宽 bp 和身体厚度dp 决定. 为了简便计算, 通常将个体抽象成椭圆形, 或矩形区域 3.图 2-1. 人体的椭圆形模型图 2-2. 人体的矩形模型此时的个体占地面积 Sp (m2)可分别表示为:pE41dbS和 ppS2下面给出不同地区人群生理尺寸的数据国家(地区) 肩宽bp (m)身体
6、厚度dp (m)椭圆面积SpE (m2)矩形面积SpS (m2)M 0.5100 0.2850 0.1142 0.1454 BritishF 0.4350 0.2950 0.1008 0.1283 M 0.4750 0.2300 0.0858 0.1093 JapaneseF 0.4250 0.2350 0.0785 0.0999 M 0.4700 0.1250 0.0461 0.0588 Hong Kong F 0.4350 0.2700 0.0923 0.1175 M 0.5150 0.2800 0.1133 0.1442 USAF 0.4700 0.2950 0.1089 0.1387
7、M 0.4550 0.2350 0.0840 0.1069 IndianF 0.3900 0.2550 0.0781 0.0995 平均 0.4850 0.2310 0.0887 0.1129 表格 2-1. 不同地区人群生理尺寸数据考虑到我国人口素质未来 6 年的发展情况, 兼顾计算的简便, 在本文中取 bp=0.5m, dp=0.25m, Sp=SpS=0.125m2.2.2 人群密度人群中个体的生理尺寸和个体之间的间距共同决定人群的密度, 参考资料4给出了一些典型情况下的空间占用(最小包络圆的直径).单人行走(正常情况) 650mm两人相向走过 1 350mm通常轮椅的空间占用 900m
8、m单人打伞行走 1 150mm单人携带提包 800mm表格 2-2. 典型情况下的空间占用鉴于体育场疏散时观众人群密度偏大, 可以假设相邻个体的横向间距恒为 100mm, 纵向间距随人群密度变化.资料5进一步指出 : 出于对安全因素的考虑, 拥挤区域站立人群的最大密度不应超过 40 人/10m 2. 结合上面对个体占地面积的计算, 可以得到体育场各通道内的人群密度的允许区间为(0, 4) 人/m 2. (此处尚未考虑速度因素, 下文将给出理想值).2.3 拥挤状态下的人流模型几点假设:1 1 人流限制在单向定宽度无限长通道内前进 , 且相对饱满, 即速度不大于某极限速度 Vmax=3m/sec
9、.2 2 任何个体均遵循普遍原则前进: 不试图超越前方个体 , 亦不会留出过大间距.3 3 人群密度 (人/m 2)在通道各处相等, 且随速度 v(m/sec)的递增而递减, 取值范围为( min, max)4 4 定义人流通量 q (人/msec)为单位时间、单位通道截面积通过的人数, 则有q = v模型建立:拥挤状态下步幅 l (m)等于相邻个体的间距. 参照图 2-3, 结合上文对个体生理尺寸参数的计算, 可以得到: pp)1.0(dbl32图 2-3. 人流模型示意图利用6和7给出的速度、步幅等数据 , 能够确定人群密度 与行走频率 f 之间存在关系: nKf42并可以进一步验证上式中
10、 K=1.36, n0.5.将人群速度表示为密度的函数: ppK)1.0(dbflv 52确定人流通量: nq).pp6利用前述数学模型和相关参数, 并考虑边界条件, 绘制 v- 曲线和 q- 曲线如下:图 2-4. 密度-速度曲线 图 2-5. 密度-人流通量曲线可以确定当人流密度值 0=2.22 人/m 2, 相应的速度为 v0=1.01m/sec.时, 通量 q 取得极值 q*= 2.25 人/msec.结论和分析:理论预测所得曲线走势与日常经验相符, 并且量值上与现有数据相当吻合. 通过对人流通量变化趋势的计算, 可以获得满足通量最大的速度和密度条件.体育场内的各通道均为狭窄路段, 且
11、疏散过程中人流密度足够大, 可以应用此模型进行疏散分析. 为了获得最小的疏散时间, 运动场内各处通道的设计均应满足人流通量在 q*附近. 下文中将应用此结论探讨实施细节, 并给出预期的疏散时间.3 3 运动场设计优化和疏散时间计算3.1 通道设计的最大流量原则前面分析得到: 为使疏散时间最小 , 需要在设计体育场内通道时保证人流通量 q 在其极值 q*附近, 并且尽量宽阔. 为此参考2总结下列设计原则:1. 1. 根据中国人的身材特点, 座宽设计为 0.6m. 每圈平均有 50 组座椅坐供 1 600人就座. 相邻两组间距离为 1.0m. 为使流量最大, 由于座位密度近似为人流密度的初始值,
12、应把座位密度设为 2 人/m 2, 即每人占据 0.5m2 的空间, 则每前后相邻两排间距设计为 0.5/0.6=0.83m. 一圈平均周长为 50(300.6+1)=950m. 上下层各有 3132 排. 总计约有 100 000 个座位.图 3-1. 座椅排布和通道设置2. 2. 相邻两排座椅之间的通道(称为 0 级通道)仅需承载单股人流, 其设计宽度满足一人通过即可. 人流在 0 级通道无法达到理想的通量 q*, 因此每段的长度应尽可能短(建议为 15 倍座位长度). 0 级通道的总长度仅与场内座位数目有关.3. 3. 其它依次各级内部通道的设计 , 应合理控制宽度 , 保证前一级的人流
13、均匀汇入, 使稳定状态下整个通道内的平均人流通量尽可能高.图 3-2. 通道连接部分由此原则可以得到 1n2Dk3k n 级通道与 n-1 级通道的汇合点总数Di i 级通道的宽度4. 4. 外通道(出口) 的设计, 存在关系式:BCB 疏通口(道) 设计可通过人流股数C 单股人流宽度. 一般地, C=b p+0.1=0.6m.其他设计细节还包括:1 1 采用下行、水平、坡道疏散方式以提高人群移动速度.2 2 楼梯和坡道宽度较大(3m)时, 加设中间分隔栏杆扶手, 辅助疏导人流.3.2 体育场疏散时间的计算体育场观众数量多, 疏散时间集中, 因此设计应有畅通的交通道和均匀分布的出入口, 以便在
14、一定时间内使全部观众疏散完毕. 给出大型体育场疏散时间计算公式 2:BANVSTs3Ts 疏散时间V 人流疏散速度(m/min)A 单股人流通行量(人/min)B 疏散口(道) 可通过人流股数N 疏散人数S 疏散距离(m)就影响体育场疏散时间的几个因素分别加以分析:1 1 单股人流通行量 A(人/min)VCA43C 单股人流宽度. 一般取 C=bp+0.1=0.6m. 人群密度2 2 疏散口(道) 数量 nb疏散口(道) 数量越多 , 则从看台出口到外出的加权总距离越小, 越有利于缩短疏散时间 Ts.但外出口的数量不应过多, 否则从体育场涌出人流过多且过于分散, 不利于控制, 同时加重场外通
15、路的负担, 容易在较狭窄路段形成瓶颈, 不利于安全.考察国外大型体育场设计, 把主要外出口数 nb 定为 4. 对称分布. 并可增加备用出口使总出口数达到 8 个甚至更多, 为意外事故发生时恐慌人流的疏散.3 3 疏散口(道) 可通过人流股数 B这是影响疏散时间的最主要因素, 是可以控制的. 参考体育场观众疏散设计标准及其设计规模, 预计外出口疏散时间 To 为 15min. 观众应占总人数的 95%以上, 认为N=100 000. boAnTB534 4 人流疏散速度 V(m/min)“拥挤状态下的人流模型” 定量地给出了人群密度和速度之间的关系 . 为了获得最小的疏散时间, 运动场内各处通
16、道的设计均应满足人流通量在 q*附近. 从而速度亦应在v0 附近.人流疏散速度 V= v0=60m/min5 5 .疏散距离 S(m)由看台上的出入口至外门口,经过道、楼梯的实际距离, 计算体育场总距离时则为加权距离, 其计算公式如下: niiibS163b1, b2, . 为第一、第二疏散道人流股数S1, S2, . 为第一、第二疏散道疏散距离疏散距离 S 应尽量小 . 参考现有体育场设计 , 观众席分为上下 2 层. 疏散形式如图 3-32:图 3-3. 双层的疏散通道体育场设计为对称结构, 为方便计算, 只考察取出的扇形部分.图 3-4. 看台的扇形模型由公式 3-6, 此处: 21)(
17、sS73S1 上层观众平均疏散距离S2 下层观众平均疏散距离s1 上层看台扇形面积s2 下层看台扇形面积此扇形模型中用扇形面积代替了人流股数. 在这个扇形中, 中间一排有 1600/8=200个座位. 假设相邻长排相差 2 个座位, 上下层均有 30 排左右. 因而, 离赛场最近一排座位有 140 个座位, 最远一排有 260 个座位. 计算扇形看台面积: 排 数最 远 一 排 座 位 数最 近 一 排 座 位 数 )(s 83则有: 1723s8每圈距离 lc 120m. 楼梯及缓台的坡度 =30. 上下层观众席高 h=排数每排高(约 0.47m)=14.1m. 则上下楼的平均距离为 14.
18、1/sin30=28.2m. 则:m42c1hlS938sin10带入公式 3-7 得到:05.8S计算体育场疏散时间 min4.16osTV234 4 停车场规划和疏散时间4.1 停车场规模前面 1.3 中提到疏散车辆以地铁-交车和私人车辆为主, 运动场附设的停场为私人车辆专有. 下面计算乘坐私人车辆观众的比例.北京市 2001 年私有车总计为 50 万辆, 并保持每年 15%的增长率 8. 同期人口总数为 1 380 万, 预计年增长率 2.4%9. 可以推知: 2008 年北京市及周边地区车辆占有率约为每百人 8.16 辆. 加之对未来车辆增长的考虑, 停车场设计规模为 10 000 辆
19、, 按平均每辆车承载 3 人计算, 将可疏散 27 000 人.为减少疏散人群的步行时间, 建造两个地上停车场 , 单个停车场容量约为 5 000 辆.为了节约成本, 将考虑尽量减小停车场尺寸和提高空间利用率. 4.2 车辆尺寸数据利用从10获得的常见车型尺寸数据, 可以估算出私人车辆的平均尺寸.车型 乘员 人 长度 mm 宽度 mm 面积 m2桑塔纳 2000AT 5 4546 1710 7.77捷达王 5 4385 1674 7.34捷达 5 4428 1660 7.35丰田 Sienna CE 7 4932 1862 9.19奔驰 S600 5 5154 1857 9.57平均 5.4
20、4689 1753 8.22表 4-1. 常见车型尺寸本文中使用下述模型及数据计算停车场的相关设计参数.图 4-1. 平均车型尺寸4.3 车辆停放方式优化单车占地面积与停车角度 的关系如图 4-2 所示:图 4-2 单车占地面积设 lc 和 wc 分别为一个停车位的长和宽: os5.2sin14/.c则一个车位的占地面积 sin)c.(.cS3变化规律如图 4-3 所示图 4-3 Sc- 的关系曲线Sc 随 减小而增大 , 但 的减小有利于车的开出. 当 为 45 时, 单车占地面积变化不大, 而出车较易. 并且可以选择使车辆交错停放, 大大节省了空间.图 4-4(a) 45 度斜式泊车示意图
21、 图 4-4 (b) 泊车角度非 45 度时存在空间浪费 =45 时, 单车平均占地为: m4.cl53w4.4 停车场设计和车辆调度优化为进一步优化停车场结构, 减少或避免阻塞, 提出下列停车场设计和车辆调度原则:1. 1. 尽量缩短停车场长宽比 , 以保证观众行走路线尽可能短 , 即尽量缩短行走的时间. 2. 2. 人行道与出车道交叉处, 设置斑马线, 同时提前设置限速障碍物. 限速障碍物可以保障行人安全, 并使车辆通过减速带后的车距拉大, 便于其它车辆插入车流.图 4-5 限速障碍物对行人的保护作用图 4-6 限速障碍物利于车辆插入车流图 4-7 设置限速障碍物对相邻车距的影响3. 3.
22、 入车道为 4 车道, 其中中间两车道只允许停车位在 7 至 12 组的车行驶, 以避免车行方向交叉或相互阻碍图 4-8. 停车位分组示意4. 4. 停车场形状设计成狭长有利于出车道与公路的连接. 5. 5. 疏散人流进入停车场时, 可利用入车道将人流导入停车场, 这时不允许车辆驶入. 4.5 停车场疏散时间的计算几点假设:1. 1. 停车场采用单入多出式, 中部驶入车道, 设计为 4 车道, 宽 10m. 共用驶出车道的两排车为一组, 出车道道宽 4m. 每隔固定间隔设置人行道, 道宽2.5m.2. 2. 人行道数目变化较小, 为方便计算又不失一般性, 设人行道共有六条. 3. 3. 在疏散
23、时, 人流可由入车道引进, 极大避免了人流与车流的交叉. 且有限速障碍物限速, 使车在通过人行道之前速度很慢, 因此先忽略人流对车流的影响.4. 4. 出车时的平均车速为 5m/sec, 人行走的速度为 1.3m/sec.变量说明:n 组数wp 人行道总宽wi 入车道宽t1 疏散过程中离出口最远车辆的驶出时间t2 从停车场入口到某辆车步行的最大时间计算公式: nwt50c164)250)2(3. ipcc2 wnlt 74经计算, t1 t2, 因此疏散时间主要取决于 t2. 当 n 取 19 时, t2 的值最小. 停车场疏散时间: mi7)in(pT84同时可以进一步给出停车场的优化设计参
24、数: 单排车总数 132 辆, 停车总数为 5 016 辆. 每隔 22 辆车设一人行道. 共设四条人行道. 车场总长为 500(487)m, 总宽为 250(244)米. 占地面积为 12.5(11.9)万 m2.5 5 地铁和公交车疏散时间前面 4.1 中计算得出观众中将有 27%即 27 000 人使用私人车辆, 这里假设余下观众均按照承载人数比例选择轨道交通工具和公交车. 鉴于这两种交通工具的时间规律, 承载能力固定, 模型相对简单, 下面直接给出假设和结论:地铁和公交车疏散时间: gctNTb15tg 相邻车次的等待间隔时间(min).N 选择交通工具的人数 73 000 人Nl 可
25、用的线路数目.Nc 每车次的疏散能力(人/车次)参考11给出的量值 , 可以测算 Nc 数量级为 103, 这里设为 2 000 人/车次. 并设理想等待时间 tg=2.5min. 根据1的有关新闻, 北京市将为 2008 年奥运会新建 7 条地铁线路, 假设其中 Nl=3 条位于主体育场附近. 则带入公式 5-1 得到:min30bT256 6 结论和分析根据 2.3 节拥挤状态下的人流模型: 体育场各通道和出口的设计均尽量保足够大的人流密度 和必要的流动速度 v, 从而使人流通量 q 尽可能接近极值 q*. 在此前提下, 3.2, 4.5 和 5 节分别针对人员疏散的各个阶段, 给出体育场
26、通道、外出口、停车场布局等定量结论和车辆调度原则等设施建设的细节. 进一步得到各阶段疏散时间的估计. 给出体育场人员总体疏散时间 T 的表达式:),max(bpiTT16Ti 体育场内疏散时间(公式 3-12)Tp 停车场疏散时间(公式 4-8)Tb 地铁和公交车辆的疏散时间(公式 5-2)总结前文分析和计算结果, 100 000 人规模的体育场的全部疏散时间约为 46 分钟.分析 T 的各分量不难发现: 地铁和公交车疏散时间 Tb 为影响疏散时间的主要因素, 为尽量减小 Tb, 可以考虑增加可用线路数目和车次密度. 另一方面, 由于我国私人车辆基数处在相当低的水平, 停车场规模较小使得 Tp
27、 被 Tb 所掩盖. 但是可以预见, 2010 年之后的体育场馆疏散将更多面对如何协调各种交通工具的搭配问题.7 7 参考文献1. 北京 2008 奥运会官方网站, http:/www.beijing-2008.org/2. 蔡镇钰主编, 建筑设计资料集第 7 册. 北京: 中国建筑工业出版社. 19973 J. J. Fruin, Pedestrian Planning and Design. Metropolitan Association of Urban Designers and Environmental Planners, Inc. 1971.4 Stephen Pheasant
28、, Bodyspace: Anthropometry, Ergonomics and the Design of the Work 2nd Ed. USA Taylor & Francis Inc. 20015 Department of National Heritage, Guide to Safety at Sports Grounds 4th Ed. H.M.S.O. Publications. 19976 姜启源编, 数学模型第 2 版. 北京: 高等教育出版社 . 19937 G Keith Still, Crowd Dynamics. http:/ 竞车网, http:/ 中国人口信息网, http:/ http:/ 北京轻轨铁路梦圆在即. 光明日报 1995 年 11 月 15 日12刘禹，林威，李德志, 2002 年哈尔滨工业大学数学建模竞赛试题答卷
