1、由参数引起的血案含参导数问题一、已知两个函数 ， ，按以下条件求 k 的范围。kxxf168)(2 xg452)(23（1）对于任意的 ，都有 成立。 （构造新函数，恒成立问题）3,f（2）若存在 （与恒成立问题区别看待）成 立 。， 使 得 )(3,000 xgfx（3）若对于任意的 （注意 可以不是同一个 x）).(3,2121 xgfx， 都 有、 21,x（4）对于任意的 。 （注意：哪个函数的值域含于哪个函)(,33, 1001 xfgxx 使 得， 总 存 在数的值域取决于：谁的 x 是任意取的，谁的 x 是总存在的。 ）（5）若对于任意 ,总存在相应的 ,使得 成立；0x312,
2、3x102()()gxfgx（与（4）相同）二、已知函数 ， 21ln()faaR(1)函数 f(x)在区间 (2,)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ,(2)函数 f(x)在区间 (2,3)上单调，则实数 a 的取值范围是 .3、设函数 ( )，若对于任意的 都有 成立，求实数 的取值范围.3()fxaR1,x()1fxa四、含参数导数问题的三个基本讨论点一、 求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式） ，从而引起讨论。二、 求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） ，但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。三、 求导后，导函数为零有实根（或
3、导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。例 1、设函数 .求函数 的单调区间和极值； 321()()fxaxaR)(xf（可因式分解，比较两根大小，注意别丢两根相等情况)解： 5 分22(4-3()3fxxx 时， ， 是函数的单调减区间；无极值；6 分0a)0,时，在区间 上， ； 在区间 上， ，()a()0fx(,3)a()0fx因此 是函数的单调减区间， 是函数的单调增区间，(,)3,3a函数的极大值是 ；函数的极小值是 ；8 分()f34()f时，在区间 上， ； 在区间 上， ，0a,)a0fx(,)a()0fx因此 是函
4、数的单调减区间， 是函数的单调增区间(,3)(3,)a函数的极大值是 ，函数的极小值是 10 分34f(f例 1 变式若 ，若 ,讨论 的单调性。 （比较根大小，考虑定义域）2()(1)xax0)fx例 2、已知 是实数，函数 。 （不知导 函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起 讨afxa论）（）求函数 的单调区间；（主要看第一问，第二问选看）fx（）设 为 在区间 上的最小值。ga0,2（ ）写出 的表达式；（ ）求 的取值范围，使得 。iia62ga解：（）函数的定义域为 ， ，由 得0, 3022xxf ()0fx。3ax考虑 是否落在导函数 的定义域 内，需对参数 的取值分 及 两
5、种情况进行讨论。()fx0,a0a（1） 当 时，则 在 上恒成立，所以 的单调递增区间为 。0a()f,fx,（2） 当 时，由 ，得 ；由 ，得 。0x3a()0f3a因此，当 时， 的单调递减区间为 ， 的单调递增区间为 。af ,fx,3a 当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，0,236fx0,3a,23a所以 。23agf9 当 ，即 时， 在 上单调递减，所以 。2,3a6fx0,22gafa综上所述， 0,326aga（ ）令 。i6ga若 ，无解；0若 ，由 解得 ；23a36a 若 ，由 解得 。6a2a623a综上所述， 的取值范围为 。3例 3 已知函数 其中
6、 。当 时，求函数 的单调区间与极值。21xf Ra0fx解：由于 ，所以 。0a22 211axxaf x由 ，得 。这两个实根都在定义域 R 内，但不知它们之间的大小。因此，需对参fx12,a数 的取值分 和 两种情况进行讨论。a0（1） 当 时，则 。易得 在区间 ， 内为减函数，在区间 为增函12xfx1,a,1,a数。故函数 在 处取得极小值 ；函数 在 处取得极大值 。f1a2ffx2af（2） 当 时，则 。易得 在区间 ， 内为增函数，在区间 为减函数。0a12xfx),(a),1()1,(a故函数 在 处取得极小值 ；函数 在 处取得极大值 。fx121ffx2af例 4、已
7、知函数 ln)(2axf 。（ I） 讨论函数 x的单调性； （ *第二问选做 *）（II） 设 1a.如果对任意 ),0(,21x， |4)(| 2121xxff，求 a的取值范围。解：（） ()fx的定义域为（ 0，+）. aaf.当 0a时， f0，故 ()fx在（0，+）单调增加；当 1时， ()x0，故 在（0，+）单调减少；当-1 a0 时，令 f=0，解得 12ax.则当 1(,)2x时， ()f0； (,)时， ()fx0.故 ()f在 0,)a单调增加，在 1(,)2a单调减少.（）不妨假设 12x，而 a-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而,(,)， 1212()4fx
8、fx等价于 12,x， 1()4fx 令 ()4gxfx，则()4agx等价于 ()g在（0，+）单调减少，即 240ax.从而222(4(1)11xx故 a 的取值范围为（-，-2. 例 5、已知函数 f( )=In(1+ )- + 2(k0)。()当 k=2 时，求曲线 y= f(x)在点(1， f(1)处的切线方程； ()求 f(x)的单调区间。解：（I）当 2时， 2ln1)x， 1()2f由于 (1)lf， 3(f， 所以曲线 yx在点 (,)f处的切线方程为)2yx 即 2ln30（II） ()1kfx， (1,).当 0时， )fx. 所以，在区间 (1,)上， ()0fx；在区
9、间 (,)上，()fx.故 ()f得单调递增区间是 (1,0)，单调递减区间是 (0,).当 01k时，由 xkf，得 1x， 20k所以，在区间 (,)和 (,)上， ()f；在区间 (,)上， ()fx故 ()fx得单调递增区间是 10和 ,k，单调递减区间是 1k.当 1k时，2()xf故 ()f得单调递增区间是 (,).当 时， 1 0kf，得 1,0kx， 2x.所以没在区间 (1,)和 (,)上， ()f；在区间 1()k上， ()0fx故 ()fx得单调递增区间是 k和 ,，单调递减区间是 ,参数讨论流程 ：1.一般先去求两根，最好是将导函数因式分解，方便直接看出根。有时甚至要考虑导函数等于零是否有根，如二次函数判别式小于零时就没根。2.两根大小不确定时需要对参数分情况讨论两根大小（别忽略了二次函数两根相等情况） 。3.如果原函数有定义域，或者参数有自己的取值范围，必须对这些进行考虑。4如果二次函数的二项式系数有参数，必须考虑二次函数的开口方向，也要小心系数为零的情况。易错点归类 ：1.复合函数求导反复检查保证无误。2.没有考虑原函数的定义域。 3.没有考虑题干中参数的取值范围。3.把原函数图象和导函数图象弄混。 4.写结论的时候，用并集去写单调区间.
