1、巧 用 变 换 自 变 量 解 决 有 关 含 参 数 函 数 恒 成 立 问 题数 学 组 陈 艳 数 学 中 的 常 量 和 变 量 相 互 依 存 ， 并 在 一 定 条 件 下 相 互 转 化 而 参 数（ 也 叫 参 变 量 ） 是 介 于 常 量 和 变 量 之 间 的 具 有 中 间 性 质 的 量 ， 它 的 本 质是 变 量 ， 但 又 可 视 为 常 数 ， 正 是 由 于 参 数 的 这 种 两 重 性 和 灵 活 性 ， 在 分析 和 解 决 问 题 的 过 程 中 ， 引 进 参 数 就 能 表 现 出 较 大 的 能 动 作 用 和 活 力 ，“引 参 求 变 ”是
2、 一 种 重 要 的 思 维 策 略 ， 是 解 决 各 类 数 学 问 题 的 有 力 武 器 参 数 是 数 学 中 的 活 泼 “元 素 ”， 特 别 是 一 个 数 学 问 题 中 条 件 与 结 论涉 及 的 因 素 较 多 ， 转 换 过 程 较 长 时 ， 参 数 的 设 定 和 处 理 的 作 用 尤 为 突 出 ，处 理 好 参 数 与 常 数 及 变 数 的 联 系 与 转 换 ， 在 某 些 问 题 的 求 解 过 程 中 起 到了 十 分 关 键 的 作 用 ， 下 面 就 变 换 自 变 量 法 解 决 一 类 恒 成 立 的 问 题 举例 说 明 . 例 1、 ，
3、当 -2， 2时 ， 有1x2pxf2已已已 p恒 成 立 ， 求 实 数 x 的 取 值 范 围 .0xf已分 析 ： 在 不 等 式 中 出 现 了 两 个 字 母 ： x 及 P,关 键 在 于 该 把 哪 个 字母 看 成 是 一 个 变 量 ， 另 一 个 作 为 常 数 。 显 然 可 将 p 视 作 自 变 量 ， 则上 述 问 题 即 可 转 化 为 在 -2， 2内 关 于 p 的 一 次 函 数 大 于 0 恒 成 立 的问 题 。 而 这 个 一 次 函 数 的 图 象 是 只 是 在 -2， 2内 的 一 段 线 段 ， 所 以只 需 两 端 的 函 数 值 大 于 零
4、 即 可 略 解 ： 不 等 式 即 (x-1)p+x2-2x+10,设 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在 -2,2上 恒 大 于 0， 故 有 ：即 解 得 ：0)(f1342x13x或或 x3.例 2 设 不 等 式 2x 1m(x 1)对 满 足 |m| 2 的 一 切 实 数 m 的 取2值 都 成 立 。 求 x 的 取 值 范 围 。分 析 ： 此 问 题 由 于 常 见 的 思 维 定 势 ， 易 把 它 看 成 关 于 x 的 不 等式 讨 论 。 然 而 ， 若 变 换 一 个 角 度 以 m 为 变 量 ， 即 关 于 m 的 一 次 不 等式 (x
5、1)m (2x 1)m(x 1)的 解 集 是 -2,2时 求 m 的 值 、 关 于 x 的2不 等 式 2x 1m(x 1)在 -2,2上 恒 成 立 时 求 m 的 范 围 。例 设 P=(log2x) +(t-2)log2x-t+1， 若 t 在 区 间 -2， 2上 变 动 时 ，P 恒 为 正 值 ， 试 求 x 的 变 化 范 围 分 析 ： 要 求 x 的 变 化 范 围 ， 显 然 要 依 题 设 条 件 寻 找 含 x 的 不 等式 (组 )， 这 就 需 要 认 真 思 考 条 件 中 “t 在 区 间 -2， 2上 变 动 时 ， P恒 为 正 值 ”的 含 义 你 是
6、 怎 样 理 解 的 ？ 如 果 继 续 思 考 有 困 难 、 请 换 一个 角 度 去 思 考 在 所 给 数 学 结 构 中 ， 右 式 含 两 个 字 母 x、 t， t 是 在给 定 区 间 内 变 化 的 ， 而 求 的 是 x 的 取 值 范 围 ， 能 想 到 什 么 ？解 ： 设 P=f(t)=(log2x-1)t+log22x-2log2x+1 因 为 P=f(t)在 直 角 坐 标系 内 是 一 直 线 ， 所 以 t 在 区 间 -2， 2上 变 动 时 ， P 恒 为 正 值 的 充 要条 件解 得 log2x 3 或 log2x -1说 明 ： 改 变 看 问 题
7、的 角 度 ， 构 造 关 于 t 的 一 次 函 数 ， 灵 活 运 用 函数 的 思 想 ， 使 难 解 的 问 题 转 化 为 熟 悉 的 问 题 练 习 、 对 任 意 ， 恒 成 立 ， 则 的 取 值1,a024)(2axax范 围 是 。规 律 总 结 ： 在 一 个 含 有 多 个 变 量 的 数 学 问 题 中 ， 确 定 合 适 的 变 量 和参 数 ， 从 而 揭 示 函 数 关 系 ， 使 问 题 更 明 朗 化 。 或 者 含 有 参 数 的 函 数 中 ，将 函 数 自 变 量 作 为 参 数 ， 而 参 数 作 为 函 数 ， 更 具 有 灵 活 性 ， 从 而 巧 妙 地解 决 有 关 问 题 。 一 般 给 出 函 数 参 数 的 取 值 范 围 ， 并 且 在 涉 及 恒 成 立 的情 况 下 ， 求 实 数 x 的 取 值 范 围 时 ， 我 们 往 往 采 用 变 换 自 变 量 的 方 法 来求 。
