1、含参数导数问题点一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根，从而引起讨论。 ?1,x?1?,F(x)?f(x)?kx,x?R，试讨论函数F(x)的单调性。 例 1 设 k?R，函数 f(x)?1?x?x?1,x?1?二、 求导后，导函数为零有实根，但不知导函数为零的实根是否落在 定义域内，从而引起讨论。 例 2 已知 a 是实数，函数求函数设gf?x?x?x?a? f?x? 的单调区间； ?a?为 f?x?在区间?0,2? 上的最小值。 求 a 的取值范围，使得 ?6?g?a?2。 ?a?的表达式； 写出 g 三、 求导后，导函数为零有实根, 导函数为零的实根也落在定义域内， 但不知这些实根的大小
2、关系，从而引起讨论。 2ax?a2?1 例 3 已知函数 f?x?x?R?，其中 a?R。 2x?1 当 a?1 时，求曲线 y?当 a?0时，求函数 例 4 设函数例 5 已知函数 f?x?在点?2,f?2? 处的切线方程； f?x?的单调区间与极值。 f?x?x2?bln?x?1?，其中 b?0，求函数f?x?的极值点。 f(x)?(a?1)lnx?ax2?1 f(x)的单调性； f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求 a 的取值范围。 讨论函数 设 a?1.如果对任意x1,x2?(0,?)， |例 6 已知函数 xf(x)=In(1+x)-x+x2(k0)。 2()当 k=2时，求
3、曲线 y=例 7 设 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；()求 f(x)的单调区间。 f(x)是定义在区间(1,?)上的函数，其导函数为 f(x)。如果存在实数 a 和函数 h(x)，其中 h(x)对任 意的 x?(1,?)都有 h(x)0，使得(1)设函数 f(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称函数 f(x)具有性质 P(a)。 f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中 b 为实数。 x?1(i)求证：函数 (2)已知函数 f(x)具有性质 P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。 g(x)具有性质P(2)。给定 x1,x2?(1,?),x1?x2 设,m 为实数，?mx1?
4、(1?m)x2， ?(1?m)x1?mx2，且?1,?1，若|g(?)?g(?)| ?1?k?1?x?2,x?1?12?kx,x?1,?1?x?例 1解：F(x)?f(x)?kx?1?x。 ,F(x)?x?1?kx,x?1?1?2kx?1?,x?1?2x?1?考虑导函数 F(x)?0 是否有实根，从而需要对参数 k 的取值进行讨论。 若 x?1，则F(x)?1?k?1?x?2?1?x?2。于当 k?0 时，F(x)?0 无实根，而当 k?0 时，F(x)?0有实根， 因此，对参数 k 分 k?0和 k?0 两种情况讨论。 当 k?0 时，F(x)?0 在(?,1) 上恒成立，所以函数 F(x)
5、在(?,1)上为增函数； ?1?1?kx?1?x?1?2?1?k?1?x?k?k?。 当 k?0 时，F(x)?22?1?x?1?x?F(x)?0，得x1?1?1?1?,x?1?2?，因为 k?0，所以 x1?1?x2。 k?k?F(x)?0，得1?11?x?1；F(x)?0 ，得 x?1?。 kk11)上为减函数，在(1?,1)上为增函数。 kk 因此，当 k?0 时，函数 F(x)在(?,1?若x?1，则 F(x)?1?2kx?1。于当 k?0 时，F(x)?0 无实根，而当 k?0 时，F(x)?02x?1有实根，因此，对参数 k 分 k?0 和 k?0两种情况讨论。 当 k?0 时，F
6、(x)?0 在 ?1,?上恒成立，所以函数 F(x)在?1,?上为减函数； 1?k?x?1?1?2kx?12k?。 当 k?0 时，F(x)?2x?1x?1F(x)?0，得x?1?111?x?1?；，得。 F(x)?04k24k2因此，当 k?0 时，函数 F(x)在?1,1?1?1?上为增函数。 上为减函数，在1?,?2?4k2?4k?a?3?x?3?x?a3x?a?x?0?，f(x)?0例 2 解：函数的定义域为?0,?，f?x?x?2x2x2x 得 x?aa。考虑是否落在导函数 f(x)的定义域?0,?内，需对参数 a 的取值分 a?0 及 a?0 两种情33 况进行讨论。 当 a?0
7、时，则 当 a?0时， f(x)?0 在?0,? 上恒成立，所以 f?x?的单调递增区间为?0,?。 aaf(x)?0，得 x?；f(x)?0，得 0?x?。 33 因此，当 a?0 时， a?a?。 ，的单调递增区间为 f?x?的单调递减区间为?fx0,?3?3?第问的结论可知： 当 a?0 时， f?x?在?0,?上单调递增，从而 f?x?在?0,2?上单调递增，所以 g?a?f?0?0。 当 a?0时， a?a?上单调递增，所以： 上单调递减，在 f?x?在?0,?3?3? 当 aa?a?上单调递增， ?0,2?，即 0?a?6 时，f?x?在?上单调递减，在 0,2?333?所以g 当
8、 a?2a?a?f?3?32a3aa。 ?93a?2,?，即 a?6 时，f?x? 在?0,2?上单调递减，所以 g?a?f?2?2?2?a?。 3例 3 解：当 a?1 时，曲线 y?f?x?在点?2,f?2?处的切线方程为 6x?25y?32?0。 22?x?1?2ax?a?a?2a?x?1?2x?2ax?a?1?。 于 a?0，所以f?x?22?x2?1?x2?1?1f?x?0，得x1?,x2?a。这两个实根都在定义域 R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参 a 数 a 的取值分 a?0 和 a?0 两种情况进行讨论。 当 a?0 时，则 x1?x2。易得 1?1?为增函，内为减函数
9、，在区间 f?x?在区间?a,?,?,a?a?a?数。故函数 11?f?x?在 x1?处取得极小值 f?a2；函数 f?x?在 x2?a 处取得极大值 f?a?1。 ?a?a?11f?x?在区间(?,a)，(?,?)内为增函数，在区间 (a,?)为减函 aa 当 a?0 时，则 x1?x2。易得数。故函数 11?f?x?在 x1?处取得极小值 f?a2；函数 f?x?在 x2?a 处取得极大值 f?a?1。 ?a?a? b2x2?2x?b?例 4 解：题意可得 f?x?的定义域为?1,?，f?x?2x?，f?x?的分母 x?1 在定x?1x?1义域 ?1,? 2 上恒为正，方程 2x 当 ?2
10、x?b?0 是否有实根，需要对参数 b 的取值进行讨论。 11时，方程 2x2?2x?b?0 无实根或只有唯一根 x?，所以 22?4?8b?0，即 b?2 g?x?2x?2x?b?0 在 ?1,?上恒成立，则 f?x?0 在 ?1,?上恒成立，所以函数 f?x?在?1,? 上单调递增，从而函数 12 时，方程 2x?2x?b?0，即 f?x?0 有两个不相等的实根： 2f?x?在?1,?上无极值点。 当?4?8b?0，即 b?x1?这两个根是否都在定义域 ?1?1?2b?1?1?2b。 ,x2?22?1,?内呢？又需要对参数 b 的取值分情况作如下讨论： 当 b?0 时， x1?1?1?2b
11、?1?1?2b?1,x2?1，所以 22x f?x? f?x? ?1,x2? x1?1,?,x2?1,?。 此时， f?x?与 f?x?随 x 的变化情况如下表： ?x2 0 极小值 ?x2,? ? 递减 递增 此表可知：当 b?0 时， f?x?有唯一极小值点 x2? 当 x 0?b?12时 ， ?1,x1? x1 ?x1,x2?x2 ?x2,? f?x? ?1?1?2b?1?1?2bx1?1,x2?1f?x? 22，所以 x1?此时， ? 0? 0? 递增 极大值 递减 极小值 递增 ?1,?,x2?1,?。 f?x?与 f?x?随 x 的变化情况如下表： 1?1?1?2b?1?1?2b
12、时，f?x?有一个极大值点 x1?和一个极小值点 x2?。 222 此表可知：当 0?b? a?12ax2?a?1?2ax?例5 解：f(x) 的定义域为 . f(x)?. xx 当 a?0时， f(x)0，故 f(x)在单调增加； f(x)0，故 f(x)在单调减少； f(x)=0，解得 x?a?1. 2a 当 a?1 时， 当-1a0 时，令 则当 x?(0,?a?1a?1)时，f(x)0；x?(?,?) 时，f(x) 0. 2a2a故 f(x) 在 (0,?a?1a?1)单调增加，在(?,?)单调减少 . 2a2a 不妨假设 x1?x2，而 a-1，知在单调减少，从而 ?x1,x2?(0
13、,?)，等价于 ?x1,x2?(0,?)， 令 g(x)?f(x1)?f(x2)?4x1?x2 f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 a?1?2ax?4 xa?1?2ax?4?0. 等价于 g(x)在单调减少，即 xf(x)?4x，则 g(x)?4x?1(2x?1)2?4x2?2(2x?1)2?2 故 a 的取值范围为当 k?2 时， 于 f(x)?ln(1?x)?x?x2，f(x)?1?1?2x 1?x3f(1)?ln2，f(1)?， 所以曲线 y?f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 23 y?ln2?(x?1) 即 3x?2y?2ln2?3?0 2x(kx?k?1)f(x)?，x?
14、(?1,?). 1?xx 当 k?0 时，f(x)?. 所以，在区间 (?1,0)上，f(x)?0；在区间(0,?)上，f(x)?0. 1?x 故 f(x)得单调递增区间是(?1,0)，单调递减区间是(0,?). f(x)?x(kx?k?1)1?k?0，得 x1?0，x2?0 1?xk1?k1?k,?)上，f(x)?0；在区间(0,)上，f(x)?0 所以，在区间(?1,0)和(kk1?k1?k,?)，单调递减区间是(0,). 故 f(x)得单调递增区间是(?1,0) 和(kk 当 0?k?1 时， x2 当 k?1 时，f(x)? 故 f(x)得单调递增区间是(?1,?). 1?xx(kx?
15、k?1)1?k?0，得 x1?(?1,0)，x2?0. 1?xk1?k1?k)和(0,?) 上，f(x)?0；在区间(,0) 上， f(x)?0 所以没在区间(?1,kk1?k1?k)和(0,?)，单调递减区间是(,0) 故 f(x)得单调递增区间是(?1,kk当 k?1 时， f(x)?例 7(i)f(x) x?1 时，h(x)?1?0 恒成立， 2x(x?1)函数 f(x)具有性质 P(b)； 2b2b2(ii)设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?，?(x)与f(x)的符号相同。 24b2 当1?0,?2?b?2 时，?(x)?0，f(x)?0，故此时 f(x)在区间 (1,?)上递增
16、； 4 当b?2 时，对于 x?1，有 f(x)?0，所以此时 f(x)在区间 (1,?)上递增； b?1，而?(0)?1， 2 当 b?2 时，?(x)图像开口向上，对称轴 x?对于 x?1，总有?(x)?0，f(x)?0，故此时 f(x)在区间(1,?)上递增； 当 b?2 时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0 所以 f(x)?0，故此时 f(x)在区间(1,?)上递增； bb?b2?4b?b2?4,当 b?2 时，?(x)图像开口向上，对称轴 x?1，方程?(x)?0 的两根为：，而 222b?b2?4b?b2?42?1,?(0,1) 222b?b?
17、4b?b2?4b?b2?4)时，?(x)?0，f(x)?0，故此时 f(x)在区间(1,) 上递减； 当 x?(1,同理得： 22b?b2?4,?)上递增。 f(x)在区间 2 综上所述，当 b?2 时， 当 b?2 时， f(x)在区间(1,?)上递增；f(x)在 (1,b?b2?4 上递减； )222f(x)在b?b?4,?)上递增。 2(2) 题意，得：g(x)?h(x)(x?2x?1)?h(x)(x?1)2 又 h(x)对任意的 x?(1,?)都有 h(x)0， 所以对任意的 x?(1,?)都有 g?(x)?0，g(x) 在(1,?)上递增。 又?当m?x1?x2,?(2m?1)(x1
18、?x2)。 1,m?1时，?，且?x1?(m?1)x1?(1?m)x2,?x2?(1?m)x1?(m?1)x2， 2 综合以上讨论，得：所求 m 的取值范围是。 题设知，g(x) 的导函数 g(x)?h(x)(x 成立。所以，当 x?1 时， g(x)?h(x)(x?1)当 m?(0,1)时，有?mx1?(1?m)x222?2x?1)，其中函数 h(x)?0 对于任意的 x?(1,?)都 ?0 ，从而 g(x)在区间(1,?)上单调递增。 ?mx1?(1?m)x1?x1， ?mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得?(x1,x2) ，同理可得 ?(x1,x2)，所以 g(x)的
19、单调性知 g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2)，从而有|g(?)?g(?)| 当 m?0 时，?mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2， ，于是 ?(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1?1?,?及 g(x)的单调性知 g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?) ，所以|g(?)?g(?)|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。 当 m?1 时，同理可得?x1,?x2，进而得|g(?)?g(?)|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。 因此综合、得所求的 m 的取值范围是。 1.设 2. f(x)?ax3?bx2?cx?d,a,b,c,d?R,a?0,又m,
20、n?R,m?n，则下列正确的判断是 A若 B若 C若 D若 f(m)f(n)?0,则 f(x)?0 在 m,n 之间只有一个实根 f(m)f(n)?0,则 f(x)?0 在 m,n 之间至少有一个实根 f(x)?0 在 m,n 之间至少有一个实根，则 f(m)f(n)?0 f(m)f(n)?0，则f(x)?0 在 m,n 之间也可能有实根 f,g分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x 时 已知 f/?x?g?x?f?x?g/?x?0,且 f?2?0,则不等式 f?x?g?x?0 的解集为A?2,0?2,?;B?2,0?0,2?;C?,?2?2,?;D?,?2?0,2?3. 若点 P 在曲
21、线 y?则角?的取值范围是 A0,3x3?3x2?(3?3)x?上移动，经过点P 的切线的倾斜角为 ?， 4B0,?22lnnkn?ln4. 当 n?N 时,不等恒成立，则常数 k 的取值范围是 1?n1?n1 A1,?) B 2,?) C(,?) D(e,?) 25. 定义在 R 上的函数 f(x)?x?x3.设x1?x2?0,给出下列不等式： f(x1)f(?x1)?0; f(x2)f(?x2)?0; ) ?)?2?2?,?) C,?) 33D0,?2?)?(, 223 f(x1)?f(x2)?f(?x1)?f(?x2); f(x1)?f(x2)?f(?x1)?f(?x2). 其中正确不等式的序号是 A B C D 6. 设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x?0 时， f(x)g(x)/?0，且 g(2)=0，则不等式 f(x)g(x)?0 的解集是 A. (?2,0)?(0,2) B. (?2,0)?(2,?) C. (?,?2)?(0,2) D. (?,?2)?(2,?) 7. 如图是函数图象，则x1A 2f(x)?x3?bx2?cx?d 的大致 y 2 等于 ?x224 B 33812C D 33 0 x1 1 x2 2 x
