1、含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若 恒成立，只须求出afx，则 ；若 恒成立，只须求出 ，则 ，maxfmaxffxminminf转化为函数求最值例 1、已知函
2、数 .（）求 的最小值；fln)()(f（）若对所有 都有 求实数 的取值范围.1x,1)(axfa二、导数为 0 的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论例 2.已知 是实数，函数 .a)(2axf（）若 ,求 的值及曲线 在点 处的切线方程；3)1(f (fy)1(,f（）求 在区间0，2上的最大值x三、导函数为 0 是否存在，分类讨论策略求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式） ，涉及到二次方程问题时，与
3、0 的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令=0，求分点，从而引起讨论例 3、已知函数 2()lnfxax， ()R， 讨论 ()fx在定义域上的单调性四、导函数为 0 的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论例 4、已知 ，讨论函数 的单调性0mxemxf 63)1()(2练习求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式） ，从而引起讨论。一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分
4、子能分解因式） ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。三、108 广东（理） 设 ，函数 ，kR1,(),(),xfFfxkR试讨论函数 的单调性。()Fx2 (08 浙江理)已知 是实数，函数afxa（）求函数 的单调区间；fx（）设 为 在区间 上的最小值。g0,2（ ）写出 的表达式；（ ）求 的取值范围，使得 。iaia62ga3（07 天津理）已知函数 ，其中 。21xf R（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；1ayf,f（）当 时
5、，求函数 的单调区间与极值。0x4（07 高考山东理改编）设函数 ，其中 ，求函数 的极2ln1fbx0bfx值点。含参数导数的解题策略例 1、解：（）略 （） 对所有 都有 ，1x1)(axf 对所有 都有 ，即 ln.ln记 只需 ),0(,l)(xxg)(mixg令 解得12.1.)(,0)( xxgx 当 时， 取最小值 1)( 即 的取值范围是 .a.1a例 2. 解：（I）略（II）令 ，解得 ()0fx12,3x当 ，即 时， 在0，2上单调递增，从而 23a()f max(2)84fa当 时，即 时， 在0，2上单调递减，从而 3x 0f当 ，即 ， 在 上单调递减，在 上单调
6、递20a0a()f20,3a,23增，从而 max84,.2f 综上所述， ax,.0f 例 3、 解：由已知得 ，2()21,(0)axafx（1）当 ， 时， 恒成立， 在 上为增函80a()ffx(,)数（2）当 ， 时，11) 时， ， 在108a802a()fx181,2a上为减函数， 在 上为增函数，()fx1810,)2a2）当 时， ，故 在 上为减函数，a()fx80,2a在 182a，）上为增函数 ()fx综上，当 时， 在 上为增函数a()f0,)当 时， 在 上为减函数，108fx181,2a在 上为增函数，()f 80,)2a当 时， 在（0，1a上为减函数， 在 1
7、82a， afx (fx）上为增函数例 4、解： ，设 ，令 ，xemxf 3)()(2 3)()(2mxg0)(g得 ， 31121)当 时， ，在区间 ， 上 ，即 ，02x)3,(),1(0(xg0)(xf所以 在区间 ， 上是减函数；)(xf)3,(m),(在区间 ， ，即 ，所以 在区间 上是增函1， 0xg0(xf)(xf)13(，m数；2）当 时， ,在区间 ， 上 ，即 ，又321)1,(),(0(g0)(xf在 处连续，所以 在区间 上是减函数；)(xf )xf3）当 时， ,在区间 ， 上 ，即 ，m21),()3(，m(x)(xf所以 在区间 ， 上是减函数；)(xf),
8、(3，在区间 上， ，即 ，所以 在区间 上是增函， 0(xg0)(xf)(xf)31(m，数练习1 解： 。21,11,() ,(),2kxkxFxfkxFxx 考虑导函数 是否有实根，从而需要对参数 的取值进行讨论。()0xk（一）若 ，则 。由于当 时， 无实根，而当121kxF0()0Fx时， 有实根，0k()0x因此，对参数 分 和 两种情况讨论。kk（1） 当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上为增()F(,1)()Fx,1)函数；（2） 当 时， 。0k221()1kxkkkx x由 ，得 ，因为 ，所以()F121,xkk0。12x由 ，得 ；由 ，得 。()0x1xk()0
9、Fx1k因此，当 时，函数 在 上为减函数，在 上k()1,)k(,)为增函数。（二）若 ，则 。由于当 时， 无实根，而1x12()kxFx0()0Fx当 时， 有实根，因此，对参数 分 和 两种情况讨论。0k()0Fxk0k（1） 当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 上为减1,()Fx1,函数；（2） 当 时， 。0k122()1kxkxkFx由 ，得 ；由 ，得 。()24()0F24因此，当 时，函数 在 上为减函数，在 上0k()x21,4k21,k为增函数。综上所述：（1） 当 时，函数 在 上为减函数，在 上为增函0k()Fx1,)k1(,)k数，在 上为减函数。1,（2） 当
10、 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数。0k()x,1)1,（3） 当 时，函数 在 上为增函数，在 上为减函数，在F,2,4k上为增函数。21,4k2 解：（）函数的定义域为 ，0,，由 得 。3022axxaf ()fx3a考虑 是否落在导函数 的定义域 内，需对参数 的取值分 及3()f,0两种情况进行讨论。0a（1） 当 时，则 在 上恒成立，所以 的单调递增区间为()0fx, fx。,（2） 当 时，由 ，得 ；由 ，得 。0a()fx3a()0fx3ax因此，当 时， 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间0afx0,3afx为 。,3（） （ ）由第（）问的结论可知：i（1）
11、当 时， 在 上单调递增，从而 在 上单调递增，0afx0,fx0,2所以 。g（2） 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以：0afx0,3a,3a 当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递,236fx0,23a增，所以 。23agf93a 当 ，即 时， 在 上单调递减，所以2,3a6fx0,2。gfa综上所述， 0,2,63a（ ）令 。i62g若 ，无解；0a若 ，由 解得 ；3a36a 若 ，由 解得 。6a22综上所述， 的取值范围为 。a3、解：（）当 时，曲线 在点 处的切线方程为1yfx,f。03256yx（）由于 ，所以 。a22 2111axaxaxaf 由
12、，得 。这两个实根都在定义域 R 内，但不知它们之间的0fx12,大小。因此，需对参数 的取值分 和 两种情况进行讨论。a0a（1） 当 时，则 。易得 在区间 ， 内为减函数，在a12xfx1,a区间 为增函数。故函数 在 处取得极小值 ；函数,f1a2f在 处取得极大值 。fx2afa（2） 当 时，则 。易得 在区间 ， 内为增函数，在012xfx),(),1(a区间 为减函数。故函数 在 处取得极小值 ；函数)1,(af1a2f在 处取得极大值 。fx2f4、解：由题意可得 的定义域为 ， ，fx1,221bxbfx的分母 在定义域fx1,上恒为正，方程 是否有实根，需要对参数 的取值
13、进行讨论。20xbb（1）当 ，即 时，方程 无实根或只有唯一根 ，48120x12x所以 2gxx在 上恒成立，则 在 上恒成立，所以函数 在 上,0f1,fx1,单调递增，从而函数 在 上无极值点。x,（2）当 ，即 时，方程 ，即 有两个不相等48b220xb0fx的实根： 。11,xx这两个根是否都在定义域 内呢？又需要对参数 的取值分情况作如下讨论：1,b（）当 时， ，所以0b121, 12bxx。12,x此时， 与 随 的变化情况如下表：ffxx21,22,xf0x递减 极小值 递增由此表可知：当 时， 有唯一极小值点 。0bfx21bx（）当 时， ，所以1212, 12b。1,xx此时， 与 随 的变化情况如下表：ffx1,x12,x2,xf00x递增 极大值 递减 极小值 递增由此表可知：当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点102bfx12bx。21x综上所述：（1） 当 时， 有唯一极小值点 ；0bfx12bx（2） 当 时， 有一个极大值点 和一个极小值点102bfx12bx；x（3） 当 时， 无极值点。12bfx
