1、导数含参数问题类型一：没有其他未知字母情况下，求单调性，极值，最值例 1：设函数 32()91(0).fxax若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线与直线 12x+y=6平行，求：（）a 的值;（）函数 f(x)的单调区间.解：() ,3a由 题 设 所 以()由()知 291,因 此212()369(3)0,.)0(,)(,1)3.(,3fxxffxfx令 解 得 ：当 时 ， 故 在 ， ） 上 为 增 函 数 ；当 时 ， 故 在 （ ， ） 上 为 减 函 数 ；当 x+时 ， 故 在 （ ， ） 上 为 增 函 数由 此 可 见 ， 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 ） 和 （
2、， ） ；单 调 递 减 区 13.间 为 （ ， ）变式训练 1：设函数 432() )faxbR，其中 ab， （）当 0a时，讨论函数 ()f的单调性；（）若函数 ()fx仅在 处有极值，求 的取值范围；（）解： 3224(43)axax当 10a时， ()10)1(2f令 ()0fx，解得 1x，2x， 3 x在 2， ， (， 是增函数，在 ， ， 2， 内是减函数（）解： ()43)fa，显然 0x不是方程 2430xa的根为使 x仅在 0处有极值，必须 243a 恒成立，即有 2964 解此不等式，得 8 这时， (fb是唯一极值 的取值范围是 3， 类型二：结合函数的图像与性质
3、求参数的取值范围问题例 2：设 a为实数，函数 32()fxxa。（1 ）求 ()fx的极值；（2 ）当 在什么范围内取值时，曲线 ()yf与 轴仅有一个交点。解：（1） 2()31fx，若 ()0fx，则 1,3所以 fx的极大值是 57fa，极小值是 ()fa。（2 ）函数 322()(11fxxx。由此可知 取足够大的正数时，有 ()0f， x取足够小的负数时，有()0fx，所以曲线 ()yfx与 轴至少有一个交点.结合 ()fx的单调性可知：当 ()f的极大值 5027a，即 5,27时，它的极小值也因此曲线 ()yfx与 轴仅有一个交点，它在 (1,)上；当 ()fx的极小值 10a
4、时，即 1,上时，它的极大值也小于 0， ()yfx与 轴仅一个交点，它在 ,3上。当 5(,)27a时， ()f与 轴仅有一个交点。变式训练 2：已知函数 439()fxxc有三个极值点。证明：75c；因为函数 43219()fxc有三个极值点, 所以 32()90fxxc有三个互异的实根.设 ()gx则 2()6()1,g当 3x时， 0, ()在 ,3上为增函数；当 3x时， (gx ()g在 ,1)上为减函数；当 1x时， ()0,x ()在 1,)上为增函数，所以 x在 时取极大值,在 时取极小值。当 0g或 (时,()0最多只有两个不同实根。 ()gx有三个不同实根, 所以 3)且
5、 (1)0g，即 27c,且 1390c，解得 27,c且 5,故 275c.类型三：含字母时，对判别式进行分类讨论例 3：已知函数 32()fxax， R （1）讨论函数 ()fx的单调区间；（2）设函数 f在区间 1， 内是减函数，求 a的取值范围解：（1） 32()fxax求导得 2()31fxx当 2a时， 0， ()f， 在 R上递增；当 3a， ()0fx求得两根为23x，即 fx在23a，递增，22aa，递减， 23a，递增。 （2）231a，且 23a，解得 2a。变式训练 3：设函数 2()ln(1)fxbx,其中 0b.(I)当 12b时,判断函数 在定义域上的单调性;(I
6、I)求函数 ()fx的极值点; 高& 考%资(源#网 wxc解：(I) 函数 2()ln(1)fxbx的定义域为 1,.()1f，高&考%资(源#网 wxc令 2()gxb，则 ()gx在 1,2上递增，在 1,2上递减，min1). 当 b时， min()0gxb，2()0gxb在 1,上恒成立. ,f即当 12时,函数 ()fx在定义域 1,上单调递增。 （II）分以下几种情形讨论：（1 ）由（I）知当 2时函数 ()fx无极值点.（2 ）当 b时，21()f，1,x时， 0,fx ,2x时， ()0,fx2b时，函数 ()f在 1,上无极值点。（3 ）当 1时，解 0fx得两个不同解高&
7、 考% 资(源#网 wxc 12bx，2bx当 时， 121b， 2x12,x此时 ()f在 ,上有唯一的极小值点 21bx.当 102时，12,x高&考%资(源# 网 wxc ()fx在 12,x都大于 0 ， ()fx在()上小于 0 ，此时 fx有一个极大值点 12bx和一个极小值点 21bx.综上可知， 0b时， ()f在 ,上有唯一的极小值点 2；102时， ()fx有一个极大值点 12bx和一个极小值点 21bx；b时，函数 f在 ,上无极值点类型四：含字母时，对导函数的零点以及区间的位置进行分类讨论例 4：已知函数 321(),fxaxb且 (1)0f（I）试用含 a的代数式表示
8、 ；（）求 x的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m :解：（I）依题意，得 b（）由（I）得 321()(1)fxax（故 2()f a令 *()0fx，则 1或1xa当 时， 1a由此得，函数 ()fx的单调增区间为 (,12)和 (,)，单调减区间为 (2,)a由 a时， 2，此时， 0fx恒成立，且仅在 1x处 0fx，故函数 ()fx的单调区间为 R当 1时， 1a， ()fx的单调增 (,1)和 (2,)a，单调减区(,2)综上：当 时，函数 ()fx增区间为 (,)和 (,)，单调减区间为(1,)a；当 时，函数 ()fx的单调增区间为 R；当 时，函数 的单调增区间
9、为 (,1)和 (2,)a，单调减区间为(-1.1-2a)变式训练 4：已知 a是实数，函数 2()fxa（1 ）若 ()3f，求 的值及曲线 y在点 (1,f处的切线方程；（2 ）求函数 yf (x)在区间 1，2 上的最小值。解：（1） ()xax，因为 ()32fa，所以 0又当 0a时， f， ()f， yx在 (1)f， 处的切线方程为32xy(2) 设最小值为 m， ),2(),3(23)(/ xaaxxf当 0a时， ,1,0/则 )f是区间1,2上的增函数, 所以 afm1)(；当 时，在 32ax或 时， / 2()0,(),)3fxfxa从 而 在 区 间 上 是 增 函
10、数 ；在 320ax时， / 2()0,3f a从 而 在 区 间 上 是 单 减 函 数 当 ，即 时， fm48)(； 当 21，即 3时，324()7amf； 当 20a时， af)(.则函数的最小值 )3(,247)(,13a题型五、恒成立问题例 5设函数 )0(33)(2axxf 。(1) 如果 1a，点 P为曲线 fy上一个动点，求以 P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；(2) 若 ,ax时， 0)(x恒成立，求 a的取值范围。解：(1) 设切线斜率为 k，则 32 f 当 1x时， k取最小值-4 ， 又 320)1(f， 所以，所求切线方程为 )(4y，即 0832y (2
11、) 由 0 x，解得： 1x或 。函数 )(xf在 1,和 ,3上是增函数，在 3,1上是减函数。 所以 0)3(af 或 0)(af 或 0)(f 解得 6a 变式训练 5：已知函数 32x（1）若 ()yf在区间 1,m上是增函数，求实数 m的取值范围；（2 ）若 12,x，求证： 2|()|4fxf解：（1） 2()36(2)xx，令 ()0fx即()02xx或f的增区间为 (,0,).和 (fx在区间 21,m上是增函数，21,10,)mm或 ；2或 32或 2()36()0fxxx或， (0),(1)2,()4fff，在区间-1，1上的最大值 M 为 4，最小值 N 为 0，故对任意
12、 12,x，有 12|()|4fxf题型六、导数解决不等式问题例 6对于函数 320.abf a（1 ）若函数 x在 处的切线方程为 72yx,求 ab的值；（2 ）设 12,是函数 )(f的两个极值点 ,且 12,证明： 439解：（1）由切点为 ,6， 2yaxbk，有22376aba解得 3, （2 ）由题， 1x、 2是方程 220xba的两个根， 1212,0bxxa可得两根一正一负，不妨设 120,x1221,xx22112444bx aa设2234,0.taa其 中 2 281 ,003t aat得 舍 去 或 当 时 ，；当 3a时， 0t. 所以当 23时， max167t，即 2439b.变式训练 6：已知函数 ()ln)fx， ，证明： 1ln()x
