1、一类 Hilbert 型不等式的改进和推广On an Extension of Hilberts Inequality and Generation申 请 人：聂凤飞 学科专业：应用数学研究方向：矩阵论与凸分析指导教师：宝音特古斯论文提交日期：二一二年三月硕 士 学 位 论 文分类号 ICS 学校代码 10136 学 号 200900081I摘 要1908 年，德国数学家 Hilbert 提出并证明了 Hilbert 不等式，1925 年，英国数学1家 Hardy 引入了一对共轭的参数后，将 Hilbert 不等式推广为 Hardy-Hilbert 型不等2式，后我们将其统称为 Hilbert
2、 型不等式，从此有关 Hilbert 型不等式理论的研究非常活跃，诸多文献丰富和发展着 Hilbert 型不等式理论。且作为数学工具，其在众多领域起着十分重要的作用。1991 年，大连理工大学的数学家徐利治教授首次倡导运用权系数的方法以建立加强型 Hilbert 型不等式和 Hardy-Hilbert 型不等式I.Schur 控制关系和 Schur凸函数两个最基本的概念1925 年，Marshall 和Olkin 的名著 “Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications”系统地阐述了控制不等式理论，从此 Schur凸性理论研究
3、引起了人们的广泛兴趣目前，Schur凸性的研究非常活跃，众多文献中讨论了对称函数的 Schur凸性，且在数学其它分支中有重要应用，并获得了众多经典结果 1923年，I.Schur证明了初等对称函数 和商 的()kEx1()kkEx()nSchur凸性问题，1999年，石焕南教授首先研究了初等对称函数差 的1(kkExSchur凸性，之后文29(1957) ，30(1961) ，31(2004)和文32(2010)也研究了此类的问题另外，2007年，关开中在文16中定义并研究了对称函数： ，112 1(;)(,;)jkjinnninjxGxkx (0,1)n(其中 ， ， 为正整数)的Schur
4、凸性问题，并提出一个21rii猜想2009年，褚玉明等人在中国科学中解决了这个猜想本文，研究了下面的内容：首先定义了两类对称函数 和 ：(;,)xfk(;,)xfk， ，12(;,), ()nkpxfkEfx nI，,;kff(其中 为区间， ， ， )，然后研究了 和IR:fIRkpN1n(;,)xfk的 Schur凸性、Schur几何凸性和 Schur调和凸性及其应用问题;,)xfk另外，我们还定义了对称函数：， 112 1(;,)(,;,)jkjsinnn tinjxGxstxkst (0,1)n( ， ， ， ， )，并研究了对称函数 和N2k0t ;nGkII的 Schur凸性、Sc
5、hur几何凸性和 Schur调和凸性，得到了一般结果，(;,)nGxks并顺便解决了对称函数 的 Schur几何凸性和 Schur调和凸性问题(;)nGxk关键词：Hilbert 型不等式；参数；权系数；共轭指数；Euler-Maclaurin 求和公式On Schur-convexity for Three Type of Symmetric FunctionsAbstractI. Schur firstly introduced two basic concepts: control relationship and Schur-convex function in 1923. In 19
6、79, Marshall and Olkin systematically illustrated the control inequality theory in the famous book “Inequalities: Theory of Majorization and Its Applications“. From then on, more and more people show interest in the study on Schur-convexity. Currently, the study on Schur-convexity is very active. Th
7、ere are many literatures discuss the Schur-convexity for symmetric functions. These properties could be applied to the other branch of mathematics and some classical results are obtained. In 1923, I. Schur firstly studied the Schur- convexity for the elementary symmetric functions and the quotient .
8、 In 1999, Shi Huannan studied the ()kEx1()()kkExnSchur- convexity for , and then paper 30(1957),31(1961),32(2004) and 1()kk33 (2010) also studied this type problems. In addition, in 2007, Guan Kaizhong defined and studied on the Schur- convexity for the symmetric functions: 112 1(;)(,;),0,1jkjinnnni
9、njxGxkx(Where, 2， 1， 1rii is a positive integer) and proposed a conjecture in paper 16. In 2009, Chu Yuming et al solved this conjecture in “Science China“. IIIThis paper studies on the Schur-convexity, the Schur-geometry convexity, the Schur-congruity convexity and its application for symmetric fun
10、ctions (;,)xfkand (;,)xfk: 12(;,)(,;,)()nkkpxfkxfEfx, nI12;,;, ()nkkpffff, nx(Where IR is a interval, :fIR， ,1pNn). Moreover, we defined the symmetric function ( 2， 1kn， 0s， )：t112 1(;,)(,;,),jkjsinnnn tinjxGxkstxkst and studied the Schur- convexity, the Schur-geometry convexity and the Schur- congr
11、uity convexity for symmetric functions and . Some general results are (;,)nGxks(;,)nxstobtained, and the problems of the Schur-geometry convexity and Schur- congruity convexity for symmetric functions are obtained. (;)nxkKeywords: symmetric function; logarithmic convex function; Schur-convexity;Schu
12、r-geometry convexity; Schur- congruity convexity Directed by: Prof. BaoyintegusiApplicant for Master degree: Nie feng-fei (Applied Mathematics)(College of Mathematics，Inner Mongolia University for Nationalities，Tongliao 028043，China)IV目 录摘 要 .IAbstract II目 录 IV第一章 引言 .11.1 本课题的选题意义及背景 11.2 与本课题有关的 H
13、ilbert 型不等式的研究现状 51.3 本文主要研究内容 6第二章 一类 Hilbert 型不等式的研究 .72.1 关于 Hilbert 型不等式在权系数 ()twn下的研究义及相关引理 .7第三章 Hilbert 型不等式的进一步研究 113.1 关于 Hilbert 型不等式的进一步研究的定义及相关引理 113.2 关于对称函数商的 Schur凸性 .123.3 特殊形式的对称函数商的 Schur凸性 .134.1 关开中对称函数及其 Schur凸性的定义及相关引理 13致 谢 .15作者简介 .16V内蒙古民族大学硕士学位论文 11第一章 引言1.1 本课题的选题意义及背景随着科学
14、技术的迅速发展，等式理论及相关知识已不能满足现代科学的需要，不等式理论和方法业已成为现代科技理论必不可少的工具。数学不等式学科是一门研究数量之间比较大小及变量变化之间相互制约的关系的学科。许多问题中，往往同时存在着若干量，涉及到的相互关系，常常被归结为证明某个或某些不等式问题。从而，作为数学工具，不等式在众多领域起着十分重要的作用。诸如分析不等式、图论和矩阵论、概率论、统计学、组合论、优化理论有着密切的联系，甚至在实验、可靠性、信息安全性及相关领域中也有着十分重要的应用。当今电子计算机及计算技术的迅速发展为不等式理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，不等式理论一直在不断丰富和发展着。1908 年
15、，德国数学家 Hilbert 提出并证明了著名不等式： 1.12211nmnabab1925 年，英国数学家 Hardy 引入了一对共轭的参数后，将其推广得到了2Hardy-Hilbert 不等式：.111sin()pqnmnnabab1934 年，哈代等在“Inequations”中，归纳了数篇相关文章的研究思想，使关于1 齐次核 Hilbert 型不等式的基本理论大致完成。1991 年，大连理工大学的数学家徐利治教授首次倡导运用权系数的方法以建立加强型 Hilbert 型不等式和 Hardy-Hilbert 型不等式，并提出了 2 个公开问题，征求加强式子中常数的最佳值。近些年来，Hilb
16、ert 型不等式一直受到数学界的关注，许多数学家对它做了大量的改进及推广工作 。依杨必成教授总结，Hilbert 型不等式的研究大致分为以下四35个阶段：第一阶段：1992 至 1997 年间，湖南吉首大学高明哲教授与广东第二师范学院杨必成教授解决了徐利治提出的公开问题。这一期间的研究说明，通过巧妙配方产生权系数，并辅以分析技巧估算它，从而建立加强型的 Hilbert 型不等式或 Hardy-Hilbert 型不等式，这就是所谓权系数方法，它是推动 Hilbert 型不等式理论研究的重要方法。第二阶段：1998 至 2003 年间，杨必成运用权系数方法伴之引入独立参数及2 一类 Hilbert
17、 型不等式的改进和推广 2Beta 函数，把1 齐次核 Hilbert 型不等式提升到一般负数齐次核的相关不等式。第三阶段：2004 至 2008 年间，杨必成发现了对偶的 Hardy-Hilbert 型不等式，构造了逆向的 Hilbert 型不等式，后续地结合算子理论，为建立 Hilbert 型不等式及Hilbert 型算子理论打下基础。第四阶段：在纪念 Hilbert 型不等式诞生百年之际，杨必成积累研究成果，开始著书立说，出现了较系统的 Hilbert 型不等式理论。其中代表著作有算子范数与Hilbert 型不等式 、 Hilbert-Type Integral Inequalities
18、 、 Discrete Hilbert-Type Inequalities 、 Hilbert-Type Integral Operators and Their Inequalities 。下面给出与本文相关的定义及判断条件：本文约定 01,2,12,N 为实数列，满足 参数 ，且1nnab 110,0nnab,0pq参数 ，且 参数 1pq,0rsrs,标记权系数为11ln()()(,)ttmwrs及加参数后的的权系数，本文对此做了估计。这里标记一样了11ln)()(,(tmt rs这里 .,0定义函数 11ln(),(),sxxnfx定义 1.1.1 若 为实数列，满足 ，则不等11,n
19、nab 110,0nnab式 2211nmnab称为 Hilbert 不等式，其中，常数因子 为最佳值。内蒙古民族大学硕士学位论文 33定义 1.1.2 设 为实数列，满足 ，211,nnab 110,0nnab， ，得到了 Hardy-Hilbert 不等式：,0pq1，111sin()pqnmnnabab其中，常数因子 是最佳值。以上不等式统称为 Hilbert 型不等式。si()p定理 1.1.1 在权系数 下，011ln()(,)ttmwrs，1 12 21 111ln()sin()sin()p qsrmn n nmababr 这里 .5l262几个引理引理 2.1 (1) (改进的
20、Euler-Maclaurin 求和公式) 设 ，07 40,)hC， ，则()1ihx()i0,1234)i.00(0(21nhhxd引理 2.2 设 ， ，则1rs(1) 1 ，20lnin()rudtr(2) 4 1 210l1()sk引理 2.3 设 ， ，则r，12211ln() ()sin()sin()smwrr其中 , 23642221 351()ax,646()42rrr 2 一类 Hilbert 型不等式的改进和推广 4引理 2.4 设 ， ， ，则1rs2n，122111 ()l0()si()sin()s r rmwn其中 ， 。236412()642ln2rr其中，杨必成
21、 给出了一个具有最佳常数的不等式及其等价式。5,112221 1ln()sin()pqmnnmnababp .22 211 1lsi()pp pnn n 2005 年，杨必成在上述条件下又引入独立参数 ，得到了下0mi,)q列不等式 ：4,1121 1ln()sin()pqpqmnnmnabab 同时还有其等价式。Hilbert 型不等式在分析学等领域有着重要的地位。在对 Hilbert 型不等式的众多加强工作中，大多都用到了 Euler-Maclaurin 求和公式， 2010 年黄启亮 就曾提出并6证明了一个有关权系数与 Euler-Maclaurin 求和公式相联系的估算方法： 1 12
22、 21 111 1ln()sin() sin()p qsrmn n nmababr 这里 ,对于 ,定义的权系数为 5l26r.11ln()()(,)ttmwrs本文的目的是给出上面不等式中权函数的加强推广式，并对其进行了估算。作为应用，给出了一个较上述内容更一般化的推广形式。下面对本文的权系数进行估计内蒙古民族大学硕士学位论文 55。11ln()() (,)ttmwmrs这里 , .,01rspq1.2 与本课题有关的 Hilbert 型不等式的研究现状近些年来，数学工作者从不同侧面不同角度论述了 Hilbert 型算子及其不等式应用的理论。依据权系数方法参数化思想及算子理论，主要研究若干类
23、型的 Hilbert 离散型不等式Hilbert 积分型不等式 Hilbert 型算子的范数表示，合成性质和不等式应用。该领域国内外研究现状及趋势：1908 年，数学家 David Hilbert 发表了以其名字命名的 “Hilbert 不等式”。由此引起不少研究者的关注。1925 年，哈代引入了一对共轭参数，推广了 Hilbert 不等式，史称 Hardy-Hilbert 不等式。 后续，他又完成了负一次齐次核的基本理论。近年来，对不等式理论感兴趣的数学工作者仍在继续研究这个古典的不等式。1991 年，徐利治首次提出权系数方法，加强了 Hilbert 不等式及 Hardy-Hilbert 不
24、等式。2003 年至今，杨必成改进了权系数方法并引入了独立参数，发现了对偶的Hardy-Hilbert 不等式及参数化的 Hilbert 不等式等相关理论。数学不等式一直是 20 世纪非常活跃而有吸引力的研究领域,特别是该世纪 90 年代不等式研究空前活跃，研究的深度广度迅速扩大。目前国内关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如 2009 年，杨必成出版了算子范数与 Hilbert 不等式 ；2009 年至 2010 年，他又出版了的两部英文专著“Hilbert-Type Integral Inequalities”及“Discrete Hilbert-Type Inequali
25、ties”。这三本书，均以权系数方法，参数化思想及算子理论为主要工具，从不同侧面，不同角度论述了 Hilbert 算子及不等式的理论，内容覆盖了近年来的文献及主要成果。数学不等式理论充满蓬勃生机兴旺发达，有着广阔的前景和良好的发展前途。特别，在1990年LCHsu等学者认真地研究了Hardy原来采用的方法（文献2020Hsu，LC),rxxnfx则 ， ， ，且4(0,)fC()1,;0if(),;0if(,1234)i (3.2)11;)(;mfnfnxnd其中，(,;)1,2fs.2lnln(1,;) ,()rfn 引理 3.1.2 设 ， ，则r1s内蒙古民族大学硕士学位论文 1313(
26、1) 1 ，210lndsin()rur(2) 4 1 210l1()sk引理 3.1.3 设 , ， ，则r, (2.2)1211ln(;) ()sin()rrmwr 其中 217()64证 利用式(2.1), 我们有,11(,;)(1,;)ln(,;)li li 1()2sx xff xf s 从而当 时，由引理 2.1，有1n111ln1(;)(,;)d2rrmxwf s120l7sin() 4sxrx ，2201i 12()k ss记，207(;) 4()kr ss因函数 是关于 的递增函数，于是，有(1;)rs，21201(;) ()6kr 从而不等式(2.1)成立证毕推论 1 在引
27、理 2.3 的条件下，则，2211(;)()sin()sin()rwrr其中 22137,6464引理 3.1.4 设 , , ， ，则rs012 (2.3)1211 ()ln()0(;) sin()srrmwmr 2 一类 Hilbert 型不等式的改进和推广 14其中 217()64证 利用式(2.1), 经计算可得， ，ln(,;)1rf 2lnln(,;)1(1)rfns 作变换 ，那么由引理 2.1 和引理 2.2，有xt1121/0 221/10(;)(,;)(,;)d(,;)(,;)212lnsin()lln71()1lndsin()srmrrwffxfnfnttrttr /1/
28、 2/21/1024l7d4lnln(1)l1ldsin()ln72ss rrsttsttrn 2ln.1() 综合上述估算结果，有 .21min(,;)(,;)64rs主要结果定理 3.1 设 , , , ，若 ，满足1pqrs0,0nab()N， ，记 ，则()10prnna()10snnb11l()mnmI,12 2()()1 1si() si()p qsr nn nI abr 这里217()mi.64证 由 Hlder 不等式，有内蒙古民族大学硕士学位论文 1515,1ln()mnmIab11,1l()ln()rqsppqnsprqn mb11(1)(),1 ,l)l)qpsrmns
29、rmn na 111(;)(;)qppsrs rnnwwb1 12 2()()1sin() si()p qsrn nn abr 下证上式中的不等式中不能取等号若不然，则存在不全为零的常数 ，使得在,AB上，有等式 成立，经过整理后，得(0,),(1)(1)qpsrpqmnsrABbn不妨假设 不为零，则有 在 上成立，这与qpsrmnAaBbC ()prCAm(0,)矛盾，上式不等式严格成立 ()10rpn定理 3.2 在定理 3.1 的条件下，则，1122 ()()11sin()sin()pqsrq nnqnI abr 22()() 111 1l .i()si()ppp prr m nrnm
30、 na as 其中27()i.64对于 时，本文得到了更一般化的形式本文推论 3.2 改进了文4中的定理 3.1推论 3.1 设 ， , , ，且,1prq1rs0nab()N， ，记 ，则10rnna10snb1lmnnmIab12 21 11 1si()si()p qsr nn nI ar 2 一类 Hilbert 型不等式的改进和推广 161 12 21 11sin() sin()p qH Hsrn nabr 其中 ， 23645l6H推论 3.2 在引理 3.1 的条件下， ，则234(1) ，11221sin()sin()pqq srnnnI abr 221 11l(isi()ppp
31、 pr rm nnmna asr 推论 3.3 设 ， ， ， ，则1q,0nb()N2364(1) 若 ， ，有10pna10qn,12 121 1l()si()sin()pq qm nnnmbabp 2) 211 1liip pnn na (2) 若 ， ，有210pn210pqnnb,1122211 1l()si()si()pq qm nnpnmnab ab 22 2111 1lnisi()ppp pnn n 推论 3.4 设, , , , ，若 ，且0rqrs,0nabN， ，记 ，则(1)0prnna(1)snnb11l()mnnmI(1) ,12 2()()1 1si() si()
32、p qsrn nnI abr (2) ，1122 ()()11i()si()pqsrq nnqnI ar 内蒙古民族大学硕士学位论文 171722(1) (1)11ln()sin()sin()ppp pr rm nnm na ar 其中217()i.64参考文献1 H.Weyl ,Singulare Integralgleichungen mit besonderer Berucksichtigung des Fourierschen IntegralTheorems,Inaugeral dissertation,University of Gottingen,Gottingen,German
33、y,1908.2 G.H.Hardy, Note on a theorem of Hilbert concerning series of positive term J, Proceedings of the London Mathematical Society,1925(23), 45-46.3 全国不等式研究会.不等式研究通讯M.最值定理与分析不等式专刊 .2010.7.4 杨必成.杨必成数学论文集M.广东教育学院应用数学研究所 .2010.1.5 胡 克.解析不等式的若干问题M.武汉大学出版社.2007.6 匡继昌.常用不等式M (第四版).山东科学技术出版社.2010.7 王伯英.
34、控制不等式基础M.北京师范大学出版社.1990.8 黄启亮.一个 Hilbert 型不等式及其等价形式的加强推广J.数学杂志.30(3).2010.9 谢子填.一个新的实齐次核 Hilbert 型积分不等式及其逆J.广东教育学院学报.30(3).2010.10 付向红,和 炳.具有两个参数的 Hilbert 型积分不等式J.吉林大学学报.48(4).2010.11 B.Yang. Hilbert-Type Integral Inequalities M.Guangdong Education Institute.2010.3.12 G.H.Hardy.Note on a Theorem of
35、Hilbert Concerning Series of Positive Terms M.Proceedings of the London Mathematical Society. 23(2).1925.45-56. 13 Yang.On Best Extensions of Hardys Inequality with two Parameters J.Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics. 6(3).2005.1-15.14 J.Kuang. Recent Advances in the Research of
36、 Hilberts Inequalities J.Journal of Beijing Union University. Beijing. 24(1).2010.53-59.15 M.Z.Gao.On The Hilbert Inequalitiy J. For Anal. 18(4).1999.1117-1122.16 Y.Hong. All-side generalization about Hardy-Hilberts integral inequalities J. Acta.Math. Sinica.44(4).2001.619-626.1. 不等式文献及相关文献.2.3. G.
37、H.Hardy, J. E.Littlewood and G.Polya, ,InequalitiesM. 2nd. Cambridge: Cambridge University Press, 1952.4. E. F.Bechenbach and R. Bellman, InequalitiesM. Berlin： Springer-Verlag, , 1961.5. D. S. Mitrinovi and P. P. Vasi, Analytic InequalitiesM. Berlin: Springer-Verlag, 1970.2 一类 Hilbert 型不等式的改进和推广 18
38、6. 匡继昌,常用不等式M (第四版). 济南: 山东科学技术出版社,2010.7. A. W. Marshall and I. Olkin, Inequalities: Theory of Majoriztion and its ApplicationsM. New York-London: Academic Press, 1979.8. 王伯英,控制不等式基础M.北京: 北京师范大学出版社,1990.9. X. M. Zhang,Schur convex functions and isoperimetric inequalitiesJ. Proc. Amer. Math. Soc., 2
39、 (1998),461470.10. K. Z. Guan, Schur-convexity for a class of symmetric function and its applicationsJ. Math Inequal Appl., 9(2) (2006),199-210.11. K. Z. Guan,Schur-convexity of the complete symmetric functionJ. Math. Inequal. Appl., 9(4) (2006), 567-576. 12. J.Pearic , F. Proschan and Y. L. Tong,Co
40、nvex Functions， Partial Orderings and Statistical ApplicationsM.Academic Press, Inc. ,199213. 胡 克,解析不等式的若干问题M. 武汉: 武汉大学出版社, 2003.14. 张小明,几何凸函数M. 合肥: 安徽大学出版社, 2004.15. 张小明,解析不等式新论M. 哈尔滨: 哈尔滨理工大学出版社, 2009.16. I.Schur,ber eine klasse von mittebildungen mit anwendungen auf die determinanten theorieJ .Si
41、tzungsber. Berlin. Math. Gesellschaft, 22(1923), 9-22. 17. 禇玉明,夏卫锋,赵铁洪,一类对称函数的 Schur凸性J. 中国科学 A 辑,39(11) (2009), 1267-1277.18. K. Z. Guan, Some properties of a class of symmetric functionsJ. Math. Anal. Appl., 36(1) (2007),7080. 19. Y. M. Chu, X. M. Zhang and G.D. Wang, The Schur geometrical convexi
42、ty of the extended mean valuesJ. J. Convex Anal., 15(4)(2008),707718.20. G. D.Anderson, M. K.Vamanamurthy and M. Vuorinen, Generalized convexity and inequalitiesJ. J. Math. Anal. Appl., 335(2)(2007), 12941308.21. W. F. Xia and Y. M. Chu, Schur-convexity for a class of symmetric functions and its applicationsJ. Math. Inequal. Appl.,2009, Article ID 493759, 15 pages.22. 杨定华, 抽象控制不等式的理论基础J. 中国科学 A 辑, 39(7)(2009)
