1、第页 12018 届广西钦州市高三上学期第一次质量检测数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ，集合 ，集合 ，则集合 的子集的个数为（ ）B=3,4，5，6 C=AB CA. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】A=1，2， 3，4，B=3，4，5，6，集合 C 的子集为，3，4，3， 4，共 4 个故选：D2. 已知复数 ，则下列命题中正确的个数为（ ）z=1+i ； ； 的虚部为 ； 在复平面上对应点在第一象限 .z=1i zA. 1 B.
2、2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】 故正确；|z|= 1+1 = 2，也正确；z=1-I的虚部为 1，这是复数概念错误；z在复平面上对应点是 在第一象限，故正确；z (1,1)故选 C.3. 命题 ，则 的否定是（ ）m1,2 x+1x2mA. ，则m1,2 x+1xa f(x)=(13)x+m13 a（ ）A. B. C. D. a23 a23 a23 aF(x1) xA. B. C. D. (1,3) (1,2) (1,3) (2,2)【答案】C【解析】定义在 R 上的奇函数 f（x） ，所以：f （x）=f（x）第页 7设 f（x）的导函数为 f（x） ，当 x（，0时，恒有 xf
3、（x）f （x），则：xf（x）+f（x）0即：xf（x） 0所以：函数 F（x）=xf（ x）在（ ，0）上是单调递减函数由于 f（x）为奇函数，令 F（x）=xf（x），则：F（x）为偶函数所以函数 F（x）=xf（x）在（ 0，+ ）上是单调递增函数则：满足 F（2）F（x1）满足的条件是：|x 1|2，解得：1x3所以 x 的范围是：（1，3）故选：C点睛：根据已知条件利用函数的单调性和奇偶性构造出新函数，利用 xf（x）+f（x）0，得到：xf（x）0，进一步分析出偶函数的单调性在对称区间内单调性相反故建立不等式组，解不等式组求的结果第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分
4、 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知 （ ， 为正实数） ，则 的最小值为_a+4b=1 b1a+2b【答案】 9+42【解析】a，bR +，a+4b=1 = ，1a+2b（a+4b）（1a+2b）9+42当且仅当， 即 a=2b 时上述等号成立，4ba=2ab故答案为：914. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值是_x y x0x+2y32x+y3 z=xy【答案】0第页 8【解析】约束条件 对应的平面区域如下图示：由 z=xy 可得 y=xz，则z 表示直线 z=xy 在 y 轴上的截距，截距越小，z 越大由 可得 A（1，1）x+2y32x+y3当直线 z=xy 过 A（1，1
5、）时，Z 取得最大值 0故选 D15. 现有 12 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 3 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为_【答案】189【解析】若没有红色卡片，若是 3 种颜色，那么有 种方法，若是 2 种颜色，有33=27种方法，若有红色卡片，那有一张红色的卡片，共有 种方法，3C29=108所以共有 种方法，故填：189.27+54+108=189【点睛】本题考查了有限制条件的组合问题，对这类问题容易出错在：本来是组合问题，但选元素的时候出现“顺序” ，象这种不能同一种颜色，或是选出的鞋不能是同一双等等题型，
6、第一步先选颜色，第二步从颜色中选卡片，如果是不同双的鞋，那第一步就先选哪几双，第二步在每一双里选一只，这样就能保证不同颜色，选出的鞋不是同一双. 16. 在锐角三角形 中，若 ，则 的取值范围是_ABC sinA=2sinBsinC【答案】 8,+)【解析】由 sinA=sin（A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，sinA=2sinBsinC，可得 sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，由三角形 ABC 为锐角三角形，则 cosB0，cosC0，第页 9在式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC=2tanBtanC，又 tanA=ta
7、n（A）=tan（B+C）= ，tanB+tanC1-tanBtanC则 tanAtanBtanC= tanBtanC，tanB+tanC1-tanBtanC由 tanB+tanC=2tanBtanC 可得 tanAtanBtanC = ，-2(tanBtanC)21-tanBtanC令 tanBtanC=t，由 A，B，C 为锐角可得 tanA0， tanB0，tanC0，由式得 1tanBtanC0，解得 t1，tanAtanBtanC ，由 t1 得， 0，141t2-1t因此 tanAtanBtanC 的最小值为 8，三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证
8、明过程或演算步骤 ） 17. 已知函数 .（1）求函数 的单调增区间；f(x)（2） 的内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ，且 的面积为 ，求 的值.ABC BC a b c f(C)=14 ABC 3 c【答案】 （1）函数 的单调增区间为 ， （2）f(x) 3+k,6+k c=2【解析】试题分析：（1）由化一公式得 ， ，(x)=32sinxcosx-12sin2x=12sin(2x+6)-14 -2+2k2x+62+2k得结果；（2） ， ，再由余弦定理得 .C=6，S=12absinC= 3 b=23 c=2化简可得：.f(x)=32sinxcosx-12sin2x=（
9、1）由 ， .-2+2k2x+62+2k kZ得： .-3+kx6+k函数 的单调增区间为 ， .f(x) -3+k,6+k kZ（2） ，即 .f(C)=14 12sin(2C+6)-14=14 .sin(2C+6)=1第页 10可得 ， .2C+6=2+2k kZ ，0b0 C x圆交于 ， 两点，且 .AB |AB|= 2（1）求椭圆 的标准方程；C（2）过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，若存在点 使 为等边三角形，求直线的方程.(1,0) C EF G(1,y0) EFG【答案】 （1）椭圆的标准方程： （2）直线的方程：x28+y22=1 y=1010(x1)【解析】试题分析：（）利
10、用椭圆的离心率，椭圆的通径公式，及 a2=b2+c2 及可求得 a 和 b 的值，求得椭圆方程；（）设直线 l 的方程，代入椭圆方程，根据韦达定理及中点坐标公式求得 D 点坐标，根据等边三角形的性质，求得 G 点坐标，由丨 GD 丨= 丨 EF 丨，即可取得 t 的值，即可求得直线 l 的方程32（1）由椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，所以 ，2a=4b由椭圆的通径 ， |AB|=2b2a=2第页 13解得： ， .a=22 b= 2椭圆的标准方程： .x28+y22=1（2）设直线： ， ， .x=ty+1 E(x1,y1) F(x2,y2)易知： 时，不满足，故 ，t=0则 ，整理得： ，
11、x=ty+1x28+y22=1 (t2+4)y2+2ty-7=0显然 ，=4t2+28(t2+4)0 ， ，y1+y2=-2tt2+4 y1y2=- 7t2+4于是 .x1+x2=t(y1+y2)+2=8t2+4故 的中点 .EF D(4t2+4,- tt2+4)由 为等边三角形，EFG则 .|GE|=|GF|连接 则 ，GD kGDkEF=-1即 ，整理得 ，y0+tt2+4-1- 4t2+4=-1 y0=t+ 3tt2+4则 ，G(-1,t+3tt2+4)由 为等边三角形，则 ， .EFG |GD|=32|EF| |GD|2=34|EF|2 .(4t2+4+1)2+(t+ 4tt2+4)2
12、=34(1+t2)(- 2tt2+4)2-4(- 7t2+4)整理得： ,即 ，解得： ，则 ，(t2+8t2+4)2=24t2+84(t2+4)2 t2=10 t= 10第页 14直线的方程 ，即 .x= 10y+1 y=1010(x-1)点睛：本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，等边三角形的性质公式，考查计算能力.21. 已知函数 .f(x)=xlnx（1）求函数 的单调区间；f(x)（2）当 ，且 时，证明： .x12【答案】 （1） 单调递减区间为 ，单调递增区间为 （2）证明见解析f(x) (0,1e) (1e,+)【解析】试题分析
13、：（1）令 , 得增区间， ，得减区间；（2） ，需证f(x)=1+lnxf(x)0 f(x)2lnx2x1（1） 的定义域为 ，f(x) (0,+)令 ，得 .f(x)=1+lnx=0 x=1e当 时， ， 在 上单调递增；x1e f(x)0 f(x) (1e,+)当 时， ， 在 上单调递减.00由 （ ） ，g(x1)=g(x2) x10要证 ，需证 ，x1+x22 (x1+x2)x2-x1x1x22lnx2x1即证 .x2x1-x1x22lnx2x1设 （ ） ，则要证 （ ）.x2x1=t t1 t-1t2lnt t1令 .则 .h(t)=1+1t2-2t=(1-1t)20 在 上单
14、调递增，则 .h(t) (1,+) h(t)h(1)=0第页 15即 .t-1t2lnt故 .x1+x22请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 .若直线的极坐标方程为xOy O x，曲线 的极坐标方程为： ，将曲线 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，2cos(4)2=0 C sin2=cos C纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线 .C1（1）求曲线 的直角坐标方程；C1（2）已知直线与曲线 交于 ， 两点，点 ，求 的值.C1 AB P(2,0) |
15、PA|+|PB|【答案】 （1）曲线 ： （2） C1y2=2(x1) |PA|+|PB| =26【解析】试题分析：（1）由图像伸缩平移的规律得到曲线 ： ；C1y2=2(x-1)（2） ，由韦达定理解出即可；|PA|+|PB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2（1）曲线 的极坐标方程为： ，C sin2=cos即 ，2sin2=cos化为直角坐标方程： .y2=x将曲线 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线 ：C C1.y2=2(x-1)（2）直线的极坐标方程为 ，2cos(-4)-2=0展开可得： .222(cos+sin)-2=0可得
16、直角坐标方程： .x+y-2=0可得参数方程： （为参数） .x=2- 22ty=22t 代入曲线 的直角坐标方程可得： .C1 t2+22t-4=0解得 ， .t1+t2=-22 t1t2=-4第页 16 |PA|+|PB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2.= (-22)2-4(-4)=2623. 选修 4-5：不等式选讲已知 ， .f(x)=|x3|+|x+1| g(x)=|x+1|x+a|a（1）解不等式 ；f(x)6（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.f(x)g(x) a【答案】 （1） 的解集为 或 （2） 时，不等式 恒成立f(x)6 x|x2 x4 a32
17、 f(x)g(x)【解析】试题分析：（1）零点分区间，取绝对值，解不等式组；（2）由已知恒成立，又 ， ，求出|x-3|+|x+1|x+1|-|x+a|-a |x-3|+|x+a|x-3-x-a|=|-3-a|=|a+3| |a+3|-a结果即可；（1）当 时， 解得 .x3 2x-26 x4当 时， 无解，-1x3 46当 时， 解得 .x-1 -2x+26 x-2 的解集为 或 .f(x)6 x|x-2 x4（2）由已知 恒成立.|x-3|+|x+1|x+1|-|x+a|-a 恒成立.|x-3|+|x+a|-a又 .|x-3|+|x+a|x-3-x-a|=|-3-a|=|a+3| ，解得 .|a+3|-a a-32 时，不等式 恒成立a-32 f(x)g(x)点睛：第二问中，不等式 恒成立，求实数 范围，先变量分离， ，再根据绝对f(x)g(x) a |x-3|+|x+a|-a值三角不等式，求得 ，这是绝对值三角不等式很重要的一个|x-3|+|x+a|x-3-x-a|= |-3-a|=|a+3|应用.
