1、北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练：概率I 卷一、选择题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷 1000 次，那么第 999 次出现正面朝上的概率是 ( ）A 9B 10C 109D 21【答案】D2体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球 3 次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到 3 次为止设学生一次发球成功的概率为 p(p0)，发球次数为 X，若 X的数学期望 E(X)1.75，则 p 的取值范围是( )A(0， ) B( ，1)712 712C(0， ) D( ，1)12 12【答案】C3一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个
2、顶点的距离均超过 1 的概率为( )A1 B1312 324C D312 324【答案】B4 数据 123,.,na的方差为 ，则数据 123,.naa的方差为（ ）A B 2C D 24【答案】D5在线段 0，3 上任取一点，则此点坐标大于 1 的概率是（ ）A 4B 23C 2D 13【答案】B6从1,2,3,4,5中随机选取一个数为 a，从1,2,3中随机选取一个数为 b，则 ba 的概率是( )A B 45 35C D25 15【答案】D7一台 X型号自动机床在一小时内不需要工人照看的概率为 0.8，有 4 台这种型号的自动机床各自独立工作，则在一小时内至多 2 台机床需要工人照看的概
3、率是（ ） A 0.136B 0.18C 0.5632D 0.9728【答案】D8甲乙两人一起去游“2011 西安世园会” ，他们约定，各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点参加 1 小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )A B 136 19C D536 16【答案】D9在 1 万平方公里的海域中有 40 平方公里的大陆架贮藏着石油，假若在海域中任意一点钻探，那么钻到油层面的概率是 ( ）A 40B 125C 1250D 150【答案】C10随机变量 Y ),(pn，且 ()3.6EY, 6.)(D，则此二项分布是 ( ）A 40.9B 9,04C 18,0
4、2)BD (36,0.1)B【答案】B11给出下列四个命题： 15 秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量；在一段时间内，某侯车室内侯车的旅客人数是随机变量；一条河流每年的最大流量是随机变量；一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量其中正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4【答案】D12 某单位在一次春游踏青中，开展有奖答题活动从 2 道文史题和 3 道理科题中不放回依次抽取 2 道题，在第一次抽到理科题的前提下第二次抽到理科题的概率为（ ）A 95B 625C 10D 12【答案】D13锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外
5、部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（ ）A 891B 91C 89D 609 【答案】C14 如图，在一个长为 ，宽为 2 的矩形 OAB内，曲线 sinyx与 x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形内随机投一点（该点落在矩形 C内任何一点是等可能的） ，则所 投的点落在阴影部分的概率是（ ）A4B 3C 2D 1【答案】BII 卷二、填空题15100 件产品中有 5 件次品，不放回地抽取 2 次，每次抽 1 件.已知第 1 次抽出的是次品，则第 2 次抽出正品的概率是 .【答案】 916边长为 2a 的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子
6、落在圆及正方形夹的部分的概率是_。【答案】 2(4)a17已知函数 f(x) x2 bx c，其中 0 b4,0 c4，记函数 f(x)满足条件Error!为事件A，则事件 A 发生的概率为_【答案】1218 在第 1,3,5,8 路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有 1 位乘客等候第 1 路或第 3 路汽车假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，求首先到站正好是这位乘客所要乘的汽车的概率为_【答案】 1219从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_【答案】1320在平面区域中任取一点，记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”
7、为事件 A，则事件 A 发生的概率为 的 面 积的 面 积DdAP)(。在边长为 2 的正方形 ABCD 内任取一点，使得90B的概率为 。【答案】 8三、解答题21如图，在边长为 25cm 的正方形中挖去边长为 23cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？【答案】因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的所以符合几何概型的条件。设 A“粒子落在中间带形区域”则依题意得正方形面积为：2525625两个等腰直角三角形的面积为：2 212323529带形区域的面积为：62552996 P（A） 625922某学校课题组为了研究学生的数学成绩和
8、物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩(百分制)如下表所示：某数学成绩 90 分(含 90 分)以上为优秀，物理成绩 85 分(含 85 分)以上为优秀(1) 根据上表完成下面的 22 列联表：(2)根据题(1)中表格的数据计算，有多少的把握认为学生的数学成绩与物理成绩之间有关系？(3)若按下面的方法从这 20 人中抽取 1 人来了解有关情况：将一个标有数字 1,2,3,4,5,6 的正六面体骰子连续投掷两次，记朝上的两个数字的乘积为被抽取人的序号试求：抽到 12 号的概率；抽到“无效序号(序号大于 20)”的概率【答案】(1)表格为(2)提出假设 H0：学生的数学成绩
9、与物理成绩之间没有关系根据上述列联表求得 k 8.802.20(512 12)2614713当 H0成立时， K2( 2)6.635 的概率约为 0.01，而这里 8.8026.635，所以我们有 99%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系(3)抽到 12 号的概率为 P1 ；436 19抽到“无效序号”的概率为 P2 636 1623某同学参加语文、数学、英语 门课程的考试。假设该同学语文课程取得优秀成绩的概率为 45，数学、英语课程取得优秀成绩的概率分别为 )(,nm，且该同学 3门课程都获得优秀的概率为 12，该同学 3门课程都未获得优秀的概率为 6125，且不同课程是否取得优
10、秀成绩相互独立.()求该生至少有 门课程取得优秀成绩的概率；() 记 为该生取得优秀成绩的课程门数，求 的分布列及数学期望 E.【答案】设事件 iA表示：该生语文、数学、英语课程取得优异成绩， 3,21i。由题意可知 54)(1P， m)(2， nAP)(3(I）由于事件“该生至少有一门课程取得优异成绩”与事件 “0是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是 12596)0(1(II）由题意可知， 1256)(1)54()()0(_32_1 nmAP；4)3(321mnAP；解得 5m， n)(。 )( 3_21_32_13_21 A 57)(5)(4nm1280)(PP；的分布列为
11、 13P125625372581254所以数学期望 9)3()()()0( PPE24甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有 10 个不同的题目，其中选择题 6 个，判断题 4 个，甲、乙二人依次各抽一题，计算：(1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【答案】 （1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率16420()5CPA；(2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率 211646203() 5ACPB25有编号为 A1，A 2，A 10的 10 个零件，测量其直径（单位：cm)，得到(1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一
12、等品的概率;(2)从一等品零件中,随机抽取 2 个.()用零件的编号列出所有可能的抽取结果;()求这 2 个零件直径相等的概率.【答案】(1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件 A，则 P（A）= 63105.(2)()一等品零件的编号为 A1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个，所有可能的结果有：A 1,A2,A1,A3,A1,A4,A1,A5,A1,A6,A2,A3,A2,A4,A2,A5,A2,A6,A3,A4,A3,A5,A3,A6,A4,A5,A4,A6,A5,A6,共有 15 种
13、.()“从一等品零件中，随机抽取的 2 个零件直径相等” （记为事件 B）的所有可能结果有：A1，A 4，A 1，A 6，A 4，A 6，A 2，A 3，A 2，A 5,A3,A5,共有 6 种.所以 P（B）= 2.26有两个不透明的箱子，每个箱子里都装有 4 个完全相同的小球，球上分别标有数字1，2，3，4 (1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子中摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁获胜（若数字相同则为平局） ，求甲获胜的概率；(2）摸球方法与（1）相同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不同则乙获胜，这样规定公平吗？【答案】 （1）用 ),(yx（ 表示甲摸到
14、的数字， y表示乙摸到的数字）表示甲乙各摸到一球构成的基本事件有：（1,1） （1,2） （1,3） （1,4） （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） （3,1） （3,2） （3,3）（3,4） （4,1）(4,2） （4,3） （4,4）共有 16 个设甲获胜的事件为 A，则事件 包括的基本事件为（2,1） （3,1） （3,2） （4,1）(4,2） （4,3）共有 6 个，8316)(AP 答：甲获胜的概率为 83(2）设甲获胜的事件为 B，乙获胜的事件为 C，事件 B所包含的基本事件为（1,1） （2,2）（3,3） （4,4）共有 4 个，则 16)(B， 4316)(C
15、P，P，所以不公平27 我校开设甲、乙、丙三门校本选修课程，学生是否选修哪门课互不影响.己知某学生选修甲而不选修乙和丙的概率为 0.08,选修甲和乙而不选修丙的概率是 0.12,至少选修一门的概率是 0. 88.(2) 求学生李华选甲校本课程的概率；(3) 用 表示该学生选修的校本课程门数和没有选修的校本课程门数的乘积，求 的分布列和数学期望.【 答 案 】28已知向量 a(2,1)， b( x， y)(1)若 x1,0,1,2， y1,0,1，求向量 a b 的概率；(2)若 x1,2， y1,1，求向量 a， b 的夹角是钝角的概率【答案】(1)设“ a b”为事件 A，由 a b，得 x
16、2 y.基本事件空间为 (1，1)，(1,0)，(1,1)，(0，1)，(0,0)，(0,1)，(1，1)，(1,0)，(1,1)，(2，1)，(2,0)，(2,1)，共包含 12 个基本事件；其中 A(0,0)，(2,1)，包含 2 个基本事件则 P(A) ，即向量 a b 的概率为 212 16 16(2)设“ a， b 的夹角是钝角”为事件 B，由 a， b 的夹角是钝角，可得 ab0，即 2x y0，且x2 y.基本事件空间为 ( x， y)|Error!，B( x， y)|Error!，则 P(B) ，即向量 a， b 的夹角是钝角的概率是 B 12(f(1,2) f(3,2)232 13 13
