1、北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练:空间几何体I 卷一、选择题1如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45,腰和上底均为 1 的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A2 B21 22C D12 22 2【答案】A2已知 、 是两上不同的平面,m,n 是两条不同的直线,给出下列命题:若 ,则 ;若 /n,则 /如果 ,是异面直线,那么 n 与 相交;若 /,m且 则 /且 。其中正确的命题是 ( )A B C D【答案】D3已知某个几何体的三视图如图(主视图的弧线是半圆) ,根据图中标出的数据,这个几何体的体积是 ( )A288+36 B60C288+72D288+
2、18【答案】A4某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )A 2B 1C 32D 31【答案】B5某器物的三视图如图 1212 所示,根据图中数据可知该器物的体积是( )图 1212A8 B9C 4 3153D 4 153【答案】D6在正三棱锥 S-ABC 中,侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直,且侧棱 SA= 32,则正三棱 S-ABC 外接球的表面积为( )A12 B32 C36 D48 【答案】C7一个几何体按比例绘制的三视图如图 128 所示(单位:m),则该几何体的体积为( )A4 m3 B m3 C3 m3 D m392 94图 129【答案】C8 如图
3、,水平放置的平面图形 ABCD 的直观图,则其表示的图形 ABCD 是 ( ) A任意梯形 B直角梯形 C任意四边形 D平行四边形【答案】B9已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球,则平面 ACD1截球 O 所得的截面面积为( )A B C D36 66 9 6【答案】D10一个几何体的三视图如图 129 所示,则这个几何体的体积是( )A B112C D232【答案】A11在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图 122 所示,则相应的侧视图可以为( )图 122 图 123【答案】D12如下图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边
4、三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )A4 B43C2 D23【答案】CII 卷二、填空题13 如图,在正方体 1ABCD中,点 P 是上底面 1ABCD内一动点,则三棱锥P的主视图与左视图的面积的比值为 _. 【答案】114一个底面半径为 1,高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分,如图 1218,截下部分的母线最大长度为 2,最小长度为 1,则截下部分的体积是_图 1218图 1219【答案】3215如图,直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的高为 3,底面是边长为 4 且 DAB60的菱形,AC BD O, A1C1 B1D1 O1,则二面角 O1 BC D 的大小为 .【答案】
5、6016一简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位:cm),则该组合体的表面积为_ cm 2.PDCBA11B左 视 主 视【答案】12 800 cm 217四面体的六条棱中,有五条棱长都等于 a,则该四面体的体积的最大值为_【答案】 a31818已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形, PA底面 ABCD,点 E、 F 分别是棱 PC、 PD 的中点,则棱 AB 与 PD 所在直线垂直;平面 PBC 与平面 ABCD 垂直; PCD 的面积大于 PAB 的面积;直线 AE 与直线 BF 是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)【答案】三、解答题19如图,平面四边形 AB
6、CD 关于直线 AC 对称, 2,90,6CDA ,把ABD 沿BD 折起(如图 2) ,使二面角 ABDC 的余弦值等于 3。对于图 2,完成以下各小题:(1)求 A,C 两点间的距离;(2)证明:AC 平面 BCD;(3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值。【答案】 (1)取 BD 的中点 E,连接 AE,CE,由 AB=AD,CB=CD 得, BDAEC就是二面角 ABDC 的平面角,在ACE 中, E26(2)由 AC=AD=BD=2 2,AC=BC=CD=2 ,(3)以 CB,CD,CA 所在直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz,则20已知某几何
7、体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.(1)求该几何体的体积 V. (2)求该几何体的侧面积 S.【答案】 (1)由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知,该几何体是四棱锥,且四棱锥的底面 ABCD 是边长为 6 和 8 的矩形,高 VO=4,O 点是 AC 与 BD 的交点.所以该几何体的体积 V=13864=64.(2)如图所示,OEAB,OFBC,在侧面 VAB 中,VE= 2243VOE=5, 所以 SVAB = 1ABVE= 85=20.在侧面 VBC 中,VF= 22
8、F,21如图,平面 PAD平面 ABCD, ABCD 为正方形, PAD90,且 PA AD, E、 F 分别是线段PA、 CD 的中点(1)求证: PA平面 ABCD;(2)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值【答案】(1)证明:由于平面 PAD平面 ABCD,且平面 PAD平面 ABCD AD,而 PAD90,即 PA AD,且 PA平面 PAD,由面面垂直的性质定理得:PA平面 ABCD.(2)法一:取 BC 的中点 M,连接 EM、 FM,则 FM BD, EFM(或其补角)就是异面直线 EF 与 BD所成的角设 PA2,则 AD DC CB BA2,AM ,AB2 (f(1,2
9、)BC)2 5BD 2 ,AB2 AD2 2Rt MAE 中, EM ,同理 EF ,EA2 AM2 6 6又 FM BD ,12 2 MFE 中,由余弦定理得cos EFM EF2 FM2 ME22EFFM 36理法二:建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz,设 AB2,则A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), P(0,0,2),E(0,0,1), F(1,2,0), C(1,2,1),D(2,2,0) ,cos | 3622如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD底面 ABCD,PD=DC,E 是 PC的中点,作 EFP
10、B 交 PB 于点 F。(1)证明 PA/平面 EDB; (2)证明 PB平面 EFD; 【答案】 (1)证明:连结 AC,AC 交 BD 于 O,连结 EO。底面 ABCD 是正方形,点 O 是 AC 的中点在 PAC中,EO 是中位线,PA / EO而 EO平面 EDB 且 平面 EDB,所以,PA / 平面 EDB(2)PD底面 ABCD 且 D底面 ABCD, PD=DC,可知 是等腰直角三角形,而 DE 是斜边 PC 的中线, PCD。 同理由 PD底面 ABCD,得 PDBC。底面 ABCD 是正方形,有 DCBC,BC平面 PDC。而 E平面 PDC, DEB。 由和推得 平面 PBC。而 B平面 PBC, P又EFPB, FPB平面 EFD23已知一四棱锥 PABCD 的三视图如下,E 是侧棱 PC 上的动点。(1)求四棱锥 PABCD 的体积;(2)是否不论点 E 在何位置,都有 BDAE?证明你的结论;(3)求四棱锥 PABCD 的侧面积.