1、2017 届广西玉林、柳州高三 4 月联考数学（文）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ， ，则 ，故选 B.2. 已知为虚数单位，复数 ，则复数的模为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】,故选 D3. 已知向量 ， ，若 ，则 ( )A. 5 B. 4 C. 3 D. 2【答案】A【解析】 , ， ， 故选 A4. 甲、乙、丙、丁四辆玩具赛车同时从起点出发并做匀速直线运动，丙车最先到达终点，丁车最
2、后到达终点若甲、乙两车的 图象如图所示，则对于丙、丁两车的图象所在区域，判断正确的是( )A. 丙在区域，丁在区域 B. 丙在区域，丁在区域C. 丙在区域，丁在区域 D. 丙在区域，丁在区域【答案】A【解析】由图象，可得相同时间内丙车行驶路程最远，丁车行驶路程最近，即丙在区域，丁在区域；故选 A.5. 某单位一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )A. 收入最高值与收入最低值的比是B. 结余最高的月份是 7 月C. 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元【答案】D【解析】试题分析：由图可知，收入
3、最高值为 万元，收入最低值为 万元，其比是 ，故 A 正确，由图可知，结余最高为 月份，为 ，故 B 正确；由图可知， 至 月份的收入的变化率为与至 月份的收入的变化率相同，故 C 正确，由图可知，前 个月的平均收入为万元，故 D 错误，故选：D考点：函数的图象与图象的变化.【方法点睛】函数的图象是函数的表示方法之一，能够直观的反映出函数的定义域与函数的值域的对应关系，函数的单调性，变化规律研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用绘制函数图象的一般方法，一利用描点法，二是利用基本初等函数的图象，通过函数图象变换的方法作图掌握函数图象变化的一般规律，能利
4、用函数的图象研究函数的性质（注：结余=收入-支出）6. 若 ，且 为第二象限角，则 的值等于( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，且 为第二象限角， ,则 , 故选 D7. 已知定义在 上的函数 ，记 ， ， ，则 的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，得 为偶函数，且在 上单调递增，而 ， ，因为 ，所以 ；故选 D.8. 执行如图的程序框图，那么输出 的值是( )A. -1 B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】判断 20142017,执行 ；判断 20152017,执行 ；判断 20162017,执行 ；判断 20172017,执行输出 S
5、,S=2；故选 C点睛：本题考查的是算法与流程图，侧重于对流程图循环结构的考查.解决问题要先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9. 在 中，内角 的对边分别为 若 ，则 等于( )A. 或 B. C. D. 【答案】C10. 某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图，可得该几何体是由一个正方体（棱长为 2）和一个半球（半径为 1）组合而成，其表面积为 ；故选 A.11. 如图，在三棱锥 中， ， ，
6、 ，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的体积为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】在三棱锥 中，因为 ， ， ，所以，则该几何体的外接球即为以 为棱长的长方体的外接球，则，其体积为 ；故选 D.点睛：在处理几何体的外接球问题，往往将所给几何体与正方体或长方体进行联系，常用补体法补成正方体或长方体进行处理，本题中由数量关系可证得 从而几何体的外接球即为以 为棱长的长方体的外接球，也是处理本题的技巧所在.12. 已知点 是以 为焦点的椭圆 上一点，若 ，则椭圆的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 ，所以 为直角三角形，且 ， ，则， ，则该椭圆的离心率
7、为 ；故选 C.点睛：在处理椭圆或双曲线中过两焦点的三角形问题，一般思路是将椭圆或双曲线的定义和解三角形（勾股定理、正弦定理、余弦定理、面积公式）结合在一起进行求解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若 满足约束条件 ，则 的最小值为_【答案】-1【解析】由题作出可行域如图由 解得 A(1,3)，则 过点 A 时取得最小值 -1点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：直线型，转化成斜截式比较截距，要注意前面的系数为负时，截距越大，值越小；分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是
8、最终结果应该是距离的平方；绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.14. 圆 与直线 的位置关系是相离，则 的取值范围是_【答案】【解析】由圆 的圆心坐标 ,半径 ，则圆心到直线的距离 ,15. 已知 ，在函数 与 的图象的交点中，相邻两个交点的横坐标之差的绝对值为 2，则_【答案】【解析】令 ，则 ，由题意，得 的两个相邻解相差 2，则 ，解得 .16. 已知函数 ， ，如果 成立，则实数的取值范围为_【答案】.三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知 中， 分别是角 的对边，有 （1）求角 的大小；（2）若等差数列 中， ， ，设数列 的前 项和为 ，求证
9、： 【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：（1）利用余弦定理 进行求解可得 A；（2）设等差数列 的公差为 ，利用 求出公差，进而求出数列的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（1） ， ，又 ， （2）证明：由（1）知 ，设等差数列 的公差为 ， ， ， ， ， ， 即 18. 某特色餐馆开通了美团外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数 （份）与收入 （元）之间有如下的对应数据：外卖份数 （份） 2 4 5 6 8收入 （元） 30 40 60 50 70（1）画出散点图；（2）求回归直线方程；（3）据此估计外卖份数为 12 份时，收入为多少元注：参考公式：线性回归方程系数
10、公式 ， ；参考数据： ， ， 【答案】 （1）见解析（2） ；（3）95.5 元【解析】试题分析：(1)根据表中数据 ,作出散点图即可; (2)计算 、 ,求出回归系数,写出回归直线方程; (3)由回归直线方程,计算 x=12 时 的值即可.试题解析： （1）作出散点图如下图所示：（2） ，已知 ， 由公式 ， ，可求得 ， ，因此回归直线方程为 ；（3） 时， 即外卖份数为 12 份时，收入大约为 95.5 元19. 如图，已知 平面 ，四边形 为矩形， ， ， ，（1）求证：平面 平面 ；（2）求三棱锥 的体积【答案】 （1）见解析（2） 【解析】试题分析：（1）通过证明 ； ， ，所以
11、 平面 从而 平面平面 （2）利用等体积法 可求体积试题解析：（1）过 作 ，垂足为 ，因为 ，所以四边形 为矩形所以 ，又因为 ，所以 ， ， 所以 ，所以 ；因为 平面 ，所以 ，又因为 平面 ，所以 平面 因为 平面 ，所以平面 平面 （2）因为 ，所以 平面 ，所以 ，又因为 ， 平面 ， 平面 ， 所以 平面 20. 设点 ，动圆 经过点 且和直线 相切，记动圆的圆心 的轨迹为曲线 （1）求曲线 的方程；（2）设曲线 上一点 的横坐标为 ，过 的直线交 于另一点 ，交 轴于点 ，过点 作 的垂线交于另一点 若 是 的切线，求的最小值【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）先
12、利用抛物线的定义判定动点轨迹是一个抛物线，再利用待定系数法求出抛物线的方程；（2）设出直线方程，联立直线和抛物线的方程，得到关于 的一元二次方程，利用根与系数的关系和导数的几何意义进行求解.试题解析：(1)过点 作直线 垂直于直线 于点 ，由题意得 ，所以动点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线.所以抛物线 得方程为 .(2)由题意知，过点 的直线 斜率存在且不为 ，设其为 ，则 ，当 ，则 .联立方程 ，整理得： .即 ，解得 或， ，而 ，所以直线 斜率为 ， ，联立方程，整理得： ，即，解得 ，或 .而抛物线在点 的切线斜率， ， 是抛物线的切线，整理得 ，解得 （舍去） ，或.2
13、1. 已知函数 ， ，其中为自然对数的底数（1）求曲线 在点 处的切线方程；（2）试探究当 时，方程 的解的个数，并说明理由【答案】 （1） （2）见解析【解析】试题分析：(1)利用导数的几何意义即可求出曲线 在点 处的切线方程(2)构造函数 , ;利用导数判断函数的单调性，根据根的存在性定理即可判断函数在 上零点的个数.试题解析：（1）由题意得， ， ， ；， ；故曲线 在点 处的切线方程： （2）设 ，则当 时，由 ， ，即有 ，即有 ，故 在 上单调递减，故函数 在 上至多有一个零点；又 ， ；且 在 上是连续不断的，故函数 在 上有且只有一个零点请考生在 22、23 两题中任选一题作答
14、，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的参数方程为 ，曲线 的极坐标方程为 （1）写出直线的直角坐标方程和曲线 的普通方程；（2）求直线与曲线 的交点的直角坐标【答案】 （1） ； （2） ， 【解析】试题分析：（1）消参得到直线的普通方程，利用极坐标和普通方程的互化公式进行求解；（2）联立直线和圆的普通方程，通过一元二次方程求出交点坐标.试题解析：(1)因为直线的参数方程为 ，代入 ，即 ，所以直线的直角坐标方程为 ，因为曲线 的极坐标方程为 ，即 .(2) 曲线 的直角坐标方程为 ,解得 或 ，所以直线与曲线 的交点的直角坐标为 .23. 选修 4-5：不等式选讲设函数 （1）若 时，求不等式 的解集；（2）若不等式 的解集为 ，求的值【答案】 （1） ；（2） 或 【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）先利用 的一个根是 求出值，再进行验证求解.试题解析：（1） 时， 可化为 ，当 时， ；当 时，无解；当 时， ，综上所述，不等式的解集为 或 .（2）因为不等式 的解集为 ， 的一个根是 ， 或 .时，由 解得 ，符合题意， 时，由 ，解得 ，符合题意，综上所述， 或 .
