1、北京市人大附中 2012 届高三数学尖子生专题训练：空间几何体I 卷一、选择题1如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45，腰和上底均为 1 的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )A2 B21 22C D12 22 2【答案】A2已知 、 是两上不同的平面，m，n 是两条不同的直线，给出下列命题：若 ,则 ；若 /n，则 /如果 ,是异面直线，那么 n 与 相交；若 /,m且 则 /且 。其中正确的命题是 ( ）A B C D【答案】D3已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆） ，根据图中标出的数据，这个几何体的体积是 ( ）A288+36 B60C288+72D288+
2、18【答案】A4某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 2B 1C 32D 31【答案】B5某器物的三视图如图 1212 所示，根据图中数据可知该器物的体积是( )图 1212A8 B9C 4 3153D 4 153【答案】D6在正三棱锥 S-ABC 中，侧面 SAB、侧面 SAC、侧面 SBC 两两垂直，且侧棱 SA= 32，则正三棱 S-ABC 外接球的表面积为（ ）A12 B32 C36 D48 【答案】C7一个几何体按比例绘制的三视图如图 128 所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A4 m3 B m3 C3 m3 D m392 94图 129【答案】C8 如图
3、，水平放置的平面图形 ABCD 的直观图，则其表示的图形 ABCD 是 ( ) A任意梯形 B直角梯形 C任意四边形 D平行四边形【答案】B9已知球 O 是棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1的内切球，则平面 ACD1截球 O 所得的截面面积为( )A B C D36 66 9 6【答案】D10一个几何体的三视图如图 129 所示，则这个几何体的体积是( )A B112C D232【答案】A11在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图 122 所示，则相应的侧视图可以为( )图 122 图 123【答案】D12如下图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边
4、三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为( )A4 B43C2 D23【答案】CII 卷二、填空题13 如图，在正方体 1ABCD中，点 P 是上底面 1ABCD内一动点，则三棱锥P的主视图与左视图的面积的比值为 _. 【答案】114一个底面半径为 1，高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分，如图 1218，截下部分的母线最大长度为 2，最小长度为 1，则截下部分的体积是_图 1218图 1219【答案】3215如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的高为 3，底面是边长为 4 且 DAB60的菱形，AC BD O， A1C1 B1D1 O1，则二面角 O1 BC D 的大小为 .【答案】
5、6016一简单组合体的三视图及尺寸如图所示(单位：cm)，则该组合体的表面积为_ cm 2.PDCBA11B左 视 主 视【答案】12 800 cm 217四面体的六条棱中，有五条棱长都等于 a，则该四面体的体积的最大值为_【答案】 a31818已知四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是矩形， PA底面 ABCD，点 E、 F 分别是棱 PC、 PD 的中点，则棱 AB 与 PD 所在直线垂直；平面 PBC 与平面 ABCD 垂直； PCD 的面积大于 PAB 的面积；直线 AE 与直线 BF 是异面直线以上结论正确的是_(写出所有正确结论的序号)【答案】三、解答题19如图，平面四边形 AB
6、CD 关于直线 AC 对称， 2,90,6CDA ，把ABD 沿BD 折起（如图 2） ，使二面角 ABDC 的余弦值等于 3。对于图 2，完成以下各小题：(1）求 A，C 两点间的距离；(2）证明：AC 平面 BCD；(3）求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值。【答案】 （1）取 BD 的中点 E，连接 AE，CE，由 AB=AD，CB=CD 得， BDAEC就是二面角 ABDC 的平面角，在ACE 中， E26(2）由 AC=AD=BD=2 2，AC=BC=CD=2 ，(3）以 CB，CD，CA 所在直线分别为 x 轴，y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 Cxyz，则20已知某几何
7、体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为 8、高为 4 的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.(1）求该几何体的体积 V. (2）求该几何体的侧面积 S.【答案】 （1）由该几何体的俯视图、正视图、侧视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面 ABCD 是边长为 6 和 8 的矩形，高 VO=4，O 点是 AC 与 BD 的交点.所以该几何体的体积 V=13864=64.(2）如图所示，OEAB，OFBC，在侧面 VAB 中，VE= 2243VOE=5， 所以 SVAB = 1ABVE= 85=20.在侧面 VBC 中，VF= 22
8、F，21如图，平面 PAD平面 ABCD， ABCD 为正方形， PAD90，且 PA AD， E、 F 分别是线段PA、 CD 的中点(1)求证： PA平面 ABCD；(2)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值【答案】(1)证明：由于平面 PAD平面 ABCD，且平面 PAD平面 ABCD AD，而 PAD90，即 PA AD，且 PA平面 PAD，由面面垂直的性质定理得：PA平面 ABCD.(2)法一：取 BC 的中点 M，连接 EM、 FM，则 FM BD， EFM(或其补角)就是异面直线 EF 与 BD所成的角设 PA2，则 AD DC CB BA2，AM ，AB2 (f(1,2
9、)BC)2 5BD 2 ，AB2 AD2 2Rt MAE 中， EM ，同理 EF ，EA2 AM2 6 6又 FM BD ，12 2 MFE 中，由余弦定理得cos EFM EF2 FM2 ME22EFFM 36理法二：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，设 AB2，则A(0,0,0)， B(2,0,0)， C(2,2,0)， D(0,2,0)， P(0,0,2)，E(0,0,1)， F(1,2,0)， C(1,2，1)，D(2,2,0) ，cos | 3622如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD底面 ABCD，PD=DC，E 是 PC的中点，作 EFP
10、B 交 PB 于点 F。(1）证明 PA/平面 EDB； (2）证明 PB平面 EFD； 【答案】 （1）证明：连结 AC，AC 交 BD 于 O，连结 EO。底面 ABCD 是正方形，点 O 是 AC 的中点在 PAC中，EO 是中位线，PA / EO而 EO平面 EDB 且 平面 EDB，所以，PA / 平面 EDB(2）PD底面 ABCD 且 D底面 ABCD， PD=DC，可知 是等腰直角三角形，而 DE 是斜边 PC 的中线， PCD。 同理由 PD底面 ABCD，得 PDBC。底面 ABCD 是正方形，有 DCBC，BC平面 PDC。而 E平面 PDC， DEB。 由和推得 平面 PBC。而 B平面 PBC， P又EFPB， FPB平面 EFD23已知一四棱锥 PABCD 的三视图如下，E 是侧棱 PC 上的动点。(1）求四棱锥 PABCD 的体积；(2）是否不论点 E 在何位置，都有 BDAE？证明你的结论;(3）求四棱锥 PABCD 的侧面积.
